向量空间复习市公开课特等奖市赛课微课一等奖课件

空间向量复习第1页abOABba结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内两条有向线段表示。所以凡是包括空间任意两个向量问题，平面向量中有关结论仍适合用于它们。3.1.1空间向量运算第2页平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量含有大小和方向量数乘:ka,k为正数,负数,零加法交换律加法结合律数乘分配律加法交换律数乘分配律加法结合律类比思想数形结合思想数乘:ka,k为正数,负数,零第3页推广:（1）首尾相接若干向量之和，等于由起始向量起点指向末尾向量终点向量；（2）首尾相接若干向量若组成一个封闭图形，则它们和为零向量。第4页ABCDA1B1C1D1GM

始点相同三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱平行六面体以公共始点为始点对角线所表示向量第5页一、共线向量:零向量与任意向量共线.

1.共线向量:空间两向量相互平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作2.共线向量定理:对空间任意两个向量充要条件是存在实数λ使3.1.2共线向量定理与共面向量定理第6页推论:假如为经过已知点A且平行已知非零向量直线,那么对任一点O,点P在直线上充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+t其中向量a叫做直线方向向量.OABPa若P为A,B中点,则假如OP=OA+tAB，则点P、A、B三点共线。可用于证实点共线第7页二.共面向量:1.共面向量:平行于同一平面向量,叫做共面向量.OA注意：空间任意两个向量是共面，但空间任意三个向量就不一定共面了。第8页2.共面向量定理:假如两个向量不共线,则向量与向量共面充要条件是存在实数对使注：可用于证实三个向量共面第9页推论:空间一点P位于平面MAB内充要条件是存在有序实数对x,y使

或对空间任一点O,有

注意：证实空间四点P、M、A、B共面两个依据实数对第10页1、已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,求x,y值。2、证实：三向量a=e1+e2,b=3e1-2e2,c=2e1+3e2共面；若a=mb+nc，试求实数m、n之值。第11页1）两个向量夹角OAB3.1.3空间向量数量积向量a与b夹角记作：<a,b>第12页2）两个向量数量积注意：①两个向量数量积是数量，而不是向量.②零向量与任意向量数量积等于零。第13页3）射影BAA1B1注意：是轴l上正射影,A1B1是一个可正可负实数，它符号代表向量与l方向相对关系，大小代表在l上射影长度。第14页4)空间向量数量积性质注意：①性质2）是证实两向量垂直依据；②性质3）是求向量长度（模）依据；对于非零向量，有：第15页5)空间向量数量积满足运算律注意：数量积不满足结合律第16页1、应用可证实两直线垂直，2、利用可求线段长度。向量数量积应用第17页3.1.4空间向量正交分解及其坐标表示空间向量基本定理：假如三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.空间全部向量集合{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}{a,b,c}叫做空间一个基底，a,b,c都叫做基向量。第18页二、空间直角坐标系

单位正交基底：假如空间一个基底三个基向量相互垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，惯用i,j,k表示。则空间中任意一个向量p可表示为

p=xi+yj+zk(x,y,z)就是向量p坐标。第19页3.1.5向量直角坐标运算第20页二、距离与夹角1.距离公式（1）向量长度（模）公式注意：此公式几何意义是表示长方体对角线长度。第21页在空间直角坐标系中，已知、，则（2）空间两点间距离公式终点坐标减起点坐标第22页2.两个向量夹角公式注意：（1）当时，同向；（2）当时，反向；（3）当时，。思索：当及时，夹角在什么范围内？第23页立体几何中向量方法第24页1、用空间向量处理立体几何问题“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量联络，用空间向量表示问题中包括点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）经过向量运算，研究点、直线、平面之间位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量运算结果“翻译”成对应几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形问题）第25页ala二、怎样求平面法向量？第26页1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，E、F分别是BB1、DD1中点，求证：（1）FC1//平面ADE（2）平面ADE//平面B1C1F证实：如图1所表示建立空间直角坐标系D-xyz，则有D（0，0，0）、A（2，0，0）、C（0，2，0）、C1（0，2，2）、E（2，2，1）、F（0，0，1），所以设，分别是平面ADE、平面B1C1F法向量，则，，第27页2、已知向量则上单位向量为：

同理可求（1），又FC1平面ADE，平面ADE∴平面ADE//平面B1C1F（2）取y=1，则第28页设直线l,m方向向量分别为a,b，平面α，β法向量分别为u,v,则线线平行：l∥ma∥ba=kb;线面平行：l∥αa⊥ua·u=0;面面平行：α∥βu∥vu=kv.线线垂直：l⊥ma⊥ba·b=0;面面垂直：α⊥βu⊥vu·v=0.线面垂直：l⊥αa∥ua=ku;三、相关结论第29页异面直线所成角范围：

结论：题型一：线线角3.2.3利用空间向量求空间角第30页题型二：线面角直线与平面所成角范围：

题型二：线面角直线AB与平面α所成角θ可看成是向量与平面α法向量所成锐角余角，所以有第31页题型三：二面角二面角范围：关键：观察二面角范围第32页BAaMNnab一、求异面直线距离方法指导:①作直线a、b

方向向量a、b，求a、b法

向量n，即此异面直线a、b

公垂线方向向量；

②在直线a、b上各取一点

A、B，作向量AB；

③求向量AB在n上射影

d，则异面直线a、b间距离为方法指导:①作直线a、b

方向向量a、b，求a、b法

向量n，即此异面直线a、b

公垂线方向向量；

②在直线a、b上各取一点

A、B，作向量AB；

③求向量AB在n上射影

d，则异面直线a、b间距离为3.2.4第33页如图点P为平面外一点，点A为平面内任一点，平面法向量为n,过点P作平面

垂线PO，记PA和平面

所成角为

，则点P到平面距离n

APO

二、求点到平面距离第34页例4、已知正方形ABCD边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD中点，求直线BD到平面GEF距离。DABCGFExyz三、求直线与平面间距离第35页例5、在边长为1正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1中点，求平面AMN与平面EFDB距离。ABCDA1B1C1D1MNEFxyz四、求平行平面与平面间距离第36页立体几何中向量方法——坐标法问题1：已知：△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC,且EC,DB在平面ABC同侧，CE=CA=2BD.求证：

平面ADE⊥平面ACE.⑴怎样建立适当空间直角坐标系？⑵怎样证实平面ADE⊥平面ACE？⑹怎样求平面ADE、平面ACE法向量？⑶一个平面法向量有多少个？⑷能否设平面ADE法向量为n=(1,y,z)?⑸这么做有什么好处？第37页解：分别以CB，CE所在直线为y,z轴，C为原点建立空间直角坐标系C-xyz,如右下列图,设正三角形ABC边长为2则C(0,0,0)、E(0,0,2)、D(0,2,1)、B(0,2,0)、设N为AC中点，则N连接BN，∵△ABC为正三角形，∴BN⊥AC，∵EC⊥平面ABC,∴BN⊥EC,又AC∩EC=C,∴BN⊥平面ACE.所以可取向量为平面ACE法向量.那么设平面ADE法向量为n=(1,y,z),则nn第38页∴n=∵n∴平面DEA⊥平面ACE.为了方便计算，能否取平面ACE法向量为第39页经过上例，你能说出用坐标法处理立体几何中问题普通步骤吗？步骤以下：1.建立适当空间直角坐标系；2.写出相关点坐标及向量坐标；3.进行相关计算