中考数学专题二题型五材料阅读与图案设计

中考数学专题二题型五材料阅读与图案设计例1

(2020·达州)(1)[阅读与证明]如图①，在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E(点E在∠CAH内)，连接BE，BE，CE分别交AM于点F，G.①完成证明：∵点E是点C关于AM的对称点，∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2.∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，∴AE＝AB，得∠3＝∠4.在△ABE中，∠1＋∠2＋60°＋∠3＋∠4＝180°，∴∠1＋∠3＝____°.在△AEG中，∠FEG＋∠3＋∠1＝90°，∴∠FEG＝____°.②求证：BF＝AF＋2FG.6030(2)[类比与探究]把(1)中的“正△ABC”改为“正方形ABDC”，其余条件不变，如图②.类比探究，可得：①∠FEG＝____°；②线段BF，AF，FG之间存在数量关系____________________________；45(3)[归纳与拓展]如图③，点A在射线BH上，AB＝AC，∠BAC＝α(0°<α<180°)，在∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E(点E在∠CAH内)，连接BE，BE，CE分别交AM于点F，G.则线段BF，AF，GF之间的数量关系为____________________________．(1)②证明：如解图①，连接CF，在FB上取一点T，使得FT＝CF，连接CT.∵C，E关于AM对称，∴AM垂直平分线段EC，∴FE＝FC，∴∠FEC＝∠FCE＝30°，EF＝2FG，∴∠CFT＝∠FEC＋∠FCE＝60°，∵FC＝FT，∴△CFT是等边三角形，∴∠ACB＝∠FCT＝60°，CF＝CT＝FT，∴∠BCT＝∠ACF，∵CB＝CA，∴△BCT≌△ACF(SAS)，∴BT＝AF，∴BF＝BT＋FT＝AF＋EF＝AF＋2FG.1.(2020·山西)阅读与思考：如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．任务：(1)填空：“办法一”依据的一个数学定理是______________________；(2)根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS＝90°；(3)①尺规作图：请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线(在木板上保留作图痕迹，不写作法)；②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实(写出一个即可).勾股定理的逆定理解：(2)由作图方法可知，QR＝QC，QS＝QC，∴∠QCR＝∠QRC，∠QCS＝∠QSC，∵∠SRC＋∠RCS＋∠QRC＋∠QSC＝180°，∴2(∠QCR＋∠QCS)＝180°，∴∠QCR＋∠QCS＝90°，即∠RCS＝90°；(3)①如解图所示，直线PC即为所求；②答案不唯一，如：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．证明：(1)∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵∠ADB＝∠ACB＋∠DAC，∠ABD＝∠ABC＝∠ACB＋∠BAE，∴∠BAE＝∠DAC；(1)【举例应用】已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝7，则△ABC的面积为____；4.(2019·镇江)【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈(如图①中的⊙O).人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图②所示的工具尺(古人称它为“复矩”)，尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的．【实际应用】观测点A在图①所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得α为67°.PQ是⊙O的直径，PQ⊥ON.(1)求∠POB的度数；解：(1)设过点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于点D，CH⊥BH交BC于点C，如解图所示．则∠DHC＝67°，∵∠HBD＋∠BHD＝∠BHD＋∠DHC＝90°，∴∠HBD＝∠DHC＝67°，∵ON∥BH，∴∠BEO＝∠HBD＝67°，∴∠BOE＝90°－67°＝23°，∵PQ⊥ON，∴∠POE＝90°，∴∠POB＝90°－23°＝67°；例2

