2024年中考数学冲刺：代数综合问题-巩固练习（基础）

2024年中考数学冲刺：代数综合问题—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题

1.如图所示，已知函数和y＝kx(k≠0)的图象交于点P，则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是()A．B．C．D．2.（2016•河北模拟）如图，点A是x轴正半轴上的任意一点，过点A作EF∥y轴，分别交反比例函数和的图象于点E、F，且，连接OE、OF，有下列结论：①这两个函数的图象关于x轴对称；②△EOF的面积为（k1﹣k2）；③；④当∠EOF=90°时，，其中正确的是（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③3．下列说法中①若式子有意义，则x＞1.②已知∠α=27°，则∠α的补角是153°.③已知x=2是方程x2-6x+c=0的一个实数根，则c的值为8.④在反比例函数中，若x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是k＞2.其中正确的命题有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题4．如图所示，是二次函数(a≠0)和一次函数(n≠0)的图象，观察图象写出y2≥y1时，x的取值范围________．5．已知二次函数．若此函数图象的顶点在直线y＝-4上，则此函数解析式为．6.（2016•历下区二模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③b2﹣4ac＜0；④b＞a+c；⑤a+2b+c＞0，其中正确的结论有．三、解答题7．（北京校级期中）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1=0（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程的两个实数根都是整数，求m的整数值；（3）在（2）中开口向上的抛物线y=mx2﹣（m+1）x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y=﹣x上有一个动点P．求使PA+PB取得最小值时的点P的坐标，并求PA+PB的最小值．8.善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好．某一天小迪有20分钟时间可用于学习．假设小迪用于解题的时间x(单位：分钟)与学习收益量y的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x(单位：分钟)与学习收益y的关系如图2所示(其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点)，且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．(1)求小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式；(2)求小迪回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x的函数关系式；(3)问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20分钟的学习收益总量最大?9.已知P（)和Q（1，）是抛物线上的两点．（1）求的值；（2）判断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值．10.已知：关于x的一元二次方程，其中．（1）求此方程的两个实数根（用含m的代数式表示）；（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），若点D的坐标为（0，-2），且AD·BD=10，求抛物线的解析式；（3）已知点E（a，）、F（2a，y）、G（3a，y）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．【答案与解析】一、选择题

