湖北省十堰市贺龙体育场中学高三数学理期末试题含解析

湖北省十堰市贺龙体育场中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从1，2，3，4，5中任取两个数，则这两个数的乘积为偶数的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出这两个数的乘积为偶数包基本事件个数，由此能求出这两个数的乘积为偶数的概率．【解答】解：从1，2，3，4，5中任取两个数，基本事件总数n==10，这两个数的乘积为偶数包基本事件个数m=+=7，∴这两个数的乘积为偶数的概率为p==．故选：D．2.复数（为虚数单位），在复平面内所对应的点在A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：A3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n﹣5an+23，n∈N*，则数列{an}的通项公式an=（）A．3×n－1 B．3×n－1 C．3×n－1+1 D．3×n+1参考答案：C【考点】数列递推式． 【分析】Sn=n﹣5an+23，n∈N*，当n=1时，a1=S1=1﹣5a1+23，解得a1．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，化为an﹣1=（an﹣1﹣1），再利用等比数列的通项公式即可得出． 【解答】解：∵Sn=n﹣5an+23，n∈N*， ∴当n=1时，a1=S1=1﹣5a1+23，解得a1=4． n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n﹣5an+23﹣（n﹣1﹣5an﹣1+23），化为：an﹣1=（an﹣1﹣1），a1﹣1=3． ∴数列{an﹣1}是等比数列，首项为3，公比为． ∴an﹣1=，即an=+1， 故选：C． 【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4.若，则()A．a>1，b>0

B．a>1，b<0

C．0<a<1，b>0

D．0<a<1，b<0参考答案：D略5.已知平面平面直线，点、，点、，且、、、，点M、N分别是线段AB、CD的中点，则下列说法正确的是（

）A.当时，M、N不可能重合B.M、N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C.当直线AB、CD相交，且AC∥l时，BD可与l相交D.当直线AB、CD异面时，MN可能与l平行参考答案：B【分析】根据直线与直线的位置关系依次判断各个选项，排除法可得结果.【详解】选项：当时，若四点共面且时，则两点能重合，可知错误；选项：若可能重合，则，故，此时直线与直线不可能相交，可知正确；选项：当与相交，直线时，直线与平行，可知错误；选项：当与是异面直线时，不可能与平行，可知错误.本题正确选项：【点睛】本题考查空间中直线与直线的位置关系相关命题的判断，考查学生的空间想象能力.6.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是

（

▲

）A.（-∞，2）

B.（0,3）

C.（1,4）

D.（2，+∞）参考答案：D略7.经过圆的圆心，且与直线平行的直线方程为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略8.已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形.若为底面的中心，则与平面所成角的大小为(

)A．.

B． C．

D．参考答案：B略9.若，则等于

(

)

A．0

B.

C．

D．参考答案：B10.的展开式中，的系数为

（

）A．-10

B．-5

C．5

D．10

参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知下列5个命题，其中正确的是命题________.（写出所有正确的命题代号）①函数y=x+，x∈[1，4]的最大值是4；②底面直径和高都是2的圆柱侧面积，等于内切球的表面积；③在抽样过程中，三种抽样方法抽取样本时，每个个体被抽取的可能性不相等；④F1，F2是椭圆+=1（a＞0）的两个焦点，过F1点的弦AB，△ABF2的周长是4a；⑤“?x∈R，|x|＞x”的否定，“?x∈R，|x|≤x”．参考答案：②④⑤略12.若是小于9的正整数，是奇数，是3的倍数，则

．参考答案：解法1，则所以，所以解析2，而13.二项式展开式中的常数项是_______.参考答案：18014.过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有

条。参考答案：3215.由曲线与直线所围成的平面图形的面积是

.参考答案：16.等差数列{an}的前10项和为30，则a1+a4+a7+a10=12．参考答案：考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的前n项和公式即可得到a1+a10=6．由等差数列的性质可得a1+a10=a4+a7，进而可得答案．解答：解：∵等差数列{an}的前10项和为30，∴，解得a1+a10=6．由等差数列的性质可得a1+a10=a4+a7，∴a1+a4+a7+a10=2（a1+a10）=2×6=12．∴a1+a4+a7+a10=12．故答案为12．点评：熟练掌握等差数列的前n项和公式、等差数列的性质是解题的关键．17.三个数的大小关系为

