高中数学第一章常用逻辑用语1.2.2充要条件省公开课一等奖新名师获奖课件

1.2.2充要条件1/572/57主题充要条件概念1.已知p:整数a是6倍数,q:整数a是2和3倍数.请判断:p是q充分条件吗?p是q必要条件吗?3/57提醒:p⇒q,故p是q充分条件,又q⇒p,故p是q必要条件.4/572.经过判断,你发觉了什么?这种关系是否对任意一个“若p,则q”命题只要具备上述命题条件都成立?你能用数学语言概括出来吗?提醒:能够发觉p既是q充分条件,又是q必要条件,且这种关系对“若p,则q”命题只要具备p⇒q,q⇒p都成立,即p⇔q.5/57结论:充要条件概念假如现有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,我们说p是q_________条件,简称_____条件.概括地说,假如p⇔q,那么p与q互为_____条件.充分必要充要充要6/57【微思索】1.符号“⇔”含义是什么?提醒:符号“⇔”含义是“等价于”.比如,“p⇔q”能够了解为“p是q充要条件”“p等价于q”“q必须且只须p”;“p⇔q”含义还能够了解为“p⇒q,且q⇒p”.7/572.p是q充要条件与q是p充要条件意义相同吗?8/57提醒:不相同.二者都有p与q等价含义,不过两种叙述方式中条件与结论不一样:“p是q充要条件”中,“p”是条件,“q”是结论,即p⇒q为真,充分性成立,q⇒p为真,必要性成立;而“q是p充要条件”中条件是“q”,结论是“p”,即q⇒p为真,充分性成立,p⇒q为真,必要性成立.9/573.若p不是q充分条件,则q可能是p必要条件吗?p可能是q必要条件吗?提醒:充分条件与必要条件是共存,假如p不是q充分条件,则q也不是p必要条件.p可能是q必要条件.10/57【预习自测】1.已知条件p:y=lg(x2+2x-3)定义域,条件q:5x-6>x2,则q是p()A.充分无须要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也无须要条件11/57【解析】选A.p:x2+2x-3>0,则x>1或x<-3;q:5x-6>x2,即x2-5x+6<0,得2<x<3,所以q⇒p,但pq.12/572.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”()A.充分无须要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也无须要条件13/57【解析】选A.x2+y2≥4表示以原点为圆心,以2为半径圆以及圆外区域,可知点(0,2)在此区域内,此时x=0<2,即x2+y2≥4不一定推出x≥2且y≥2.14/573.设a,b∈R,那么ab=0充要条件是()A.a=0且b=0B.a=0或b≠0C.a=0或b=0 D.a≠0且b=015/57【解析】选C.由ab=0,知a,b最少有一个为0.即a=0或b=0,而由a=0或b=0可得ab=0.16/574.已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0,且ab>0”______条件.17/57【解析】因为a>0,b>0,所以a+b>0,ab>0,所以充分性成立;因为ab>0,所以a与b同号,又a+b>0,所以a>0且b>0,所以必要性成立.故“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”充要条件.答案:充要18/57类型一充分条件、必要条件、充要条件判断【典例1】(1)(·北京高考)设m,n为非零向量，则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n＜0”()A.充分而无须要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也无须要条件19/57(2)判断以下各题中p是q什么条件.①在△ABC中,p:A>B,q:BC>AC.②p:x>1,q:x2>1.③p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3.④p:a<b,q:<1.20/57【解题指南】可依据充分、必要、充要条件特点，分两个步骤进行判断:①判断充分性；②判断必要性.21/57【解析】(1)选A.若存在负数λ，使得m=λn,此时非零向量m，n反向，则有m·n＜0成立，当m·n＜0时，非零向量m，n夹角θ∈此时m，n不一定反向，所以m=λn不一定成立，所以“存在负数λ，使得m=λn”是“m·n＜0”充分而无须要条件.22/57(2)①由三角形中大角对大边可知,若A＞B,则BC＞AC;反之，若BC＞AC，则A＞B.所以,p是q充要条件.②由x＞1能够推出x2＞1;由x2＞1，得x＜-1或x＞1，不一定有x＞1.所以,p是q充分无须要条件.