1.【答案】C；【解析】本题考查方程组的解(数)与直线交点(形)坐标之间的关系．2.【答案】B；【解析】①∵点E在反比例函数的图象上，点F在反比例函数的图象上，且，∴k1=OA•EA，k2=﹣OA•FA，∴，∴这两个函数的图象不关于x轴对称，即①错误；②∵点E在反比例函数y1=的图象上，点F在反比例函数y2=的图象上，∴S△OAE=k1，S△OAF=﹣k2，∴S△OEF=S△OAE+S△OAF=（k1﹣k2），即②正确；③由①可知，∴③错误；④设EA=5a，OA=b，则FA=3a，由勾股定理可知：OE=，OF=．∵∠EOF=90°，∴OE2+OF2=EF2，即25a2+b2+9a2+b2=64a2，∴b2=15a2，∴=，④正确．综上可知：正确的结论有②④．3.【答案】B；【解析】若式子有意义，则x≥1，①错误；由∠α=27°得∠α的补角是=180°-27=153°，②正确.把x=2代入方程x2-6x+c=0得4-6×2+c=0，解得c=8，③正确；反比例函数中，若x＞0时，y随x的增大而增大，得：k-2＜0，∴k＜2，④错误.故选B.二、填空题4.【答案】-2≤x≤1；【解析】本题考查不等式与比较函数值的大小之间的关系．5.【答案】，；【解析】∵顶点在直线y＝-4上，∴．，m＝±1．∴此函数解析式为：，．6.【答案】①②④⑤；【解析】∵抛物线开口朝下，∴a＜0，∵对称轴x=﹣=1，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∴abc＜0，故①正确；根据图象知道当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故②正确；根据图象知道抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③错误；根据图象知道当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故④正确；∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴a+2b+c=﹣3a+c，∵a＜0，c＞0，∴a+2b+c=﹣3a+c＞0，故⑤正确．故答案为：①②④⑤．三、解答题7.【答案与解析】（1）证明：由题意得m≠0，∵△=（m+1）2﹣4m×1=（m﹣1）2≥0，∴此方程总有两个实数根；（2）解：方程的两个实数根为x=，∴x1=1，x2=，∵方程的两个实数根都是整数，且m为整数，∴m=±1；（3）由（2）知，m=±1．∵抛物线y=mx2﹣（m+1）x+1的开口向上，∴m=1，则该抛物线的解析式为：y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2．易求得A（1，0），B（0，1）．如图，点B关于直线y=﹣x的对称点C的坐标为（﹣1，0），连接AC，与直线y=﹣x的交点即为符合条件的点P．此时点P与原点重合，则P（0，0）．所以PA+PB=AC=2．8.【答案与解析】(1)设y＝kx，当x＝1时，y＝2，解得k＝2，∴y＝2x(0≤x≤20)．(2)当0≤x＜4时，设y＝a(x-4)2+16．由题意，∴a＝-1，∴y＝-(x-4)2+16，即当0≤x＜4时，．当4≤x≤10时，y＝16．(3)设小迪用于回顾反思的时间为x(0≤x≤10)分钟，学习收益总量为y，则她用于解题的时间为(20-x)分钟．当0≤x＜4时，．当x＝3时，．当4≤x≤10时，y＝16+2(20-x)＝56-2x．y随x的增大而减小，因此当x＝4时，，综上，当x＝3时，，此时20-x＝17．答：小迪用于回顾反思的时间为3分钟，用于解题的时间为17分钟时，学习收益总量最大．9．【答案与解析】解：(1)因为点P、Q在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．所以抛物线对称轴，所以．（2）由（1）可知，关于的一元二次方程为=0．因为，=16-8=80．所以，方程有两个不同的实数根，分别是，．（3）由（1）可知，抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位后的解析式为．若使抛物线的图象与轴无交点，只需无实数解即可．由==<0，得又是正整数，所以的最小值为2．10．【答案与解析】解：（1）将原方程整理，得，△=＞0∴．∴或．（2）由（1）知，抛物线与轴的交点分别为（m，0）、（4,0），∵A在B的左侧，.∴A（m，0），B（4,0）.则，．∵AD·BD=10，∴AD2·BD2=100.∴.解得.∵，∴.∴，.∴抛物线的解析式为.（3）答：存在含有、y、y，且与a无关的等式，如：（答案不唯一）.证明：由题意可得，，.∵左边=.右边=－－4=.∴左边=右边.∴成立.中考冲刺：代数综合问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.如图，已知在直角梯形AOBC中，AC∥OB，CB⊥OB，OB=18，BC=12，AC=9，对角线OC、AB交于点D，点E、F、G分别是CD、BD、BC的中点，以O为原点，直线OB为x轴建立平面直角坐标系，则G、E、D、F四个点中与点A在同一反比例函数图象上的是（） A．点G B．点E C．点D D．点F2．已知函数y=，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（） A．0 B．1 C．2 D．33.（2016秋•重庆校级月考）已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②4ac﹣b2=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题4．