人教版第24章圆的知识点及典型例题

圆知识点总结一．圆的定义1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．2．圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．3．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．二．同圆、同心圆、等圆1．圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3．半径相等的圆叫做等圆．三．弦和弧1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．四．与圆有关的角及相关定理1．顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）3．顶点在圆内，两边与圆相交的角叫圆内角．圆内角定理：圆内角的度数等于圆内角所对的两条弧的度数和的一半．4．顶点在圆外，两边与圆相交的角叫圆外角．圆外角定理：圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半．5．圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．6．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．7．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．五．垂径定理1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2．其它正确结论：⑴弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；⑵平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．⑶圆的两条平行弦所夹的弧相等．3．知二推三：⑴直径或半径；⑵垂直弦；⑶平分弦；⑷平分劣弧；⑸平分优弧．以上五个条件知二推三．注意：在由⑴⑶推⑵⑷⑸时，要注意平分的弦非直径．4．常见辅助线做法：⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．相关题目：1．平面内有一点到圆上的最大距离是6，最小距离是2，求该圆的半径2．（08郴州）已知在中，半径，是两条平行弦，且，则弦的长为__________．解：．六．点与圆的位置关系1．点与圆的位置有三种：⑴点在圆外；⑵点在圆上；⑶点在圆内.如下表所示：位置关系图形定义性质及判定点在圆外点在圆的外部点在的外部.点在圆上点在圆周上点在的圆周上.点在圆内点在圆的内部点在的内部.2．过已知点作圆⑴经过点的圆：以点以外的任意一点为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆有无数个．⑵经过两点的圆：以线段中垂线上任意一点作为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆也有无数个．⑶过三点的圆：若这三点共线时，过三点的圆不存在；若三点不共线时，圆心是线段与的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．⑷过个点的圆：只可以作个或个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．3．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．4．三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.五．直线和圆的位置关系的定义、性质及判定设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点直线与相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点直线与相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线直线与相交从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数圆心到直线的距离与半径的关系公共点名称交点切点—直线名称割线切线—四．切线的性质及判定1.切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．2.切线的判定定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3.切线长和切线长定理：⑴在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．五．三角形内切圆1.定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2.多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形．六．圆和圆的位置关系的定义、性质及判定设的半径分别为（其中），两圆圆心距为，则两圆位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定外离两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．两圆外离外切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．两圆外切相交两个圆有两个公共点．两圆相交内切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．两圆内切内含两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．两圆内含说明：圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．七．正多边形与圆1.正多边形的定义：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．2.正多边形的相关概念：⑴正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．⑵正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．⑶正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．⑷正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3.正多边形的性质：⑴正边形的半径和边心距把正边形分成个全等的直角三角形；⑵正多边形都是轴对称图形，正边形共有条通过正边形中心的对称轴；⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心．八、圆中计算的相关公式设的半径为，圆心角所对弧长为，1.弧长公式：2.扇形面积公式：3.圆柱体表面积公式：4.圆锥体表面积公式：（为母线）常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：①公式法；②割补法；③拼凑法；④等积变换法九年级数学第二十四章——圆（一）——圆中的有关概念和性质一、知识点回顾：1.确定一个圆有两要素，一是，二是，圆心确定、半径确定；2.圆既是对称图形，又是对称图形；它的对称中心是，对称轴是，有条对称轴。3.在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间，如果有一组量相等，那么，它们所对应的其它量也相等。典型题1：如图，AB、CD是⊙O的两条弦①若AB=CD，则有=，=②若AB=CD，则有=，=③若∠AOB=∠COD，则有=，=4.在在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角，相等的圆周角所对的弧，同弧或等弧所对圆周角是其所对的圆心角的。典型题2.如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠CAB＝∠CBA，∠COB与∠COA相等吗？为什么？典型题3．如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A＝30°，则∠BOC=°，∠OBC=°5.半圆或直径所对的圆周角都是°，90°的圆周角所对的弦是圆是。典型题4．填空：1、如图，AB是⊙O的直径，∠DCB=30°，则∠ACD=°，∠ABD=°2、如图，⊙O的直径AB=10，弦BC=5，∠B=°6.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平弦所对的弧。即：如图，若AB⊥CD，则有APPB，，AD=典型题5．如上图，若CD=10，AB=8，求PC的长？典型题6．某公园的一石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为_____．7．三角形的内心和外心（1）确定圆的条件：三个点确定一个圆．（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的，圆心就是的交点，叫做三角形的外心．（3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的，圆心是的交点，叫做三角形的内心。典型题7.在△ABC中，∠A=62°，点I是外接圆圆心，则∠BIC=___________8.与圆有关的角（1）圆心角：叫圆心角．圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（2）圆周角：的角，叫圆周角．圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．（3）圆心角与圆周角的关系．同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的．典型题8.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°则∠BOC的大小是（）A．60○B．45○C．30○D．15○典型题9.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上．如果∠P＝50○，那么∠ACB等于（）A．40○B．50○C．65○D．130○二、基础达标练习：（一）选择题：1．下列命题正确的是（）A．相等的圆心角所对的弦相等B．等弦所对的弧相等C．等弧所对的弦相等D．垂直于弦的直线平分弦2．“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”．用数学语言可表述为如图1－3－5，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（）A．12．5寸B．13寸C．25寸D．26寸3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（）A．50°B．80°C．100°D．130°4．如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（）A．180°B．150°C．135°D．120°（二）填空题：5．如图，MN所在的直线垂直平分弦AB，利用这样的工具最少使用__________次，就可找到圆形工件的圆心．6．如图，A、B、C是⊙O上三个点，当BC平分∠ABO时，能得出结论_______（任写一个）．7．如图1－3－9，已知AB是⊙O的直径，AD∥OC，∠BAD的度数为80°，则∠BOC=_________.8．如图1－3-10，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中和∠1相等的角有_____.9．如图1－3－l1，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，则∠C的度数是________.（三）解答题：10．⊙O的半径是5，AB、CD为⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB=6，CD=8，求AB与CD之间的距离．11.如图，AB、CD是⊙O的直径，DF、BE是弦，且DF=BE。ABCDOEABCDOEF12圆O中，弦AB＝AC，AD是圆O的直径。

