2023-2024学年四川省泸州市纳溪区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省泸州市纳溪区八年级（下）期中数学试卷二、单选题（每题3分，共36分）1．下列各式中是二次根式的是（）A． B． C． D．2．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤23．下列各组数据中，能构成直角三角形的是（）A．，， B．6，7，8 C．2，3，4 D．8，15，174．下列式子中，与为同类二次根式的是（）A． B． C． D．5．下列计算正确的是（）A． B． C． D．6．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC＝BD时，它是正方形8．一旗杆在其的B处折断，量得AC＝5米，则旗杆原来的高度为（）A．米 B．2米 C．10米 D．米9．如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）A．9 B．10 C． D．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点B落在点B′处，则重叠部分△AFC的面积为（）A．12 B．10 C．8 D．611．如图，在正方形ABCD的外侧作等边△CDE，对角线AC与BD相交于点O，连接AE交BD于点F，若OF＝1，则AB的长度为（）A．2 B． C．2 D．312．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于N，则线段EC的长为（）A． B．4 C．5 D．二、填空题（每题分，共12分）13．要使代数式有意义，x的取值范围是．14．计算：＝．15．已知一个直角三角形的两边的长分别是4和5，则第三边长为．16．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．三、解答题（每题6分，共18分）17．计算：．18．计算．19．先化简，再求值：．四、解答题（每题7分，共14分）20．已知某开发区有一块四边形空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，AD＝4m，BC＝12m，CD＝13m，若每平方米草皮需要200元，问需要多少投入？21．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以15海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，4小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两岛相距100海里，问乙船的航速是多少？五、解答题（每题8分，共16分）22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D在AB边上一点．过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当点D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．23．6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？六、解答题（每题12分，共24分）24．已知，如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE＝CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1＝∠2．（1）若CF＝2，AE＝3，求BE的长；（2）求证：∠CEG＝∠AGE．25．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q．（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；（2）当△ABQ的面积是正方形ABCD面积的时，求DQ的长；（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．

参考答案二、单选题（每题3分，共36分）1．下列各式中是二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的定义（根指数是2，被开方数是非负数）判断即可．解：A．被开方数小于0，无意义，故A不是二次根式；B．是三次根式，故B不是二次根式；C．根指数是2，且被开方数是非负数，故C是二次根式；D．被开方数有可能小于0，故D不是二次根式．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义（形如的式子叫二次根式）是解答此题的关键．2．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣2≥0，然后解不等式即可．解：根据题意得x﹣2≥0，解得x≥2，即x的取值范围是x≥2．故选：B．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．3．下列各组数据中，能构成直角三角形的是（）A．，， B．6，7，8 C．2，3，4 D．8，15，17【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故选项错误；B、62+72≠82，不能构成直角三角形，故选项错误；C、22+32≠42，不能构成直角三角形，故选项错误；D、82+152＝172，能构成直角三角形，故选项正确．故选：D．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．4．下列式子中，与为同类二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据同类二次根式的定义，逐一判断即可解答．解：A、与不是同类二次根式，故A不符合题意；B、∵＝2，∴与是同类二次根式，故B符合题意；C、∵＝2，∴与不是同类二次根式，故C不符合题意；D、＝，∴与不是同类二次根式，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．5．下列计算正确的是（）A． B． C． D．【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；B、与﹣不属于同类二次根式，不能运算，故B不符合题意；C、，故C符合题意；D、，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．6．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得AB＝BE，根据AD、AB的值，求出EC的值．解：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA∵AE平分∠BAD∴∠BAE＝∠DAE∴∠BAE＝∠BEA∴BE＝AB＝3∵BC＝AD＝5∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2故选：B．