若a+b-2-4=3-c-5，则a+b+c的值为.5．已知关于x的方程x2+（k-5）x+9=0在1＜x＜2内有一实数根，则实数k的取值范围是．6.（和平区校级期中）关于x的方程，2kx2-2x-3k=0的两根一个大于1，一个小于1，则实数k的的取值范围是.三、解答题7．（2016•梅州）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2，求k的值．8.已知关于的一元二次方程．（1）求证：不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若直线与函数的图象的一个交点的横坐标为2，求关于的一元二次方程的解．（3）在（2）的条件下，将抛物线绕原点旋转，得到图象，点为轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与图象、交于两点，当线段的长度最小时，求点的坐标．9.抛物线，a＞0，c＜0，．（1）求证：；（2）抛物线经过点，Q．①判断的符号；②若抛物线与x轴的两个交点分别为点A，点B（点A在点B左侧），请说明，．10.已知：二次函数y=．（1）求证：此二次函数与x轴有交点；（2）若m-1=0,求证方程有一个实数根为1；（3）在（2）的条件下，设方程的另一根为a,当x=2时，关于n的函数与的图象交于点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线L与、的图象分别交于点C、D，若CD=6，求点C、D的坐标.【答案与解析】一、选择题

1.【答案】A；【解析】在直角梯形AOBC中∵AC∥OB，CB⊥OB，OB=18，BC=12，AC=9∴点A的坐标为（9，12）∵点G是BC的中点∴点G的坐标是（18，6）∵9×12=18×6=108∴点G与点A在同一反比例函数图象上，故选A．2.【答案】D；【解析】函数y=的图象如图：根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个，∴k=3．故选D．3.【答案】B；【解析】①∵抛物线开口朝上，∴a＞0．∵抛物线的对称轴为x=﹣=﹣1，∴b=2a＞0．当x=0时，y=c+2＞2，∴c＞0．∴abc＞0，①错误；②∵抛物线与x轴只有一个交点，∴b2﹣4a（c+2）=b2﹣4ac﹣8a=0，∴b2﹣4ac=8a＞0，②错误；③∵抛物线的顶点为（﹣1，0），∴抛物线解析式为y=a（x+1）2=ax2+2ax+a=ax2+bx+c+2，∴a=c+2＞2，③正确；④∵b=2a，c＞0，∴4a﹣2b+c=c＞0，④正确．故选B．二、填空题4.【答案】20；【解析】整理得：（a-1-2+1）+（b-2-4+4）+（c-3-6+9）=0

（-1）2+（-2）2+（-3）2=0，

∴=1，=2，=3，

∵a≥1，b≥2，c≥3，

∴a=2，b=6，c=12，

∴a+b+c=20．

故答案为：20．5.【答案】【解析】利用数形结合的方法将问题转化成二次函数y=x2+（k-5）x+9图象开口向上，与x轴的一个交点的横坐标在1＜x＜2内，故有两种情况，分析得出结论.6.【答案】k＞0或k＜-2.【解析】设y=2kx2-2x-3k,∵方程2kx2-2x-3k=0d的两根一个大于1，一个小于1，∴当k＞0，抛物线开口向上，x=1时，y＜0，即2k-2-3k＜0，解得k＞-2，∴k＞0∴当k＜0，抛物线开口向下，x=1时，y＞0，即2k-2-3k＞0，解得k＜-2.∴k＜-2∴k的取值范围为：k＞0或k＜-2.三、解答题7．【答案与解析】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，解得：k＞，即实数k的取值范围是k＞；（2）∵根据根与系数的关系得：x1+x2=﹣（2k+1），x1•x2=k2+1，又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2，∴﹣（2k+1）=﹣（k2+1），解得：k1=0，k2=2，∵k＞，∴k只能是2．8．【答案与解析】（1）证明： ∵不论取何值时，∴，即∴不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）将代入方程，得再将代入，原方程化为，解得．（3）将代入得抛物线：，将抛物线绕原点旋转得到的图象的解析式为：．设，则，∴当时，的长度最小，此时点的坐标为9．【答案与解析】（1）证明：∵，∴．∵a＞0，c＜0，∴，．∴．（2）解：∵抛物线经过点P，点Q，∴①∵，a＞0，c＜0，∴，．∴＜0．＞0．∴．②由a＞0知抛物线开口向上．∵，，∴点P和点Q分别位于x轴下方和x轴上方．∵点A，B的坐标分别为A，B（点A在点B左侧），∴由抛物线的示意图可知，对称轴右侧的点B的横坐标满足．（如图所示）∵抛物线的对称轴为直线，由抛物线的对称性可，由（1）知，∴．∴，即．10．