集中趋势的度量

集中趋势的度量第三章集中趋势的度量

（Measuresofcentraltendency）第一节平均数（Themean）

第二节中位数（Themedian）

第三节众数（Themode）

第四节分组数据的平均数、中位数以及众数（Themean,median,andmodeofgroupeddata）

第五节平均数、中位数以及众数的相对位置（Therelativepositionsofthemean,median,andmode）第2页,共42页，2024年2月25日，星期天第一节平均数（Themean）

一、总体平均数（Thepopulationmean）

二、样本平均数（Thesamplemean）

三、算术平均数的特点（Thepropertiesofthearithmeticmean）

四、加权平均数（Theweightedmean）

五、几何平均数（Thegeometricmean）

第3页,共42页，2024年2月25日，星期天

(Centraltendency)

1.一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度

2.测度集中趋势就是寻找数据一般水平的代表值或中心值

3.不同类型的数据用不同的集中趋势测度值

4.低层次数据的集中趋势测度值适用于高层次的测量数据，反过来，高层次数据的集中趋势测度值并不适用于低层次的测量数据

5.选用哪一个测度值来反映数据的集中趋势，要根据所掌握的数据的类型来确定第4页,共42页，2024年2月25日，星期天用总体中各单位某一数量标志值之和除以单位总数一、总体平均数（Thepopulationmean）

（一）概念第5页,共42页，2024年2月25日，星期天1、设一组数据为：X1，X2，…

，XN,简单均值的计算公式为（二）计算方法

Anymeasurablecharacteristicofapopulationiscalledaparameter.第6页,共42页，2024年2月25日，星期天用样本中各单位某一数量标志值之和除以样本容量二、样本平均数（Thesamplemean）

（一）概念第7页,共42页，2024年2月25日，星期天1、设一组数据为：x1，x2，…

，xn,简单均值的计算公式为（二）计算方法

Anymeasurebasedonsampledataiscalledastatistic.第8页,共42页，2024年2月25日，星期天原始数据:

4 4 5 7 10 第9页,共42页，2024年2月25日，星期天三、算术平均数的特点（Thepropertiesofthearithmeticmean）

1、变量值与其均值的离差之和等于零。即：2、各变量值与其均值的离差平方和为最小值。即：第10页,共42页，2024年2月25日，星期天四、加权平均数（Theweightedmean）权数除用总体各组单位数即频数的形式外，还可以用比重即频率的形式表示。因此，便有另一种加权均值的形式，就是将各组的变量值乘以相应的比重（即频率），然后求和，即得加权均值。其计算公式为（仅以样本为例，总体以次类推）。第11页,共42页，2024年2月25日，星期天例假设附近的一家餐厅分别以0.9元，1.25元和1.5元出售小杯、中杯和大杯饮料，某天共卖出100杯，其中30小杯，40中杯和30大杯。这100杯的均价。第12页,共42页，2024年2月25日，星期天五、几何平均数（geometricmean）（一）概念要点

1、集中趋势的测度值之一

2.N个变量值乘积的N次方根

3、适用于特殊的数据

4、主要用于计算平均发展速度

ExcelGEOMEAN（二）计算方法第13页,共42页，2024年2月25日，星期天

例一位投资者持有一种股票，2003年、2004年、2005年和2006年收益率分别为4.5％、2.0％、3.5％、5.4％。计算该投资者在这四年内的平均收益率。平均收益率＝103.84%-1=3.84%第14页,共42页，2024年2月25日，星期天六、调和平均数

（harmonicmean）（一）概念调和是被研究对象中变量值倒数的算术平均数的倒数。因此，又称为倒数的平均数。一般用H表示。（二）计算方法根据所掌握资料的不同也有简单式和加权式两种。ExcelHARMEAN