.(用符号“<”连接)参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和Sn．参考答案：（1）因为，故，得；设，所以，∵，∴，∴，又因为，所以数列是以1为首项，公比为2的等比数列，故，故；（2）由（1）可知，，故．19.已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：f（x）≥x﹣1；（Ⅲ）若在区间（0，+∞）上恒成立，求a的最小值．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）设切线的斜率为k，利用导数求解切线斜率，然后求解切线方程．（Ⅱ）要证：f（x）≥x﹣1，需证明：g（x）=xlnx﹣x+1≥0在（0，+∞）恒成立，利用函数的导数，通过函数的单调性以及函数的最值，证明即可．（Ⅲ）要使：在区间在（0，+∞）恒成立，等价于：在（0，+∞）恒成立，利用函数的导数，通过①当a＞0时，利用h（1）＜0，说明a＞0不满足题意．②当a＜0时，利用导数以及单调性函数的最小值，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设切线的斜率为k，f′（x）=lnx+1，k=f′（1）=ln1+1=1因为f（1）=1?ln1=0，切点为（1，0）．切线方程为y﹣0=1?（x﹣1），化简得：y=x﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）要证：f（x）≥x﹣1只需证明：g（x）=xlnx﹣x+1≥0在（0，+∞）恒成立，g′（x）=lnx+1﹣1=lnx当x∈（0，1）时f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上单调递减；当x∈（1，+∞）时f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递增；当x=1时g（x）min=g（1）=1?ln1﹣1+1=0g（x）=xlnx﹣x+1≥0在（0，+∞）恒成立所以f（x）≥x﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）要使：在区间在（0，+∞）恒成立，等价于：在（0，+∞）恒成立，等价于：在（0，+∞）恒成立因为==①当a＞0时，，a＞0不满足题意②当a＜0时，令h′（x）=0，则或（舍）．所以时h′（x）＜0，h（x）在上单调递减；时，h′（x）＞0，h（x）在上单调递增；当时当时，满足题意所以﹣e3≤a＜0，得到a的最小值为﹣e3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20.（14分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），函数g（x）的导函数g′（x）=ex，且函数f（x）无极值，g（0）g′（1）=﹣e（其中e为自然对数的底数）．（1）求a的取值范围；（2）若存在x∈（0，+∞），使得不等式g（x）＜+﹣2成立，求实数m的取值范围；（3）当a≤0时，对于任意的x∈（0，+∞），求证：f（x）＜g（x）．参考答案：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=a+（x＞0）；当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（x）无极值；当a＜0时，f′（x）=；若x∈（0，﹣）时，f′（x）＞0；若x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＜0；∴f（x）存在极大值，且当x=﹣时，f（x）极大=f（﹣）=ln（﹣）﹣1；综上，a的取值范围是[0，+∞）；（2）∵函数g（x）的导数是g′（x）=ex，∴g（x）=ex+c；∵g（0）g′（1）=﹣e，∴（1+c）e=﹣e，∴c=﹣2，∴g（x）=ex﹣2；∵存在x∈（0，+∞），使得不等式g（x）＜+﹣2成立，即存在x∈（0，+∞），使得m＞ex﹣x成立；令h（x）=ex﹣x，则问题可化为m＞h（x）min，对于h（x）=ex﹣x，x∈（0，+∞），∵h′（x）=ex（+）﹣，当x∈（0，+∞）时，∵ex＞1，+≥2=，∴ex（+）＞；∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上是增函数；∴h（x）＞h（0）=0，∴m＞0，即实数m的取值范围是（0，+∞）；（3）由（1）得a=0，则f（x）=lnx，令φ（x）=g（x）﹣f（x），则φ（x）=ex﹣lnx﹣2，∴φ′（x）=ex﹣，且φ′（x）在（0，+∞）上为增函数；设φ′（x）=0的根为t，则et=，即t=e﹣t，∵当x∈（0，t）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（0，t）上是减函数，当x∈（t，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（t，+∞）上是增函数；∴φ（x）min=φ（t）=et﹣lne﹣t﹣2=et+t﹣2；∵φ′（1）=e﹣1＞0，φ′（）=﹣2＜0，∴t∈（，1）；∵φ（t）=et+t﹣2在t∈（，1）上是增函数，∴φ（x）min=φ（t）=et+t﹣2＞+﹣2＞0，∴f（x）＜g（x）．21.（本小题满分12人）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。

（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差。

（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。参考答案：见解析【知识点】概率综合茎叶图解：(Ⅰ)当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10。

所以平均数为；

方差为

(Ⅱ)当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；

乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。

分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，

这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21。

事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，

所以该事件有2种可能的结果，

因此P(Y=17)=。

同理可得P(Y=18)＝；P(Y=19)=

；P(Y=20)=

；P(Y=21)=。

所以，随机变量Y的分布列为：

EY=17×＋18×＋19×＋20×＋21×＝19。22.（本小题满分12分）已知是的一个极值点（1）求函数的单调递减区间；（2）设，试问过点可作多少条直线与曲线相切？请说明理由.",Paper_Analysis="（1）因为是的一个极值点，所，经检验，适合题意，所以

-----------------------------------------------------------3分定义域为，所以函数