【答案与解析】（1）证明：令，则有△=∵，∴△≥0∴二次函数y=与x轴有交点（2）解：解法一：由，方程可化为解得：∴方程有一个实数根为1解法二：由，方程可化为当x=1时，方程左边=1+(n-2)+1-n=0方程右边=0∴左边=右边∴方程有一个实数根为1（3）解：方程的根是：∴当=2时，，设点C（）则点D（）∵CD=6，∴∴∴C、D两点的坐标分别为C（3，4），D（3，-2）或C（-1，0），D（-1，-6）中考冲刺：代数综合问题—知识讲解（基础）【中考展望】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．【方法点拨】(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；(2)认识综合题的结构是解综合题的前提；(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；(4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心．*审题(读题、断句、找关键)；*先宏观(题型、知识块、方法)；后微观(具体条件，具体定理、公式)*由已知，想可知(联想知识)；由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合；*观察——挖掘题目结构特征；联想——联系相关知识网络；突破——抓往关键实现突破；寻求——学会寻求解题思路．(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证．【典型例题】类型一、方程与不等式综合1．已知方程组的解满足求a的取值范围．【思路点拨】本题考查了含字母系数的方程解法及利用不等式组求字母的取值范围问题．【答案与解析】解：①×3－②×2得：y＝13a－4①×4－②×3得：x＝18a－5由题意令x＞0，y＞0得：∴.【总结升华】在解含字母系数的方程时要分清未知数和字母常数，这样才能更准确地对方程进行求解．2．m为何值时，是完全平方式？【思路点拨】本题直观考查完全平方式的特征，但是因为代数式的定性衍生出方程，不定性衍生出函数，所以完全平方式形式在方程和函数中又被赋予了独有的含义．因此，本题也可以看作是间接考查了对完全平方式不同角度的理解．【答案与解析】解：解法1：待定系数法设原式＝[x-(m-2)]2＝x2-2(m-2)x+m2-4m+4所以m2+2m+l＝m2-4m+4，；解法2：配方法原式＝．＝[x-(m-2)]2+6m-3，6m-3＝0，；解法3：判别式法因为是完全平方式，所以方程有两等根，△＝[-2(m-2)]2－4(m2+2m+1)＝0，；解法4：因为是完全平方式，所以令，所以抛物线顶点在x轴上，，，，．【总结升华】对于代数式，可以考虑其为特殊值，将其看作方程，从方程的角度解决问题；也可以考虑其值不定，从函数的角度解决问题．解决问题的角度不同，但结果是相同的．类型二、方程与函数综合3．请你根据下图中图象所提供的信息，解答下面问题：(1)分别写出，中变量y随x变化而变化的情况；(2)写出一个二元一次方程组，使它满足图象中的条件．【思路点拨】本题是一次函数与二元一次方程组的综合题．本题考查了一次函数的性质，两个一次函数图象的交点与方程组的解的关系．【答案与解析】解：(1)的值随x的增大而增大；的值随x的增大而减小．(2)设直线，的函数表达式分别为，，由题意得，．解得：，．∴直线，的函数表达式分别为，．∴所求的方程组为．【总结升华】利用函数及图象解决方程组的解的问题，体现了数形结合的思想．举一反三：【高清课堂:代数综合问题例2】【变式】已知：如图，平行于x轴的直线y＝a(a≠0)与函数y＝x和函数的图象分别交于点A和点B，又有定点P(2，0)．(1)若a＞0，且，求线段AB的长；(2)在过A，B两点且顶点在直线y＝x上的抛物线中，已知线段，且在它的对称轴左边时，y随着x的增大而增大，求满足条件的抛物线的解析式；(3)已知经过A，B，P三点的抛物线，平移后能得到的图象，求点P到直线AB的距离．【答案】解：（1）设第一象限内的点B（m,n），则，得m=9n，又点B在函数的图象上，得，所以m=3（－3舍去），点B为，而AB∥x轴，所以点A，所以．（2）由条件可知所求抛物线开口向下，设点A（a,a），B（），则,所以，解得.当a=－3时，点A（―3，―3），B，因为顶点在y=x上，所以顶点为，所以可设二次函数为，点A代入，解得,所以所求函数解析式为.同理，当时，所求函数解析式为；（3）设A（a,a），B（），由条件可知抛物线的对称轴为.设所求二次函数解析式为：.点A(a,a)代入，解得，，所以点P到直线AB的距离为3或[【高清课堂:代数综合问题例1】 4．（门头沟区期末）已知：关于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0．（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）如果该方程有两个不同的整数根，且m为正整数，求m的值；（3）在（2）的条件下，令y=mx2+（3m+1）x+3，如果当x1=a与x2=a+n（n≠0）时有y1=y2，求代数式4a2+12an+5n2+16n+8的值．