上海民办存志中学高三数学理期末试卷含解析

上海民办存志中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a，b∈R，则“b≥0”是“a2＋b≥0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A2.已知函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数根，则实数的取值范围为

参考答案：C3.设，则不等式的解集为

（

）

A．

B．

C．

D．（1，2）参考答案：C4.将函数f(x)＝sinωx(其中ω＞0)的图象向右平移个单位长度，所得图象关于对称，则ω的最小值是(

)

A.6 B. C. D.参考答案：【知识点】函数的性质

C4【答案解析】D

解析：将函数的图像向右平移个单位后，可得到函数的图像，又因为所得图像关于对称，所以，即，ω＞0，所以当时，取最小值，故选：D【思路点拨】由条件根据函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得，即，由此可计算出取最小值。5.已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为.（2，+∞）

.（-∞，-2）

.（1，+∞）

.（-∞，-1）参考答案：B（解1）由已知，，令，得或，当时，；且，有小于零的零点，不符合题意。当时，要使有唯一的零点且＞0，只需，即，．选B（解2）：由已知，=有唯一的正零点，等价于有唯一的正零根，令，则问题又等价于有唯一的正零根，即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧记，，由，，，，要使有唯一的正零根，只需，选B6.已知函数，若关于x的方程恰有三个不相等的实数解,则m的取值范围是(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C7.已知函数，’若在(0,)上单调递减,则实数a的取值范围为A.(0,)

B.(0,]

C.[)

D.(,1)参考答案：B略8.已知向量，则m的值是（）A． B． C．﹣3 D．3参考答案：C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据向量的减法运算，求出的坐标，再由向量垂直的等价条件求出m的值．【解答】解：由题意知，，∴=（﹣1﹣m，3），∵，，∴﹣3（1+m）﹣6=0，解得m=﹣3，故选C．【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量垂直的坐标等价条件，根据题意代入公式求解即可．9.阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B【考点】程序框图．【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量k，n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，n=16，不满足退出循环的条件，k=1；第二次执行循环体，n=49，不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体，n=148，不满足退出循环的条件，k=3；第四次执行循环体，n=445，满足退出循环的条件，故输出k值为3，故选：B10.若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：C【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（+α）和sin（﹣）的值，进而利用cos（α+）=cos通过余弦的两角和公式求得答案．【解答】解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜，＜﹣＜∴sin（+α）==，sin（﹣）==∴cos（α+）=cos=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣）=故选C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）（2015?哈尔滨校级二模）已知Sn和Tn分别为数列{an}与数列{bn}的前n项的和，且a1=e4，Sn=eSn+1﹣e5，an=ebn（n∈N*）．则当Tn取得最大值时，n的值为．参考答案：4或5【考点】：数列的函数特性．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：根据数列性质得出=，n≥2，=．数列{an}是等比数列．得出bn=lne5﹣n=5﹣n．运用等差数列公式判断即可．解：Sn和Tn分别为数列{an}与数列{bn}的前n项和，Sn=eSn+1﹣e5，Sn﹣1=eSn﹣e5，n≥2，相减得出：an=ean+1，=，n≥2，∵a1=e4，Sn=eSn+1﹣e5，∴a2=e3，=．∴数列{an}是等比数列．an=e5﹣n，∵an=ebn（n∈N*）．∴bn=lne5﹣n=5﹣n．∵bn+1﹣bn=﹣1．∴数列{bn}是等差数列．∴Tn==，对称轴n=根据函数的性质得出：n=5，n=4时最大值．故答案为：4或5．【点评】：本题考查了数列的性质，判断数列的等比性，求和公式的运用，结合函数的性质判断单调性，最值．属于中档题．12.实数满足若目标函数的最大值为4，则实数的值为

.参考答案：a=213.刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：

甲说：“我们四人都没考好．”

乙说：“我们四人中有人考的好．”

丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”

丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的 两人说对了．参考答案：乙，丙甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确。故答案为：乙，丙。14.在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知a＝1，b＝2，sinA＝，则sinB＝＿＿＿＿＿＿。参考答案：15.函数y＝－(x－3)x的递增区间是________．参考答案：略16.若全集，函数的值域为集合，则