求证：AD平分∠BAC三、能力提高训练：1.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形（）2.小芳在为班级办黑板报时遇到了一个难题，在版面设计过程中需将一个半圆面三等分（如图所示），请你帮助她设计一个合理的等分方案．要求用尺规作出图形，保留作图痕迹，并简要写出作法．能力锻炼与提升（二）——圆中的位置关系一、知识点回顾：1.点与圆的位置关系A点在圆OArB点在圆OBrC点在圆OCr2.直线与圆的位置关系(设⊙O半径为，圆心到直线距离为)①与⊙O相交r②与⊙O相切r③与⊙O相离r典型题1．Rt△ABC中，∠C=90°，∠AC=3cm，BC＝4cm，给出下列三个结论：①以点C为圆心1．3cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2．4cm长为半径的圆与AB相切；③以点C为圆心，2．5cm长为半径的圆与AB相交．上述结论中正确的个数是（）A．0个B．l个C．2个D．3个3、切线性质：圆的切线于经过切点的半径.4、切线识别：经过半径的（内、外）端且于这条半径的直线是圆的切线。典型题2．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为（）（例34）典型题4.如图，AB是⊙O的直径，∠B＝45°，AC＝AB，AC是⊙O的切线吗？（写出详细的过程）5.圆与圆的位置关系（1）用公共点的个数来区分①两个圆如果没有公共点，那么就说这两个圆，如图3的②两个圆有一个公共点，那么就说这两个圆，如图3的③两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆，如图3的（2）用数量关系来区别：设两圆的半径分别为、，圆心距为：①用数轴表示圆与圆的位置与圆心距d之间的对应关系（在数轴上填出圆心距d各在区域中对应圆与圆的位置名称）②根据数轴填表两圆的位置关系数量关系及其识别方法外离外切相交内切内含典型题5.已知相切两圆的半径分别为3cm和2cm，则两圆的圆心距是____cm．6.切线长定理：从圆一点可以引圆的条切线，它们的切线长．这一点和圆心的连线这两条切线的角．即：如右图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A、B，则PAPB，PO平分∠.典型题6．填空：1、如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A、B，∠P=60°PA=10cm，那么AB的长为2、如图，PA，PB分别为⊙O的切线，AC为直径，切点分别为A、B，∠P=70°，则∠C=二、基础达标练习：

