2024年北京市西城区高三二模数学试卷及答案

第1页/共1页2024北京西城高三二模数学2024.5本试卷共 6 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共 40 分）选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（A）（B）（C）（D）（2）已知向量满足，，则（A）（B）（C）（D）（3）已知集合，．若，则的最小值是（A）（B）（C）（D）（4）设，则（A）（B）（C）（D）（5）已知．则“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线的焦点在轴上，且的离心率为，则（A）（B）（C）（D）（7）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象再关于轴对称，得到函数的图象，则（A）（B）（C）（D）（8）楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体，其中面为正方形．若，，且与面的距离为，则该楔体形构件的体积为（A）（B）（C）（D）（9）已知是无穷等比数列，其前项和为，．若对任意正整数，都有，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）（10）的人中都至多有名男生，则这组学生人数的最大值是（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）函数的定义域是_______．（12）已知圆经过点和，且与直线相切，则圆的方程为_______．（13）已知函数直线与曲线的两个交点如图所示．若，且在区间上单调递减，则_______；_______．（14）已知函数，其中．=1\*GB3①若函数无零点，则的一个取值为_______；=2\*GB3②若函数有4个零点，则_______．（15）在数列中，，．给出下列三个结论：=1\*GB3①存在正整数，当时，；=2\*GB3②存在正整数，当时，；=3\*GB3③存在正整数，当时，．其中所有正确结论的序号是_______．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）已知函数．在中，，且．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，且的面积为，求的周长．（17）（本小题14分）如图，正方体的棱长为，为的中点，点在上．再从下列三个条件中选择一个作为己知，使点唯一确定，并解答问题．条件=1\*GB3①：；条件②：；条件=3\*GB3③：平面．（Ⅰ）求证：为的中点；（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小，及点到平面的距离．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅰ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

（18）（本小题13分）为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示．年份产量（万台）销量（万台）记年工业机器人产量的中位数为销量的中位数为．定义产销率为“”．（Ⅰ）从年中随机取年，求工业机器人的产销率大于的概率；（Ⅱ）有年工业机器人的销量不小于记，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）从哪年开始的连续年中随机取年，工业机器人的产销率超过的概率最小．（结论不要求证明）（19）（本小题15分）已知函数，其中．（Ⅰ）若在处取得极小值，求的值；（Ⅱ）当时，求在区间上的最大值；（Ⅲ）证明：有且只有一个极值点． （20）（本小题15分）已知椭圆的一个顶点为，焦距为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点是第一象限内椭圆上一点，过作轴的垂线，垂足为．点关于原点的对称点为，直线与椭圆的另一个交点为，直线与轴的交点为．求证：三点共线．

（21）（本小题15分）已知数列，从中选取第项、第项、…、第项（）构成数列，称为的项子列．记数列的所有项的和为．当时，若满足：对任意，，则称具有性质．规定：的任意一项都是的项子列，且具有性质．（Ⅰ）当时，比较的具有性质的子列个数与不具有性质的子列个数的大小，并（Ⅱ）已知数列（ⅰ）给定正整数，对的项子列，求所有的算术平均值；（ⅱ）若有个不同的具有性质的子列，满足：，都有公共项，且公共项构成的具有性质的子列，求的最大值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （ 1 ）D （ 2 ）B （ 3 ）C （ 4 ）B （ 5 ）A （ 6 ）C （ 7 ）D （ 8 ）C （ 9 ）D （10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11） （12）（13） （14）（答案不唯一）（15）②③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）． ………2分由，得．在中，因为，所以． ………4分又，所以．所以，即． ………5分所以． ………6分 （Ⅱ）因为的面积为， ………7分所以． ………8分在中，由余弦定理得， ………9分即． 整理得． ………10分所以．所以． ………12分故的周长为． ………13分（17）（共14分）解：选条件②：．（Ⅰ）连接． ………1分在正方体中，因为平面，所以． ………3分因为，，所以．所以． ………4分因为为的中点，所以为的中点． ………5分选择条件③：平面．（Ⅰ）连接． ………1分因为平面，平面，平面平面．所以． ………4分因为为的中点，所以为的中点． ………5分（Ⅱ）在正方体中，两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系． ………6分则，，，．所以，，．设平面的法向量为，则即令，则．于是． ………9分设直线与平面所成的角为，则． ………11分所以直线与平面所成角的大小为． ………12分点到平面的距离为． ………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）记事件为“工业机器人的产销率大于”．由表中数据，工业机器人的产销率大于的年份为年，年，年，年，共年． ………2分所以． ………3分（Ⅱ）因为，， ………4分所以的所有可能的取值为；的所有可能的取值为．所以的所有可能的取值为． ………5分，，． ………8分所以的分布列为：故的数学期望． ………10分（Ⅲ）2018年和年． ………13分（19）（共15分）解：（Ⅰ）． ………2分由题设，，解得． ………3分当时，．在上单调递减，在上单调递增，适合题意．所以． ………4分（Ⅱ）当时，．． ………6分因为，所以，．所以在区间上单调递增． ………8分所以的最大值为． ………9分（Ⅲ）．当时，．此时在上单调递减，在上单调递增，所以恰有一个极值点． ………10分当时，设．则．因为，且，所以，即在上单调递增． ………12分因为，，所以存在，使．所以在上单调递减，在上单调递增．所以恰有一个极值点．综上，当时，有且只有一个极值点． ………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）由题设， ………3分解得．所以椭圆的方程为． ………4分（Ⅱ）设，则，． ………5分其中，． ………6分直线的方程为，所以． ………7分直线的方程为．由得． ………8分设，所以． ………9分解得．由，得． ………10分由题意，点均不在轴上，所以直线的斜率均存在，且 ………11分． ………14分所以三点共线． ………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）当时，共有个子列， ………1分其中具有性质的子列有个， ………2分故不具有性质的子列有个， ………3分所以的具有性质的子列个数大于不具有性质的子列个数． ………4分（Ⅱ）（ⅰ）若是的项子列，则也是的项子列． ………5分所以． ………7分因为给定正整数，有个项子列，所以所有的算术平均值为． ………9分