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．7．已知如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC＝BD时，它是正方形【分析】根据菱形、矩形、正方形的判断方法即可判定；解：A、当AB＝BC时，它是菱形，正确；B、当AC⊥BD时，它是菱形，正确；C、当∠ABC＝90°时，它是矩形，正确；D、当AC＝BD时，它是正方形，错误，应该是当AC＝BD时，它是矩形；故选：D．【点评】本题考查菱形、矩形、正方形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形与菱形、矩形、正方形的判定与之间的关系，属于中考常考题型．8．一旗杆在其的B处折断，量得AC＝5米，则旗杆原来的高度为（）A．米 B．2米 C．10米 D．米【分析】可设AB＝x，则BC＝2x，进而在△ABC中，利用勾股定理求解x的值即可．解：由题意可得，AC2＝BC2﹣AB2，即（2x）2﹣x2＝52，解得x＝，所以旗杆原来的高度为3x＝5，故选：D．【点评】能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形．9．如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）A．9 B．10 C． D．【分析】将长方体展开，得到两种不同的方案，利用勾股定理分别求出AB的长，最短者即为所求．解：如图（1），AB＝＝；如图（2），AB＝＝＝10．本题选B．【点评】此题考查了立体图形的侧面展开图，利用勾股定理求出斜边的长是解题的关键，而两点之间线段最短是解题的依据．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点B落在点B′处，则重叠部分△AFC的面积为（）A．12 B．10 C．8 D．6【分析】由矩形的性质和折叠的性质得出∠FCA＝∠FAC，证出AF＝CF，设AF＝CF＝x，DF＝8﹣x，在Rt△ADF中，根据勾股定理得出方程，解方程求出AF，△AFC的面积＝CF×AD，即可得出结果．解：∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝8，AD＝BC＝4，∠D＝90°，AB∥DC，∴∠BAC＝∠FCA，由折叠的性质得：∠FAC＝∠BAC，∴∠FCA＝∠FAC，∴AF＝CF，设AF＝CF＝x，DF＝8﹣x，在Rt△ADF中，根据勾股定理得：AD2+DF2＝AF2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，∴△AFC的面积＝CF×AD＝×5×4＝10；故选：B．【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．11．如图，在正方形ABCD的外侧作等边△CDE，对角线AC与BD相交于点O，连接AE交BD于点F，若OF＝1，则AB的长度为（）A．2 B． C．2 D．3【分析】先根据正方形和等边三角形的性质证明△ADE是等腰三角形，求出∠DAE＝∠DEA，再求出∠OAF＝30°，在直角三角形OAF中即可得出结论．解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，DC＝DE，∠CDE＝∠DEC＝60°，∠DAC＝45°，AC⊥BD，∴AD＝DE，∠ADE＝90°+60°＝150°，∠AOD＝90°，∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣150°）＝15°，∠OAF＝45°﹣15°＝30°，∴AF＝2OF＝2，∴OA＝，∴AB＝，故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质和等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及等腰三角形的判定方法；根据正方形和等边三角形的性质弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．12．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于N，则线段EC的长为（）A． B．4 C．5 D．【分析】过点M作MF⊥DC，交CD延长线于点F，根据在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，得到AM＝DM＝2，从而得到∠FDM＝60°，∠FMD＝30°，进而利用锐角三角函数关系求出FM的长，利用勾股定理求得CM的长，即可得出EC的长．解：如图所示，过点M作MF⊥DC，交CD延长线于点F，∵在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，∴，∠FDM＝60°，∴∠FMD＝30°，∴，∴，CF＝CD+DF＝4+1＝5，∴，由折叠的性质可得，AM＝ME＝2，∴．故选：A．【点评】此题主要考查了菱形的性质、折叠的性质、勾股定理以及解直角三角形等知识，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形，利用勾股定理计算求解．二、填空题（每题分，共12分）13．要使代数式有意义，x的取值范围是x≥0且x≠1．【分析】根据二次根式有意义的条件可得x≥0，根据分式有意义的条件可得x﹣1≠0，再解即可．解：由题意得：x≥0，且x﹣1≠0，解得：x≥0且x≠1，故答案为：x≥0且x≠1．【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．14．计算：＝4．【分析】根据二次根式的乘法直接计算即可．解：×＝＝＝4．故答案为：．【点评】本题是对二次根式计算的考查，熟练掌握二次根式乘法是解决本题的关键．15．已知一个直角三角形的两边的长分别是4和5，则第三边长为3或．【分析】根据勾股定理解答，要分类讨论：当一直角边、斜边为4和5时；当两直角边长为4和5时．解：当一直角边、斜边为4和5时，第三边＝＝3；当两直角边长为4和5时，第三边＝；故答案为：3或．【点评】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的计算同时要注意分类讨论．16．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．【分析】根据轴对称最短问题作法首先求出P点的位置，再结合菱形的性质得出△AEE′为等边三角形，进而求出PE+PB的最小值．解：作E点关于AC对称点E′点，连接E′B，E′B与AC的交点即是P点，∵菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，∴AE′＝AE＝BE＝1，∴△AEE′为等边三角形，∴∠AEE′＝60°，∴∠E′EB＝120°，∵BE＝EE′，∴∠EE′B＝30°，∴∠AE′B＝90°，BE′＝＝，∵PE+PB＝BE′，∴PE+PB的最小值是：．故答案为：．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及轴对称中最短路径求法，正确地作出P点从而利用菱形性质得出是解决问题的关键．