第15页,共42页，2024年2月25日，星期天1、根据未经分组整理的原始数据计算调和平均数，采用简单式。总体调和平均数和样本调和平均数的计算公式为：（二）计算方法第16页,共42页，2024年2月25日，星期天2、加权调和平均数分别为：第17页,共42页，2024年2月25日，星期天在社会经济统计学中经常用到的仅是一种特定权数的加权调和平均数。即有以下数学关系式成立：m是一种特定权数，它不是各组变量值出现的次数，而是各组标志值总量。第18页,共42页，2024年2月25日，星期天例1有三种蔬菜，甲每千克1元，乙每千克0.8元，丙每千克0.5元，现各买1元，求平均价格。第19页,共42页，2024年2月25日，星期天例2有三种蔬菜，甲每千克1元，乙每千克0.8元，丙每千克0.5元，现甲买2元，乙买4元，丙买5元，求平均价格。第20页,共42页，2024年2月25日，星期天某日三种蔬菜的批发成交数据蔬菜名称批发价格(元)

Xi成交量(公斤)Fi成交额(元)XiFi甲乙丙1.200.500.801500025000800018000125006400合计—4800036900【例题】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表4-2，计算三种蔬菜该日的平均批发价格第21页,共42页，2024年2月25日，星期天切尾均值（trimmedmean）第22页,共42页，2024年2月25日，星期天第二节、中位数（median）

（一）概念要点1、集中趋势的测度值之一2、排序后处于中间位置上的值Me50%50%3、不受极端值的影响4、主要用于定序数据，也可用数值型数据，但不能用于定类数据5、各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即第23页,共42页，2024年2月25日，星期天1、未分组数据：（二）位置的确定二、中位数第24页,共42页，2024年2月25日，星期天

(三)计算方法

第25页,共42页，2024年2月25日，星期天数值型未分组数据的中位数计算方法举例1、5个数据的算例原始数据:

2422212620排序:

2021222426位置:

12345中位数

22

第26页,共42页，2024年2月25日，星期天

2、6个数据的算例原始数据:105 91268排序:56891012位置:123456位置

N+126+123.5中位数

8+928.5

第27页,共42页，2024年2月25日，星期天第三节众数（mode）（一）概念:众数是一组出现次数最多的变量值，一般用M0来表示。（二）确定方法：根据掌握资料的不同，众数的确定方法两种：方法一:根据未分组数据或单项变量数列计算众数，只需找出出现次数最多的变量值即为众数。第28页,共42页，2024年2月25日，星期天无众数

原始数据:10591268一个众数

原始数据:659855多于一个众数

原始数据:252828364242第29页,共42页，2024年2月25日，星期天第四节分组数据的平均数、中位数以及众数（Themean,median,andmodeofgroupeddata）一、平均数二、中位数三、众数第30页,共42页，2024年2月25日，星期天一、平均数设分组后的数据为：X1，X2，…

，XK,相应的频数为：F1，F2，…

，FK,加权均值的计算公式为第31页,共42页，2024年2月25日，星期天某车间50名工人日加工零件均值计算表按零件数分组组中值（Xi）频数（Fi）XiFi105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064322.5562.5940.01715.01275.0795.0550.0合计—506160.0【例题】根据表中的数据，计算50名工人日加工零件数的均值第32页,共42页，2024年2月25日，星期天(1)根据位置公式确定中位数所在的组(2)采用下列近似公式计算：二、中位数

第33页,共42页，2024年2月25日，星期天某车间50名工人日加工零件均值计算表按零件数分组组中值（Xi）频数（Fi）累计频数i105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064381630404650合计—50—【例题】根据表中的数据，计算50名工人日加工零件数的中位数第34页,共42页，2024年2月25日，星期天三、众数1、众数的值与相邻两组频数的分布有关4、该公式假定众数组的频数在众数组内均匀分布2、相邻两组的频数相等时，众数组的组中值即为众数Mo3、相邻两组的频数不相等时，众数采用下列近似公式计算MoMo第35页,共42页，2024年2月25日，星期天等价公式：式中，U表示众数组的上限值，其他符号与上同。第36页,共42页，2024年2月25日，星期天某车间50名工人日加工零件数分组表按零件数分组频数（人）累积频数105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064381630404650合计50—【例题】根据表中的数据，计算50名工人日加工零件数的众数第37页,共42页，2024年2月25日，星期天第五节平均数、中位数以及众数的相对位置（Therelativepositionsofthemean,median,andmode）（一）众数、中位数和均值的关系从分布角度看，对同一组数据计算众数、中位数和均值，三者之间有以下关系：

1、如数据具有单一众数，且分布是对称的。

2、如数据是左偏的分布，则

3、