（一）选择题：1、已知⊙O的半径为6，A为线段PO的中点，当OP=10时，点A与⊙O的位置关系为（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．不确定2、圆最长弦为12，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为，那么（）A．B．C．D．3、已知圆⊙O1和⊙O2的半径的6cm和8cm，当O1O2=12cm时,⊙O1和⊙O2的位置关系为（）A．外切B．相交C．内切D．内含4、两圆半径和为24cm，半径之比为1：2，圆心距为8cm，则两圆的位置关系为（）A．外离B．相交C．内切D．外切5.两个同心圆的半径分别为1cm和2cm，大圆的弦AB与小圆相切，那么AB=（）A．EQ\r(,3)B．2EQ\r(,3)C．3D．46.已知两圆的半径分别为3cm和4cm，圆心距为1cm，那么两圆的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切7．两圆既不相交又不相切，半径分别为3和5，则两圆的圆心距d的取值范围是（）A．d＞8B．0＜d≤2C．2＜d＜8D．0≤d＜2或d＞8（二）填空题：8．在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心，以3cm长为半径画圆，则对A、B、C、M四点，在圆外的有______，在圆上的有________，在圆内的有________.9．△ABC中，∠C=90°，AC=3，CB=6，若以C为圆心，以r为半径作圆，那么：⑴当直线AB与⊙C相离时，r的取值范围是____；⑵当直线AB与⊙C相切时，r的取值范围是____；⑶当直线AB与⊙C相交时，r的取值范围是____.10.已知半径为3cm，4cm的两圆外切，那么半径为6cm且与这两圆都外切的圆共有___个．11.已知⊙O1和⊙O2相外切，且圆心距为10cm，若⊙O1的半径为3cm，则⊙O2的半径为___cm．12.已知两圆半径分别为4cm和2cm，圆心距为10cm，则两圆的内公切线的长为_________cm．13.已知两圆的圆心距是5，两圆的半径是方程的两实根，则两圆的位置关系是。（三）解答题：14．如图，已知两同心圆，大圆的弦AB切小圆于M，若环形的面积为9π，求AB的长．15．如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，∠APB=90°，OP=4，求⊙O的半径．三、能力提高训练：

17.已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC．求证：DC是⊙O的切线．18．如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠A=300，延长斜边AB到D，使BD等于⊙O半径，求证：DC是⊙O切线。19．已知：如图所示，直线l的解析式为，并且与x轴、y轴分别交于点A、B。（1）求A、B两点的坐标；（2）一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位/秒的速度向x轴正方向运动，问在什么时刻与直线l相切；（3）在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿BA方向以0.5个单位/秒的速度运动，问在整个运动过程中，点P在动圆的圆面（圆上和圆内部）上，一共运动了多长时间？能力锻炼与提升（三）——圆中的有关计算一、知识点回顾：1.正多边形和圆

（1）画正n边形的步骤：将一个圆n等分，顺次连接各分点。对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。（2）正n边形的每个内角都等于，每个外角为，等于中心角。典型题1.正三角形的边心距、半径和高的比是（

）

A.1∶2∶3

B.

C.