23/57③由(a-2)(a-3)=0能够推出a=2或a=3,不一定有a=3;由a=3能够得出(a-2)(a-3)=0.所以,p是q必要不充分条件.24/57④因为a<b,当b<0时,>1;当b>0时,<1,故若a<b,不一定有<1;当a>0,b>0,<1时,能够推出a<b;当a<0,b<0,<1时,能够推出a>b.所以p是q既不充分也无须要条件.25/57【方法总结】判断充分条件、必要条件及充要条件四种方法(1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”真假.(2)集正当:即利用集合包含关系判断.26/57(3)等价法:即利用p⇔q与q⇔p等价关系,普通地,对于条件和结论是否定形式命题,普通利用等价法.(4)传递法:充分条件和必要条件含有传递性,即由p1⇒p2⇒…⇒pn,可得p1⇒pn;充要条件也有传递性.27/57【拓展延伸】充分条件、必要条件、充要条件与四种命题关系判定充分条件、必要条件时,能够与四种命题关系结合起来.把p与q分别记作原命题条件与结论,则原命题与逆命题真假同p与q之间关系以下:28/57①假如原命题为真,逆命题为假,那么p是q充分无须要条件;②假如原命题为假,逆命题为真,那么p是q必要不充分条件;③假如原命题与逆命题都为真,那么p是q充要条件;④假如原命题与逆命题都为假,那么p是q既不充分也无须要条件.29/57【巩固训练】已知以下命题中:①若a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”充分无须要条件;②对于实数a,b,c,“a>b”是“ac2>bc2”充分无须要条件;30/57③直线l1:ax+y=3,l2:x+by-c=0.则“ab=1”是“l1∥l2”必要不充分条件;④“m<-2或m>6”是“y=x2+mx+m+3有两个不一样零点”充要条件.正确命题是______.31/57【解析】①中,当a=2时,有(a-1)(a-2)=0;但当(a-1)·(a-2)=0时,a=1或a=2,不一定有a=2.所以“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”充分无须要条件,①正确.②因为a>bac2>bc2(c=0),但ac2>bc2⇒a>b.所以“a>b”是“ac2>bc2”必要不充分条件,②错.32/57③中,ab=1且ac=3时,l1与l2重合,但l1∥l2⇒,即ab=1,所以“ab=1”是“l1∥l2”必要不充分条件,③正确.④中,y=x2+mx+m+3有两个不一样零点⇔Δ=m2-4(m+3)>0⇔m<-2或m>6.所以是充要条件,④正确.答案:①③④33/57类型二充分条件、必要条件、充要条件应用【典例2】已知条件p:A={x|x2-(a+1)x+a≤0},条件q:B={x|x2-3x+2≤0},当a为何值时,(1)p是q充分无须要条件.(2)p是q必要不充分条件.(3)p是q充要条件.34/57【解题指南】先化简p,q对应集合,再结合p,q关系转化为集合A,B间关系,构建方程或不等式可解.35/57【解析】因为A={x|x2-(a+1)x+a≤0}={x|(x-1)(x-a)≤0}.B={x|x2-3x+2≤0}=[1,2],(1)因为p是q充分无须要条件,所以AB,而当a=1时,A={1},显然成立,当a>1,A=[1,a],需1<a<2,综上可知1≤a<2时,p是q充分无须要条件.36/57(2)因为p是q必要不充分条件,所以BA,故A=[1,a],且a>2,所以有a>2时,p是q必要不充分条件.(3)因为p是q充要条件,所以A=B,故a=2.37/57【延伸探究】1.本例条件不变,当a为何值时,q是p充分无须要条件?【解析】p:A={x|(x-1)(x-a)≤0},q:B=[1,2],若q是p充分无须要条件,即q⇒p,但pq,即p是q必要不充分条件,故a取值范围为a>2.38/572.若把本例中B集合改为:B={x|x2+x-2≤0},其它条件不变,则a为何值?【解析】B={x|x2+x-2≤0}=[-2,1],此时,(1)AB,得:-2<a≤1.(2)BA,得:a<-2.(3)A=B,得:a=-2.39/57【方法总结】1.集正当求参数取值范围利用充分、必要条件求参数取值范围问题,常利用集正当求解,即先化简集合A={x|p(x)}和B={x|q(x)},然后依据p与q关系(充分、必要、充要条件),得出集合A与B包含关系,进而得到相关不等式组(也可借助数轴),求出参数取值范围.40/572.反例法判断条件判断p是q什么条件,若直接判断困难,还能够用等价命题来判断,有时也可经过举反例否定充分性或必要性.41/57【赔偿训练】若A={x|a<x<a+2},B={x|x<-1或x>3},且A是B充分无须要条件,求实数a取值范围.42/57【解析】因为A是B充分无须要条件,所以AB,又A={x|a<x<a+2},B={x|x<-1或x>3}.所以a+2≤-1或a≥3,所以实数a取值范围是a≥3或a≤-3.43/57类型三充要条件证实【典例3】试证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根充要条件是ac<0.44/57【解题指南】45/57【证实】(1)必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,所以Δ=b2-4ac>0,x1x2=<0(x1,x2为方程两根),所以ac<0.46/57(2)充分性:由ac<0可推得Δ=b2-4ac>0及x1x2=<0(x1,x2为方程两根).所以方程ax2+bx+c=0有两个相异实根,且两根异号,即方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根.总而言之,一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根充要条件是ac<0.47/57【方法总结】证实充要条件两个关注点(1)双向性:证实p是q充要条件,既要证实“p⇒q”为真,又要证实“q⇒p”为真,前者证实是充分性,后者证实是必要性.48/57(2)分清地位:证实充要条件,即说明原命题和逆命题都成立,要注意“p是q充要条件”与“p充要条件是q”这两种说法差异,分清哪个是条件,哪个是结论.49/57【巩固训练】求证:关于x一元二次不等式ax2-ax+1>0对于一切实数x都成立充要条件是0<a<4.50/57【证实】①必要性:若ax2-ax+1>0对于一切实数x都成立,由二次函数性质有即所以0<a<4.51/57②充分性:因为0<a<4,所以0<<1,即0<1-<1,所以ax2-ax+1=所以若0<a<4,则ax2-ax+1>0对于一切实数x都成立.由①②知,命题得证.52/57【赔偿训练】已知x,y都是非零实数,且x>y,求证:充要条件是xy>0.53/57【证实】