(2020·益阳)定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：(1)如图①，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？(2)如图②，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD>AB，点B到直线AD的距离为BE.①求BE的长；②若M，N分别是AB，AD边上的动点，求△MNC周长的最小值．【分析】(1)由旋转性质得BE＝BF，再证明∠EBF＝90°，∠EBF＋∠D＝180°便可；(2)①过点C作CF⊥BE于点F，证明△BCF≌△ABE得CF＝BE，设BE＝x，在Rt△BCF中，由勾股定理列出关于x的方程解答便可；②延长CB到点F，使得BF＝BC，延长CD到点G，使得CD＝DG，连接FG，分别与AB，AD交于点M，N，求出FG便是△MNC的最小周长．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，∵将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，∴BE＝BF，∠CBE＝∠ABF，∴∠EBF＝∠ABC＝90°，∴∠EBF＋∠D＝180°，∴四边形BEDF为“直等补”四边形；(2)①过C作CF⊥BE于点F，如解图①，则∠CFE＝90°，∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD>AB，∴∠ABC＝90°，∠ABC＋∠D＝180°，∴∠D＝90°，∵BE⊥AD，∴∠DEF＝90°，∴四边形CDEF是矩形，∴EF＝CD＝1，∵∠ABE＋∠A＝∠CBE＋∠ABE＝90°，∴∠A＝∠CBE，∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC＝5，∴△ABE≌△BCF(AAS)，∴BE＝CF，设BE＝CF＝x，则BF＝x－1，∵CF2＋BF2＝BC2，∴x2＋(x－1)2＝52，解得x＝4或x＝－3(舍)，∴BE＝4；②如解图②，延长CB到点F，使得BF＝BC，延长CD到点G，使得CD＝DG，连接FG，分别与AB，AD交于点M，N，过点G作GH⊥BC，与BC的延长线交于点H.连接MC，NC，则BC＝BF＝5，CD＝DG＝1，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴CM＝FM，CN＝GN，∴△MNC的周长的最小值＝CM＋MN＋CN＝FM＋MN＋GN＝FG，此时值最小值，∵四边形ABCD是“直等补”四边形，∴∠A＋∠BCD＝180°，∵∠BCD＋∠HCG＝180°，∴∠A＝∠HCG，5.(2019·兰州)通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC＝AE.我们把这个数学模型称为“K型”．推理过程如下：【模型应用】如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，BC＝2，将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE＝∠ABC，DE＝1，连接DO交⊙O于点F.(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)连接FC交AB于点G，连接FB.求证：FG2＝GO·GB.证明：(1)∵⊙O为Rt△ABC的外接圆，∴O为斜边AB中点，AB为直径，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＋∠BAC＝90°.∵∠DAE＝∠ABC，∴∠DAE＋∠BAC＝90°，∴∠BAD＝180°－(∠DAE＋∠BAC)＝90°，∴AD⊥AB.∴AD是⊙O的切线；7.(2020·咸宁)定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．理解：(1)若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为___________________；证明：(2)如图①，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D.求证：四边形ABCD是对余四边形；探究：(3)如图②，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．90°或270°(2)证明：∵MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，∴∠BAM＋∠BCN＝90°，即∠BAD＋∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是对余四边形；(3)解：线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2＋CD2＝BD2，理由如下：∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝30°，∵AB＝BC，∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如解图所示，∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，∴△BFD是等边三角形，∴BF＝BD＝DF，∵∠ADC＝30°，∴∠ADB＋∠BDC＝30°，∴∠BFA＋∠ADB＝30°，∵∠FBD＋∠BFA＋∠ADB＋∠AFD＋∠ADF＝180°，∴60°＋30°＋∠AFD＋∠ADF＝180°，∴∠AFD＋∠ADF＝90°，∴∠FAD＝90°，∴AD2＋AF2＝DF2，∴AD2＋CD2＝BD2.8.数学概念百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某些边向两边延长，其他各边不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图①，在四边形ABCD中，画出DC所在直线MN，边BC，AD分别在直线MN的两旁，则四边形ABCD就是凹四边形．性质初探(1)在图①所示的凹四边形ABCD中，求证：∠BCD＝∠A＋∠B＋∠D；深入研究(2)如图②，在凹四边形ABCD中，AB与CD所在直线垂直，AD与BC所在直线垂直，∠B，∠D的平分线相交于点E.①求证：∠A＋∠BCD＝180°；②随着∠A的变化，∠BED的大小会发生变化吗？如果有变化，请探索∠BED与∠A的数量关系；如果没有变化，请求出∠BED的度数．(1)证明：如解图①，延长DC交AB于点E，∵∠BEC是△AED的一个外角，∴∠A＋∠D＝∠BEC，同理，∠B＋∠BEC＝∠BCD，∴∠BCD＝∠A＋∠B＋∠D.(2)①证明：如解图②，延长BC，DC分别交AD，AB于点F，G，由题意可知，∠AFC＝∠AGC＝90°，∵在四边形AFCG中，∠AFC＋∠AGC＋∠A＋∠FCG＝360°，∴∠A＋∠FCG＝180°，∵∠FCG＝∠BCD，∴∠A＋∠BCD＝180°；②解：由(1)可知，在凹四边形ABED中，∠A＋∠ABE＋∠ADE＝∠BED①，同理，在凹四边形EBCD中，∠BED＋∠EBC＋∠EDC＝∠BCD②，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，同理，∠ADE＝∠EDC，①－②得∠A＋∠BCD＝2∠BED，由(2)①可知，在凹四边形ABCD中，∠A＋∠BCD＝180°，∴2∠BED＝180°，∴∠BED＝90°.例3

(2020·长春)图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC.要求：(1)在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；(2)三个图中所画的三角形的面积均不相等；(3)点C在格点上．解：如解图所示，即为符合条件的三角形．9.(2020·宁波)图①，图②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：(1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．(2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．(请将两个小题依次作答在图①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形)解：(1)轴对称图形如解图①所示；(2)中心对称图形如解图②所示．10.(2019·无锡)按要求作图，不要求写作法，但要保留作