.参考答案：17.设是定义在上的周期为2的偶函数，且当时，，则=______参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于两点，且的周长为8．（1）求椭圆E的方程．（2）设弦的垂直平分线与轴交点为，试求的取值范围．

参考答案：（1）；（2）19.（12分）三棱锥P-ABC中,底面ABC为边长为2的正三角形,平面PBC⊥平面ABC,PB=PC=2,D为AP上一点,AD=2DP,O为底面三角形中心。（Ⅰ）求证:BD⊥AC;（Ⅱ）设M为PC中点,求二面角M-BD-O的余弦值。参考答案：（1）略（Ⅱ）【知识点】单元综合G12（1）∵PB=PC，且E为BC中点，∴PE⊥BC，又平面PBC⊥平面ABC，

∴PE⊥平面ABC，由（Ⅰ）知，DO∥PE，∴DO⊥平面PBC，∴DO⊥AC

连接BO，则AC⊥BO，又DO∩BO=O，∴AC⊥平面DOB，∴AC⊥BD．

（2）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，EA，EB，EP两两互相垂直，且E为BC中点，

所以分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(3，0，0)，B(0，，0)，P(0，0，1)，D(1，0，)，C(0，-，0)，M(0，-，)∴=(0，-，)，=(-1，，-)

设平面BDM的法向量为=(x，y，z)，则，令y=1，则=(-，1，3)．由（Ⅱ）知AC⊥平面DBO，∴=(-3，-，0)为平面DBO的法向量，

∴cos＜，＞===，

由图可知，二面角M-BD-O的余弦值为．【思路点拨】（1）通过证明AC⊥平面DOB，利用直线与平面垂直的性质定理证明BD⊥AC；

（2）设M为PC中点，以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出A、B、P、C、D、M的坐标，求出向量，设出平面BDM的法向量为，利用，求出，利用cos＜，＞=求二面角M-BD-O的余弦值．20.（本小题满分12分）如图1，等腰梯形中，是的中点，如图2，将沿折起，使面面，连接，是棱上的动点．（1）求证：（2）若当为何值时，二面角的大小为参考答案：（1）证明过程详见解析；（2）.由题,,均为正三角形，∴，，∵,∴平面，∴.(2)∵平面平面，，平面平面，∴平面，，所以如图建立空间直角坐标系AB=2,则,

B(0,0,),D(0,,0)

E(1,0,0),

C(2,,0),),,设,设平面PDE的法向量为,21.（13分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=4，Sn=nan+2﹣（n≥2，n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足：b1=4且bn+1=bn2﹣（n﹣1）bn﹣2（n∈N*），求证：bn＞an（n≥2，n∈N*）；（3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜．参考答案：【考点】：不等式的证明．【专题】：点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用．【分析】：（1）运用下标变为n﹣1相减的方法，结合数列的通项和前n项和的关系，即可求得通项；（2）运用数学归纳法证明，注意两个解题步骤，特别是假设的运用；（3）设f（x）=ln（1+x）﹣x，通过导数判断单调性，可得ln（1+x）＜x，又n≥2时，＜=，结合裂项相消和累加法，及对数的运算性质即可得证．（1）解：Sn=nan+2﹣（n≥2，n∈N*）①Sn﹣1=（n﹣1）an﹣1+2﹣（n≥3，n∈N*）②①﹣②得an=nan﹣（n﹣1）an﹣1﹣（n﹣1），即有an﹣an﹣1=1（n≥3，n∈N*）①中令n=2，a1+a2=2a2+2﹣1，a2=3，综上an=；（2）证明：①当n=2时，b2=b12﹣2=14＞3=a2，不等式成立；②假设n=k（k≥2）时，不等式bk＞k+1（k≥2时ak=k+1），那么当n=k+1时，bk+1=bk2﹣（k﹣1）bk﹣2=bk（bk﹣k+1）﹣2＞bk（k+1﹣k+1）﹣2=2bk﹣2＞2（k+1）﹣2（由归设）=2k≥k+2∴n=k+1命题真；综合①②知当n≥2时，bn＞an．（3）证明：设f（x）=ln（1+x）﹣x，f′（x）=﹣1=﹣＜0，f（x）在（0，+∞）递减，则f（x）＜f（0）=0，即ln（1+x）＜x，又n≥2时，＜=，则ln（1+）＜＜=﹣，即有ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜（﹣）