天津第五十九中学高三数学理测试题含解析

天津第五十九中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】根据已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，代入锥体体积公式，可得答案．【解答】解：根据已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，其底面面积S=π，高h==，故体积V==，故选：C．2.已知，命题，，则．是假命题，，

．是假命题，，

．是真命题，，

．是真命题，，参考答案：．因为，所以当时，，函数单调递减，即对，恒成立，所以是真命题．又全称命题的否定是特称命题，所以是，．故选．【解题探究】本题考查函数的单调性与全称命题的否定．解题首先判断命题的真假，然后再将命题写成的形式，注意特称命题与全称命题否定形式的基本格式．3.函数的单调递减区间是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略4.在平面直角坐标系xOy中，将点绕原点O逆时针旋转90°到点B，设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为，则等于(

)A. B. C. D.参考答案：A【分析】设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为，由任意角的三角函数的定义可以求得的值，依题有,则，利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图，设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为因为点在角的终边上，所以依题有,则，所以，故选：A【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.5.已知，则的值为A. B. C. D.参考答案：B由得。所以，选B.6.已知函数，若，且，则的取值范围是（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】经过讨论可知，利用可得，从而将化为；通过求解函数的值域求得的取值范围.【详解】设若，则，不成立；若，则，不成立若，则

设，则当时，，则单调递减当时，，则单调递增本题正确选项：C【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，本题解题的关键是能够通过讨论得到的范围，从而构造出新函数，再利用导数求得结果.7.函数是(A)最小正周期为的奇函数

(B)最小正周期为的偶函数(C)最小正周期为的奇函数

(D)最小正周期为的偶函数参考答案：B.因为，所以函数是最小正周期为的偶函数.8.设两圆C1，C2都与坐标轴相切，且都过点（4,1），则两圆的圆心距｜ClC2｜＝（）

A.4B、4C、8D、8－4

参考答案：C

【知识点】圆的标准方程．H3解析：∵两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），则有|a|=，∴a=5+2，或a=5﹣2，故圆心为（5+2，5+2）和（5﹣2，5﹣2），故两圆心的距离|C1C2|==8，故选C．【思路点拨】圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），则有|a|=，解方程求得a值，代入两点间的距离公式可求得两圆心的距离|C1C2|的值．9.已知为虚数单位,则(

).A.

B.

C.

D.参考答案：答案:B10.已知是实数，则“且”是“”的

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.复数满足=，则=

参考答案：512.设，将的图像向右平移个单位长度，得到的图像，若是偶函数，则的最小值为________．参考答案：【分析】先化简函数f(x),再求出，由题得，给k赋值即得解.【详解】，将的图像向右平移个单位长度得到，因为函数g(x)是偶函数，所以，所以故答案为：【点睛】本题主要考查三角恒等变换和图像的变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13.（5分）（2013?兰州一模）定义一种运算令，且x∈，则函数的最大值是

_________．参考答案：略14.底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面中心的四棱锥叫做正四棱锥.已知正四棱锥的高为2，体积为12，则该正四棱锥的外接球的表面积为______.参考答案：【分析】根据正四棱锥的体积，求得棱锥的底面边长，再在中，利用正弦定理和余弦定理，求得球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，正四棱锥，设正方形的底面边长，因为四棱锥的体积为12，即，解得，再正方形中，可得，在直角中，，可得，在直角中，，可得，在中，由余弦定理可得，所以，则外接圆的直径为，解得，即四棱锥外接球的半径为，所以外接球的表面积为，故答案为：.【点睛】本题主要考查了正四棱锥的结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记正四棱锥的结构特征，结合正弦定理和余弦定理，求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.15.已知函数在区间(0,2)上是单调增函数，则实数a的取值范围为

▲

．参考答案：[1,+∞)

16.若Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=－36，S13=－104，则a5a7的值为

．参考答案：3217.已知则等于

.参考答案：-【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2由则，sin=-,tan=-,==-【思路点拨】先根据角的范围求出正切值，再求。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2acosθ（a＞0），直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|AB|=2，求a的值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的互化方法，可得结论；（2）直线与曲线联立，利用弦长公式，建立方程，即可求a的值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2acosθ（a＞0）可得ρ2sin2θ=2aρcosθ．可得：曲线C的普通方程为：y2=2ax；直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为x﹣y﹣2=0；（2）直线与曲线联立可得y2﹣2ay﹣4a=0，∵|AB|=2，∴=2，解得a=﹣5或1．19.某种产品的质量以其指标值来衡量，其指标值越大表明质量越好，且指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的指标值，得到了下面的试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数82042228B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数412423210（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其指标值t的关系式为y=，估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述产品平均每件的利润．参考答案：【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值．（2）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值．【解答】解：（1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为=0.3∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为=0.42∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42；（2）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，∴P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，即X的分布列为X﹣224P0.040.540.42∴X的数学期望值EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68．【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题．20.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，点，以极点为原点，以极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知直线为参数）与曲线交于两点，且.（1）若为曲线上任意一点，求的最大值，并求出此时点P的坐标；（2）求.参考答案：21.已知椭圆C的方程是=（a＞b＞0），点A，B分别是椭圆的长轴的左、右端点，左焦点坐标为（﹣4，0），且过点p()．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知F是椭圆C的右焦点，以AF为直径的圆记为圆M，试问：过P点能否引圆M的切线，若能，求出这条切线与x轴及圆M的弦PF所对的劣弧围成的图形的面积；若不能，说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）因为椭圆C的方程为，（a＞b＞0），∴a2=b2+16，即椭圆的方程为，∵点在椭圆上，∴，解得b2=20或b2=﹣15（舍），由此得a2=36，所以，所求椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣6，0），F（4，0），又，则得，所以，即∠APF=90°，△APF是Rt△，所以，以AF为直径的圆M必过点P，因此，过P点能引出该圆M的切线，设切线为PQ，交x轴于Q点，又AF的中点为M（﹣1，0），则显然PQ⊥PM，而，所以PQ的斜率为，因此，过P点引圆M的切线方程为：，即令y=0，则x=9，∴Q（9，0），又M（﹣1，0），所以，因此，所求的图形面积是S=S△PQM﹣S扇形MPF=．考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．专题：综合题．分析：（Ⅰ）由题设知a2=b2+16，即椭圆的方程为，由点在椭圆上，知，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）由A（﹣6，0），F（4，0），，知，，所以，以AF为直径的圆M必过点P，因此，过P点能引出该圆M的切线，设切线为PQ，交x轴于Q点，又AF的中点为M（﹣1，0），则显然PQ⊥PM，由此能求出所求的图形面积．解答：解：（Ⅰ）因为椭圆C的方程为，（a＞b＞0），∴a2=b2+16，即椭圆的方程为，∵点在椭圆上，∴，解得b2=20或b2=﹣15（舍），由此得a2=36，所以，所求椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣6，0），F（4，0），又，则得，所以，即∠APF=90°，△APF是Rt△，所以，以AF为直径的圆M必过点P，因此，过P点能引出该圆M的切线，设切线为PQ