D.典型题2.正三角形的边长是边心距的

倍。正九边形的中心角是

度，每个内角为

度。典型题3已知正六边形ABCDEF的半径为2cm，求这个正六边形的边长、周长和面积。

解：∵正六边形的半径等于边长

∴正六边形的边长

正六边形的周长

正六边形的面积

点拨：本题的关键是正六边形的边长等于半径。

2.弧长的计算如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，那么，弧长典型题4．填表：半径r圆心角度数n弧长l1036°52120°12（圆周率用表示即可）3.扇形面积计算：方法一：如果已知扇形圆心角为n，半径为r，那么扇形面积方法二：如果已知扇形弧长为l，半径为r，那么扇形面积典型题5．填表：半径r圆心角度数n弧长l扇形面积1036°662643.圆锥的侧面积与表面积（1）如图1：为圆锥的，为圆锥的，为圆锥的，由勾股定理可得：、、之间的关系为：（2）如图2：圆锥的侧面展开后一个：圆锥的母线是扇形的而扇形的弧长恰好是圆锥底面的。故：圆锥的侧面积就是圆锥的侧面展开后的扇形的。圆锥的表面积=+典型题6．看图1、填表：底面积底面圆的周长侧面积表（全）面积3551368（圆周率用表示即可）基础达标练习：<一>填空题：1．在半径为3的⊙O中，弦AB=3，则AB的长为4．一个圆锥的侧面展开图形是半径为4cm的半圆,那么这个圆锥的底面半径等于___cm.；菱形的边长是1cm，那么徽章的直径是；6．如图，将一个半径为4cm的半圆绕直径AB的一个端点A旋转40°,那么,图中阴影部分的面积为________cm；<二>选择题：7．扇形的周长为16，圆心角为’，则扇形的面积为（）A．16B．32C．64D．16π8.一个扇形的弧长为，面积为则这个扇形的圆心角是（）A.B.C.D.9．一个扇形的半径为30，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面圆的半径是）A.10B.12C.14D.1510．扇形的弧长为4π，扇形的半径为3，则其面积为（）A.12πB.6πC.7πD.1.5π11．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则它的侧面展开图的圆心角等于（）A．108°B．144°C．180°D．216°12．若圆锥的底面直径为6cm，母线长为5cm，那么圆锥的侧面积为（）A.7.5πcm2B.30πcm2C.15πcm2D.22.5πcm2<三>解答题：13．在Rt△ABC中，∠C=90º，AB=5，BC=3，以AC所在直线为轴旋转一周，求所得圆锥的侧面展开图的面积.三、能力提高训练：14．如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于A，AB是⊙O的直径，PB交⊙O于C，PA＝2cm，PC＝1cm,则图中阴影部分的面积S是（）A.BCD15．如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B′C″的位置，设BC=1，AC=EQ\r(,3)，则顶点A运动到A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是____________（计算结果不取近似值）16．如图，阴影部分是某一广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别为20cm，10cm、∠AOB＝120㎝，求这个广告标志面的周长．1.如果圆锥母线长为6cm，底面直径为6cm，那么这个圆锥的侧面积是cm2；17．如图，等腰直角△ABC的斜边AB＝4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两腰相切于D、E，求图中阴影部分的面积（结果用π表示）。18．如图，已知⊙O的半径为R，直径AB⊥CD，以B为圆心、以BC为半径，求弧CED与弧CAD围成的新月形ACED的面积；能力锻炼与提升（四）班别：姓名：学号：一、选择题：1.中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分，然后连结五等分点，如图所示，五角星的每一个角的度数为（）A．30°B、35°C．36°D．37°2.已知两圆的圆心距是3，两圆的半径分别是方程x2－3x+2=0的两个根，那么这两个圆的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切3.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E在CD的延长线上，如果∠BOD=120°，那么∠BCE等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°4.如图，图中有五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度沿弧ADA1、弧A1EA2、弧A2FA3、弧A