江西省萍乡市第二中学高三数学文联考试题含解析

江西省萍乡市第二中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图,球O夹在锐二面角之间，与两个半平面的切点分别为A、B，若球心O到二面角的棱l的距离为2,则球O的表面积为(A)

(B)(C)

(D)参考答案：A2.已知集合M={x|x2﹣x=0}，N={﹣1，0}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，1}C．{0}D．φ

参考答案：C考点:交集及其运算．专题:集合．分析:根据集合的基本运算进行求解即可．解：M={x|x2﹣x=0}={0，1}，N={﹣1，0}，则M∩N={0}，故选：C点评:本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

3.如图,用与圆柱的母线成角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的离心率为(

)A．

B．

C．

D．非上述结论

参考答案：A4.已知，且，则实数的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A5.若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A．

B.

C.

D.参考答案：A略6.设等比数列的公比，前n项和为，则（

）A．

B．

C．2

D．4参考答案：A略7.若长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点都在体积为288π的球O的球面上，则长方体ABCD-A1B1C1D1的表面积的最大值等于（

）A．576

B．288

C．144

D．72参考答案：B8.截至2019年10月，世界人口已超过75亿.若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口就可相当于一个（

）A.新加坡（570万） B.希腊（1100万） C.津巴布韦（1500万） D.澳大利亚（2500万）参考答案：C【分析】由指数幂的计算方式求得答案.【详解】由题可知，年增长率为0.001，则两年后全世界的人口有万，则两年增长的人口为万故选：C【点睛】本题考查指数式的计算，属于基础题.9.已知等比数列{an}满足a1+a2=6，a4+a5=48，则数列{an}前10项的和为S10=（）A．1022 B．1023 C．2046 D．2047参考答案：C【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1+a2=6，a4+a5=48，∴a1（1+q）=6，（1+q）=48，联立解得a1=q=2．则数列{an}前10项的和为S10==2046．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.设集合，，则A∩B等于（

）A.(0,4) B.(4,9) C.(－1,4) D.(－1,9)参考答案：A【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合，再化简集合，由交集的定义求解即可.【详解】中不等式变形得，

解得，所以，由中不等式解得，所以，

则，故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.顶点在单位圆上的中，角所对的边分别为．若，，则_________．参考答案：12.如图，已知圆，四边形为圆的内接正方形，分别为边的中点，当正方形绕圆心转动时，的最大值是_____。参考答案：613.如图，在圆中有结论：“是圆的直径，直线、是圆过、的切线，是圆上任意一点，是过的切线，则有．”类比到椭圆：“是椭圆的长轴，，是椭圆的焦点，直线、是椭圆过、的切线，是椭圆上任意一点，是过的切线，则有

；参考答案：14.直线l与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆C的方程为，则m=（

）A.-3 B.3 C. D.参考答案：A【分析】根据圆的方程可得圆心坐标，结合双曲线中点差法的结论可求得直线方程，将直线方程与双曲线方程联立可求得直线与圆的交点坐标，即可求得的长，结合圆的一般式中直径等于，代入即可求得m的值。【详解】设，由根据圆的方程可知，为的中点根据双曲线中点差法的结论由点斜式可得直线AB的方程为将直线AB方程与双曲线方程联立解得或，所以由圆的直径可解得故选A.【点睛】本题考查了双曲线中点差法的应用，圆的直径与一般式的关系，属于基础题。15.如图,设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直，且，，则A、D两点间的球面距离

．参考答案：16.如果复数的实部与虚部互为相反数，则实数

．参考答案：-317.过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为

．参考答案：设，由题得故填.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，已知直线l与曲线C交于不同的两点A，B．(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设P(1，2)，求的取值范围．参考答案：（1）直线的普通方程为.曲线的直角坐标方程为（2）【分析】(1)消去参数可得直线的普通方程，利用可以化成直角坐标方程；(2)联立直线和曲线方程，结合参数的几何意义可求..【详解】解：（1）因为，所以，两式相减可得直线的普通方程为.

因为，，，所以曲线的直角坐标方程.

（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理得关于的方程：.

因为直线与曲线有两个不同的交点，所以上述方程有两个不同的解，设为，则，.

并且，注意到，解得.

因为直线的参数方程为标准形式，所以根据参数的几何意义，有，因为，所以，.因此的取值范围是.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的转化及极坐标方程与直角坐标方程的转化，利用参数的几何意义求解范围等，侧重考查了数学建模和数学运算的核心素养.19.（本小题满分14分）函数，其图象在处的切线方程为．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若函数的图象与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围；（Ⅲ）是否存在点P，使得过点P的直线若能与曲线围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）由题意得，且，∴即解得，，∴．………4分（Ⅱ）由，可得，，则由题意可得有三个不相等的实根，即的图象与轴有三个不同的交点，，则的变化情况如下表．4＋0－0＋↗极大值↘极小值↗则函数的极大值为，极小值为．……6分的图象与的图象有三个不同交点，则有：解得．……………………8分（Ⅲ）存在点P满足条件．……………9分∵，∴，由，得，．当时，；当时，；当时，．可知极值点为，，线段AB中点在曲线上，且该曲线关于点成中心对称．证明如下：∵，∴，∴．上式表明，若点为曲线上任一点，其关于的对称点也在曲线上，曲线关于点对称．故存在点，使得过该点的直线若能与曲线围成两个封闭图形，这两个封闭图形的面积相等．…………14分略20.如图，在四棱锥P-ABCD中，，，平面ABCD⊥平面PAD，E是PB的中点，F是DC上一点，G是PC上一点，且，．（1）求证：平面EFG⊥平面PAB；（2）若，，求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．参考答案：（1）证明见解析；（2）．（1）证明：如图，取的中点，连接，，则，，又，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，因为，所以，因为平面平面，平面平面，，所以平面，因为平面，所以，因为，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）过点作于点，则平面，以为坐标原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在等腰三角形中，，，因为，所以，解得，则，所以，，所以，易知平面的一个法向量为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．21.设函数.（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）求函数的极值点.参考答案：（1）；（2）是极大值点,是极小值点.试题分析：（1）借助题设条件先进行转化再分离参数借助导数知识求解；（2）借助题设运用分类整合思想分类探求.试题解析：（1）.依题意得，在区间上，不等式恒成立.又因为,所以即.（2）,令.①当时，可知在上恒成立，此时，函数没有极值点.②当时，（Ι）当，即时，在上恒成立，此时，函数没有极值点.（ΙΙ）当，即时，当时,此时，当或时，，此时，当时，是函数的极大值点,是函数的极小值点.综上，当时，没有极值点；当时，是函数的极大值点