河南省南阳市2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题

2018年春期高中二年级期中质量评估数学试题（理）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，复数，则以下为真命题的是（）A．的共轭复数为B．的虚部为C．D．在复平面内对应的点在第一象限2.设，，都是正数，则三个数，，（）A．都大于2B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2D．至少有一个不大于23.当在上变化时，导函数的符号变化如下表：140+0则函数的图像大致形状为（）A．B．C．D．4.直线与曲线相切于点，则的值为（）A．1B．0C.1D．25.已知函数在处取得极大值10，则的值为（）A．B．C.2或D．26.利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由变到时，左边增加了（）A．1项B．项C.项D．项7.若曲线与曲线在交点处由公切线，则（）A．1B．0C.2D．18.若函数（）有最大值4，则的值是（）A．1B．-1C.4D．49.函数在上有最小值，则实数的范围是（）A．B．C.D．10.将正奇数1,3,5,7，…排成五列（如下表），按此表的排列规律，2019所在的位置是（）A．第一列B．第二列C.第三列D．第四列11.设定义在上的函数的导函数满足，则（）A．B．C.D．12.一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动.如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动(1步的距离为1个单位长度).令表示第秒时机器人所在位置的坐标，且记,则下列结论中错误的是（）A．B．C.D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.．14.我们知道，在边长为的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值．15.已知函数（），若函数在上未单调函数，则的取值范围是．16.定义：如果函数在区间上存在，（），满足，，则称函数在区间上市一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知是虚数单位，复数满足.（1）求；（2）若复数的虚部为2，且是实数，求.18.设点在曲线上，从原点向移动，如果直线，曲线及直线所围成的两个阴影部分的面积分别记为，，如图所示.（1）当时，求点的坐标；（2）当有最小值时，求点的坐标.19.已知函数在与时都取得极值.（1）求，的值与函数的单调区间；（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围.20.已知数列，，…，，为该数列的前项和.（1）计算，，，；（2）根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明.21.已知函数.（1）证明；（2）如果对恒成立，求的范围.22.已知函数（为自然对数的底数）.（1）求函数的单调区间；（2）设函数，存在实数，，使得成立，求实数的取值范围.试卷答案一、选择题15:DCCAB610:DDBCC11、12：AD二、填空题13.14.15.∪[1，＋∞)16.三、解答题17.解：（1）．（2）设,则,是实数∴．∴．18.解：（1）设点P的横坐标为t（0＜t＜2），则P点的坐标为（t，t2），直线OP的方程为y=txS1=∫0t（tx﹣x2）dx=，S2=∫t2（x2﹣tx）dx=，因为S1=S2，，所以，点P的坐标为（2）S=S1+S2=S′=t2﹣2，令S'=0得t2﹣2=0，t=因为0＜t＜时，S'＜0；＜t＜2时，S'＞0所以，当t=时，S1＋S2有最小值，P点的坐标为．19.解：（1）由，得，随着变化时，的变化情况如下表：极大值极小值所以函数的递增区间是与,递减区间是；（2），当时，由（1）知在上的最大值为所以只需要，得当时，由（1）知在上的最大值为所以只需要，解得所以综上所述，的取值范围为20.（1）．（2）猜想，用数学归纳法证明如下：①当时，，猜想成立；②假设当时，猜想成立，即，当时，故当时，猜想成立．由①②可知，对于任意的，都成立．21.解：（1）证明：故由题意知恒成立，设，则，符合题意，即单调递减不合题意综上，的取值范围为22.解:(1)∵函数的定义域为R，f′(x)＝－eq\f(x,ex)，∴当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．(2)存在x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，则2[φ(x)]min<[φ(x)]max.∵φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x＝，∴.①当t≥1时，φ′(x)≤0，φ(x)在[0,1]上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即t>3－eq\f(e,2)>1；②当t≤0时，φ′(x)>0，φ(x)在[0,1]上单调递增，∴2φ(0)<φ(1)，即t<3－2e<0；③当0<t<1时，若x∈[0，t)，φ′(x)<0，φ(x)在[0，t)上单调递减，若t∈(t,1]，φ′(x)>0，φ(x)在(t,1)上单调递增，∴2φ(t)<max{φ(0)，φ(1)}，即2·eq\f(t＋1,et)<max{1，eq\f(3－t,e)}．(*)由(1)知，g(t)＝