三、解答题（每题6分，共18分）17．计算：．【分析】直接利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简，进而合并得出答案．解：原式＝4﹣1﹣2+3＝3+．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．18．计算．【分析】先算除法和化简，然后计算加减法即可．解：＝﹣﹣＝﹣﹣＝﹣2﹣＝﹣2．【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．19．先化简，再求值：．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．解：原式＝•＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．四、解答题（每题7分，共14分）20．已知某开发区有一块四边形空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，AD＝4m，BC＝12m，CD＝13m，若每平方米草皮需要200元，问需要多少投入？【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得三角形DBC为一直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解．解：连接BD，在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，而122+52＝132，即BC2+BD2＝CD2，∴∠DBC＝90°，，＝．所以需费用36×200＝7200（元）．【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．21．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以15海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，4小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两岛相距100海里，问乙船的航速是多少？【分析】首先理解方位角的概念，根据所给的方位角得到∠CAB＝90°．根据勾股定理求得乙船所走的路程，再根据速度＝路程÷时间，计算即可．解：根据题意，得∠CAB＝180°﹣40°﹣50°＝90°，∵AC＝15×4＝60（海里），BC＝100海里，∴在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB＝＝80（海里）．则乙船的速度是80÷4＝20（海里/时）．【点评】此题一定要理解方位角的概念，熟练运用勾股定理，计算的时候，注意运用平方差公式可以简便计算．五、解答题（每题8分，共16分）22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D在AB边上一点．过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当点D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可；【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD，∴四边形BECD是菱形；【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．23．6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数；利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．解：（1）海港C受台风影响，理由：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；过点C作CD⊥AB于D，∵△ABC是直角三角形，∴AC•BC＝CD•AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240km，∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（2）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，∵ED＝＝＝100（km），∴EF＝2ED＝200km，∵台风的速度为25千米/小时，∴200÷25＝8（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为8小时．【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．六、解答题（每题12分，共24分）24．已知，如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE＝CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1＝∠2．（1）若CF＝2，AE＝3，求BE的长；（2）求证：∠CEG＝∠AGE．【分析】（1）求出DC＝CE＝2CF＝4，求出AB，根据勾股定理求出BE即可；（2）过G作GM⊥AE于M，证△DCF≌△ECG，推出CG＝CF，求出M为AE中点，得出等腰三角形AGE，根据性质得出GM是∠AGE的角平分线，即可得出答案．【解答】（1）解：∵CE＝CD，点F为CE的中点，CF＝2，∴DC＝CE＝2CF＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝4，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝＝；（2）证明：解法一、过G作GM⊥AE于M，∵AE⊥BE，GM⊥AE，∴GM∥BC∥AD，∵在△DCF和△ECG中，，∴△DCF≌△ECG（AAS），∴CG＝CF，CE＝CD，∵CE＝2CF，∴CD＝2CG，即G为CD中点，∵AD∥GM∥BC，∴M为AE中点，∴AM＝EM（一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等），∵GM⊥AE，∴AG＝EG，∴∠AGM＝∠EGM，∴∠AGE＝2∠MGE，∵GM∥BC，∴∠EGM＝∠CEG，∴∠CEG＝∠AGE；解法二、延长AG，交BC延长线于M，在△ECG和△DCF中，，∴△ECG≌△DCF（AAS），∴CF＝CG，∵CE＝CD，F为CE的中点，∴DG＝CG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADG＝∠MCG，在△ADG和△MCG中，，∴△ADG≌△MCG（ASA），∴AG＝MG，∵∠AEC＝90°，∴EG＝AM＝GM，∴∠GEC＝∠M，∵∠AGE＝∠GEC+∠M，∴∠CEG＝∠AGE．【点评】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．25．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交A