【思路点拨】（1）注意对m的取值进行分类讨论：即当m=0和m≠0时；（2）先解方程，由于方程有两个不同的整数根，且m为正整数，得m的值；（3）由（2）得函数解析式，利用函数的对称性，得a与n的关系，然后再利用整体代入的方法计算．【答案与解析】（1）证明：当m=0时，原方程化为x+3=0，此时方程有实数根x=﹣3；当m≠0时，∵△=（3m+1）2﹣12m=9m2﹣6m+1=（3m﹣1）2．∵（3m﹣1）2≥0，∴不论m为任何实数时总有两个实数根，综上所述，不论m为任何实数时，方程mx2+（3m+1）x+3=0总有实数根；（2）解：当m≠0时，解方程mx2+（3m+1）x+3=0得x1=﹣3，x2=，∵方程mx2+（3m+1）x+3=0有两个不同的整数根，且m为正整数，∴m=1；（3）解：∵m=1，y=mx2+（3m+1）x+3，∴y=x2+4x+3，又∵当x1=a与x2=a+n（n≠0）时有y1=y2，∴当x1=a时，y1=a2+4a+3，当x2=a+n时，y2=（a+n）2+4（a+n）+3，∴a2+4a+3=（a+n）2+4（a+n）+3，化简得2an+n2+4n=0，即n（2a+n+4）=0，又∵n≠0，∴2a=﹣n﹣4，∴4a2+12an+5n2+16n+8=（2a）2+2a•6n+5n2+16n+8=（n+4）2+6n（﹣n﹣4）+5n2+16n+8=24．【总结升华】本题主要考查二次函数的综合题的知识，解答本题的关键熟练掌握方程与函数之间的联系，此题难度不大，第三问需要整体代入．举一反三：【变式】已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝2，求m的值和此时方程的两根．【答案】解：（1）证明：由关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0得△=（m+3）2－4（m+1）=（m+1）2+4，∵无论m取何值，（m+1）2＋4恒大于0，∴原方程总有两个不相等的实数根.（2）∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=－（m+3），x1•x2=m+1.∵|x1－x2|＝2，∴（x1－x2）2=8，即（x1＋x2）2－4x1x2=8.∴[－（m+3）]2－4（m+1）=8，即m2＋2m－3=0.解得：m1=－3，m2=1.当m=－3时，原方程化为：x2－2=0，解得：x1=，x2=－.当m=1时，原方程化为：x2＋4x＋2=0，解得：x1=－2+，x2=－2－.类型三、以代数为主的综合题5．（2017•曲靖一模）如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=ax2+bx+c过A（1，0），B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图形上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值．（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是以BN为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由点A、B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设出点M的坐标以及直线BC的解析式，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，结合点M的坐标即可得出点N的坐标，由此即可得出线段MN的长度关于m的函数关系式，再结合点M在x轴下方可找出m的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）假设存在，设出点P的坐标为（2，n），结合（2）的结论可求出点N的坐标，结合点N、B的坐标利用两点间的距离公式求出线段PN、PB、BN的长度，根据等腰三角形的性质分类讨论即可求出n值，从而得出点P的坐标．【答案与解析】解：（1）由题意点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．（2）设点M的坐标为（m，m2﹣4m+3），设直线BC的解析式为y=kx+3，把点点B（3，0）代入y=kx+3中，得：0=3k+3，解得：k=﹣1，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵MN∥y轴，∴点N的坐标为（m，﹣m+3）．∵抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为x=2，∴点（1，0）在抛物线的图象上，∴1＜m＜3．∵线段MN=﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，∴当m=时，线段MN取最大值，最大值为．