高等数学例题及习题4省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

第四章例题及习题1/93例1.

设曲线经过点(1,2),

且其上任一点处切线斜率等于该点横坐标两倍,求此曲线方程.解:所求曲线过点(1,2),故有所以所求曲线为第一节2/93例2.求解:

原式=例3.

求解:

原式=3/93例4.求解:

原式=4/93例5.

求解:

原式=例6.

求解:

原式=5/93例7.

求解:

原式=6/93思索与练习1.

证实2.

若提醒:提醒:7/933.

若导函数为则一个原函数是().提醒:已知求即B??8/934.

求以下积分:提醒:9/935.求不定积分解：10/93例1.

求解:

令则故原式

=注:

当时第二节11/93例2.

求解:令则想到公式12/93例3.

求想到解:(直接凑微分)13/93例4.

求解:类似14/93例5.

求解:∴原式

=15/93惯用几个配元形式:万能凑幂法16/93例6.

求解:

原式=17/93例7.

求解:

原式=例8.

求解:

原式=18/93例9.

求解法1解法2两法结果一样19/93例10.

求解法120/93解法2一样可证或21/93例11.

求解:

原式=22/93例12.

求解:23/93例13.

求解:∴原式=24/93例14.

求解:

原式=分析:

25/93例15.

求解:原式26/93小结惯用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如27/93思索与练习1.以下各题求积方法有何不一样?28/932.

求提醒:法1法2法329/93例16.

求解:

令则∴原式(切记变量还原)30/93例17.

求解:

令则∴原式31/93例18.

求解:令则∴原式32/93令于是33/93原式例19.

求解:

令则原式当

x<0时,类似可得一样结果.（倒代换）34/93小结:1.第二类换元法常见类型:令令令或令或令或第四节讲35/932.惯用基本积分公式补充(P205)(7)

分母中因子次数较高时,可试用倒代换

令36/9337/93解:

原式(P205公式(20))例20.

求例21.

求解:(P205公式(23))38/93例22.

求解:

原式=(P205公式(22))例23.

求解:

原式(P205公式(22))39/93例24.

求解:

令得原式40/93例25.

求解:

原式令41/93思索与练习1.以下积分应怎样换元才使积分简便?令令令42/932.求以下积分:43/933.求不定积分解：利用凑微分法,原式=令得44/93分子分母同除以4.求不定积分解:令原式45/93例1.

求解:

令则∴原式思索:

怎样求提醒:

令则原式第三节46/93例2.

求解:

令则原式=思索:

怎样求47/93例3.

求解:

令则∴原式思索:

怎样求48/93例4.

求解:

令,则∴原式再令,则故原式=说明:

也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.49/93解题技巧:把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”次序,前者为后者为例5.

求解:

令,则原式=反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数50/93例6.

求解:

令,则原式=51/93例7.

求解:

令则原式令52/93例8.

求解:原式=∴原式=53/93例9.

求解(法一):令∴原式=54/93例9.

求解(法二):令则∴原式=55/93例10.

求解:

令则得递推公式56/93说明:递推公式已知利用递推公式可求得比如,57/93例11.

证实递推公式证:注:或58/93说明:分部积分题目标类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择u,v函数类型不变,

解出积分后加

C)3)对含自然数n

积分,经过分部积分建立递推公式.59/93例12.

求解:令则可用表格法求屡次分部积分uv求导积分60/93例13.

求解:

令则原式原式

=61/93例1.

将以下真分式分解为部分分式:解:(1)用拼凑法第四节62/93(2)用待定系数法故对比分子系数，解得63/93原式=（3）64/93例2.

求解:

已知65/93例3.

求解:

原式思索:怎样求提醒:变形方法同例3,并利用上一节例9.66/93说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,所以要注意依据被积函数结构寻求简便方法.67/93例4.求解:原式68/93例5.求解:

原式注意本题技巧按常规方法较繁69/93例6.求解:

令则70/9371/93例7.

求解:

令则原式72/93例8.

求解:

为去掉被积函数分母中根式,取根指数2,3最小公倍数6,则有原式令73/93例9.

求解:

令则原式74/93内容小结1.可积函数特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.

特殊类型积分按上述方法即使能够积出,但不一定要注意综合使用基本积分法,简便计算.简便,75/93四种经典部分分式积分:

分子变为再分项积分76/93习题课一、求不定积分基本方法二、几个特殊类型积分不定积分计算方法

第四章77/93重点：不定积分概念及性质、不定积分基本公式以及不定积分换元积分法和分部积分法。难点：不定积分计算。78/93一、求不定积分基本方法1.直接积分法经过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分方法.2.换元积分法

第一类换元法

第二类换元法(注意常见换元积分类型)(代换:)79/933.分部积分法使用标准:1)由易求出v;2)比好求.普通经验:按“反,对,幂,指,三”次序,排前者取为u,排后者取为计算格式:列表计算80/93例1.

求解:原式81/93例2.

求解:原式分析:82/93例3.

求解:原式分部积分83/93例4.

设解:令求积分即而84/93例5.

求解:85/93例6.

求解:取说明:此法尤其适合用于以下类型积分:86/93例7.

设证:证实递推公式:87/93例8.设解:为原函数,且求由题设则故即,所以故又88/93二、几个特殊类型积分1.普通积分方法有理函数分解多项式及部分分式之和指数函数有理式指数代换三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换