（3）假设存在．设点P的坐标为（2，n）．当m=时，点N的坐标为（，），∴PB==，PN=，BN==．△PBN为等腰三角形分三种情况：①当PB=BN时，即=，解得：n=±，此时点P的坐标为（2，﹣）或（2，）；②当PN=BN时，即=，解得：n=，此时点P的坐标为（2，）或（2，）．综上可知：在抛物线的对称轴l上存在点P，使△PBN是等腰三角形，点P的坐标为（2，﹣）或（2，）或（2，）或（2，）．【总结升华】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、两点间的距离以及等腰三角形的性质.举一反三：【变式】如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点△AB点【答案】解：（1）根据题意，得解得∴二次函数的表达式为．（2）令y=0，得二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标C（5,0）.由于P是对称轴上一点，连结AB，由于，要使△ABAC对称，连结BC交对称轴于点P，则=BP+PC=BC根据两点之间，线段最短，可得BCBC的交点P就是所求的点.设直线BC的解析式为，根据题意，可得解得所以直线BC的解析式为因此直线BC与对称轴的交点坐标是方程组的解，解得所求的点P的坐标为（2，-3）.中考冲刺：代数综合问题—知识讲解（提高）【中考展望】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．【方法点拨】(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；(2)认识综合题的结构是解综合题的前提；(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；(4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心．*审题(读题、断句、找关键)；*先宏观(题型、知识块、方法)；后微观(具体条件，具体定理、公式)*由已知，想可知(联想知识)；由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合；*观察——挖掘题目结构特征；联想——联系相关知识网络；突破——抓往关键实现突破；寻求——学会寻求解题思路．(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证．【典型例题】类型一、函数综合 1．已知函数和y＝kx+1(k≠0)．(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值；(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点?【思路点拨】本题是一次函数，反比例函数的综合题．本题考查了函数解析式的求法和利用判别式判断函数图象交点个数．【答案与解析】解：(1)∵两函数的图象都经过点(1，a)，∴解得(2)将代入y＝kx+1，消去y，得．∵k≠0，∴要使得两函数的图象总有公共点，只要△≥0即可．∵△＝1+8k．∴1+8k≥0，解得k≥．∴k≥且k≠0时这两个函数的图象总有公共点．【总结升华】两图象交点的个数常常通过建立方程组，进而转化为一元二次方程，利用根的判别式来判断．若△＞0，两图象有两个公共点；若△＝0，两图象有一个公共点；若△＜0，两图象没有公共点．举一反三：【变式】如图，一元二次方程的两根，（＜）是抛物线与轴的两个交点，的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．(1)求此二次函数的解析式；(2)设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；(3)在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．【答案】解：(1)解方程，得=-3，=1.抛物线与x轴的两个交点坐标为：C（-3，0），B（1，0）.将A（3，6），B（1，0），C（-3，0）代入抛物线的解析式，得解这个方程组，得抛物线解析式为.(2)由，得抛物线顶点P的坐标为（-1，-2），对称轴为直线x=-1.设直线AC的函数关系式为y=kx+b,将A（3，6），C（-3，0）代入,得解这个方程组，得直线AC的函数关系式为y=x+3.由于Q点是抛物线的对称轴与直线AC的交点，故解方程组得点Q坐标为（-1，2）.(3)作A点关于x轴的对称点，连接，与轴交点即为所求的点.设直线的函数关系式为y=kx+b.∴解这个方程组，得直线的函数关系式为y=-2x.令x=0，则y=0.点M的坐标为（0，0）.类型二、函数与方程综合2．已知关于x的二次函数与，这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A，B两个不同的点．(1)试判断哪个二次函数的图象经过A，B两点；(2)若A点坐标为(-1，0)，试求B点坐标；(3)在(2)的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小?【思路点拨】本题是二次函数与一元二次方程的综合题．本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断二次函数图象，与x轴的交点个数及二次函数的性质．【答案与解析】解：(1)对于关于x的二次函数，由于△＝(-m)2－4×1×，所以此函数的图象与x轴没有交点．对于关于x的二次函数，由于△＝，所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点．故图象经过A，B两点的二次函数为．(2)将A(-1，0)代入，得．整理，得．解之，得m＝0，或m＝2．①当m＝0时，．令y＝0，得．解这个方程，得，．此时，B点的坐标是B(1，0)．②当m＝2时，．令y＝0，得．解这个方程，得x3＝-1，x4＝3．此时，B点的坐标是B(3，0)．(3)当m＝0时，二次函数为，此函数的图象开口向上，对称轴为x＝0，所以当x＜0时，函数值y随x的增大而减小．当m＝2时，二次函数为，此函数的图象开口向上，对称轴为x＝1，所以当x＜1时，函数值y随x的增大而减小．【总结升华】从题目的结构来看，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，函数思想是变量思想，变量也可用常量来求解．举一反三：【高清课堂:代数综合问题例3】【变式】（2016·门头沟一模）已知关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0．（1）求证该方程有两个实数根；（2）如果抛物线y=mx2+(3m+1)x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m为正整数，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，抛物线y=mx2+(3m+1)x+3与y轴交于点C，点B关于y轴的对称点为D，设此抛物线在－3≤x≤之间的部分为图象G，如果图象G向右平移n（n＞0）个单位长度后与直线CD有公共点，求n的取值范围．【答案】（1）证明：∵△=(3m+1)2－4×m×3=(3m－1)2.∵(3m－1)2≥0，∴△≥0，∴原方程有两个实数根（2）解：令y=0，那么mx2+(3m+1)x+3=0.解得，.∵抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，∴m=1.∴抛物线的表达式为.（3）解：∵当x=0时，y=3，∴C（0，3）.∵当y=0时，x1=－3，x2=－1.又∵点A在点B左侧，∴A（－3，0），B（－1，0）.∵点D与点B关于y轴对称，∴D（1，0）.设直线CD的表达式为y=kx+b.∴解得∴直线CD的表达式为y=－3x+3.又∵当时，.∴A（－3，0），E（，），∴平移后，点A，E的对应点分别为A'（－3+n，0），E'（，）.当直线y=－3x+3过点A'（－3+n，0）时，∴－3(－3+n)+3=0，∴n=4.当直线y=－3x+3过点E'（，）时，∴，∴n=.∴n的取值范围是≤n≤4.类型三、以代数为主的综合题3．如图所示，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°得到线段OB．(1)求点B的坐标；(2)求经过A，O，B三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．【思路点拨】(1)由∠AOB＝120°可得OB与x轴正半轴的夹角为60°，利用OB＝2及三角函数可求得点B的坐标；(2)利用待定系数法可求出解析式；(3)OB为定值，即求BC+CO最小．利用二次函数的对称性可知点C为直线AB与对称轴的交点；(4)利用转化的方法列出关于点P的横坐标x的函数关系式求解．【答案与解析】解：(1)B(1，)．(2)设抛物线的解析式为，代入点B(1，)，得．所以．(3)如图所示，抛物线的对称轴是直线x＝-1，因为A，O关于抛物线的对称轴对称，所以当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小．设直线AB的解析式为，则解得因此直线AB的解析式为．当时，．因此点C的坐标为．(4)如图所示，过P作y轴的平行线交AB于D，设其交x轴于E，交过点B与x轴平行的直线于F．设点P的横坐标为x．则．当时，△PAB的面积的最大值为，此时．【总结升华】本题为二次函数的综合题，综合程度较高，要掌握利用点的坐标表示坐标轴上线段的方法．因为线段的长度为正数，所以在用点的坐标表示线段长度时，我们用“右边点的横坐标减左边点的横坐标，上边点的纵坐标减下边点的纵坐标”，从而不用加绝对值号，本题中线段PD的长为就是利用了这一规律．4．（2015.北京东城一模）在平面直角坐标系中