四川省资阳市简阳中学高三数学理上学期期末试卷含解析

四川省资阳市简阳中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数y=sin2x+cos2x的图象，可由函数y=sin2x﹣cos2x的图象（）A．向左平移个单位得到 B．向右平移个单位得到C．向左平移个单位得到 D．向左右平移个单位得到参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用辅助角公式将函数化为同名函数进行比较即可．【解答】解：y=sin2x+cos2x=sin（2x+），y=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）+）]，∴由函数y=sin2x﹣cos2x的图象向左平移个单位得到y=sin（2x+），故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象关系，利用辅助角公式将函数化为同名函数是解决本题的关键．2.若函数y=f（x）在(1，2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0．01，则对区间(1，2)至少二等分

A．6次

B．7次

C．8次

D．9次参考答案：B3.掷三颗骰子（各面上分别标以数字1到6的均匀正方体玩具），恰有一颗骰子出1点或6点的概率是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生是掷3颗骰子共有6×6×6=216种所有等可能的结果数，其中满足条件的事件是恰有一颗骰子出1点或6点共有4×4×3×2，得到概率．【解答】解：掷三颗骰子（各面上分别标以数字1到6的均匀正方体玩具），基本事件总数n=6×6×6=216，其中满足条件的事件是恰有一颗骰子出1点或6点共有m=4×4×3×2=144，所以三个骰子恰有一颗骰子出1点或6点的概率：p===．故选：C．4.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A． B． C． D．参考答案：A因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.

5.在中，角、、所对边的长分别为、、．若，则的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略6.是成立的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：答案:C7.已知是实数，是纯虚数，则等于（

）A

B

C

D

参考答案：A略8.设P是不等式组表示的平面区域内的任意一点，向量=（1，1），=（2，1），若=λ+μ（λ，μ为实数），则λ﹣μ的最大值为（）A．4 B．3 C．﹣1 D．﹣2参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】根据向量线性运算的坐标公式，得到，由此代入题中的不等式组，可得关于λ、μ的不等式组．作出不等式组表示的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：∵向量=（1，1），=（2，1），若=λ+μ（λ，μ∈R），∴P（x，y）满足，代入不等式组组，得，设λ=x，μ=y，则不等式等价为，作出不等式组表示的平面区域（阴影部分），设z=λ﹣μ=x﹣y，即y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，则当直线y=x﹣z经过点B时，直线的截距最小，此时z最大，由，解得，即B（3，﹣1），此时z=x﹣y=3﹣（﹣1）=3+1=4，即λ﹣μ的最大值为4，故选：A．9.已知向量，若，则等于(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：B略10.已知函数，若存在正实数，使得方程有两个根，其中，则的取值范围是（

） A． B． C． D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设是定义在上的奇函数，且.当时，有恒成立，则不等式的解集为___________．参考答案：略12.如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是

．参考答案：将矩形放入平面直角坐标系，如图因为,为的中点,所以，,设,则,,所以，所以。所以,,所以.

13.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

参考答案：1214.设正实数,,满足,则当取得最大值时,的最大值为____________.

参考答案：1略15.设，若，则

。参考答案：16.已知函数的图象如右图所示，则

．参考答案：【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案解析】-

依题意知，，又过点，则令，得。故.【思路点拨】跟据图像确定周期，根据过得到结果。17.若对任意，关于x的不等式恒成立，则实数a的范围是_______；参考答案：【分析】求出函数的最小值，即可得到答案；【详解】，，等号成立当且仅当，，故答案为：.【点睛】本题考查不等式恒成立问题求参数的取值范围，考查运算求解能力.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（16分）已知函数f（x）=x2+bx+c为偶函数，关于x的方程f（x）=a（x+1）2（a≠1）的根构成集合{1}．（1）求a，b，c的值；（2）求证：≤|x|+1对任意的x∈[﹣2，2]恒成立；（3）设g（x）=+若存在x1，x2∈[0，2]，使得|g（x1）﹣g（x2）|≥m，求实数m的取值范围．参考答案：考点： 函数恒成立问题；函数奇偶性的性质；二次函数的性质．专题： 导数的综合应用．分析： （1）由f（﹣x）=f（x）得x2﹣bx+c=x2+bx+c，解得b=0，又f（x）=a（x+1）2只有一个根1，即（a﹣1）x2+2ax+a﹣c=0只有一个根1，利用判别式即可求出a，c；（2）根据偶函数性质将所证问题等价转化为对任意的x∈[0，2]恒成立，构造函数h（x）=（x+1）2﹣（x2+1），利用二次函数性质得出（x+1）2≥（x2+1）＞0，开方即可得证；（3）存在x1，x2∈[0，2]，使得|g（x1）﹣g（x2）|≥m，等价于|g（x1）﹣g（x2）|max≥m，由（2）和题目条件可得和，从而可得，因此|g（x1）﹣g（x2）|max=，所以可求出实数m的取值范围．解答： （1）∵f（x）=x2+bx+c为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即x2﹣bx+c=x2+bx+c，解得b=0；又f（x）=a（x+1）2只有一个根1，即x2+c=a（x+1）2只有一个根1，即（a﹣1）x2+2ax+a﹣c=0只有一个根1，又a≠1，∴，解得，∴a=，b=0，c=1．（2）∵f（x）为偶函数，∴≤|x|+1对任意的x∈[﹣2，2]恒成立等价于≤|x|+1对任意的x∈[0，2]恒成立，即≤x+1对任意的x∈[0，2]恒成立，即对任意的x∈[0，2]恒成立，令h（x）=（x+1）2﹣（x2+1）=﹣=，由二次函数性质易知在，在[0，2]上h（x）≥g（0）=g（2）=0，∴（x+1）2≥（x2+1）＞0，∴即，从而问题得证；（3）由题意可知，|g（x1）﹣g（x2）|max≥m，∵f（x）=x2+1，∴，又由（2）得，∴2﹣x）+1即，∴|g（x1）﹣g（x2）|max=即m≤∴实数m的取值范围是（﹣∞，）．点评： 本题考查函数恒成立问题，考查函数奇偶性的应用，数学的转化思想方法，属于压轴题，难题．19.如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE⊥平面BB1C1C；（2）求点B1到平面EA1C1的距离．参考答案：考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）过点B作BF⊥CD于F点，算出BF、EF、FC的长，从而在△BCE中算出BE、BC、CE的长，由勾股定理的逆定理得BE⊥BC，结合BE⊥BB1利用线面垂直的判定定理，可证出BE⊥平面BB1C1C；（2）根据AA1⊥平面A1B1C1，算出三棱锥E﹣A1B1C1的体积V=．根据线面垂直的性质和勾股定理，算出A1C1=EC1=3、A1E=2，从而得到等腰△A1EC1的面积=3，设B1到平面EA1C1的距离为d，可得三棱锥B1﹣A1C1E的体积V=××d=d，从而得到=d，由此即可解出点B1到平面EA1C1的距离．解答： 解：（1）过点B作BF⊥CD于F点，则：BF=AD=，EF=AB=DE=1，FC=EC﹣EF=3﹣1=2在Rt△BEF中，BE==；在Rt△BCF中，BC==因此，△BCE中可得BE2+BC2=9=CE2∴∠CBE=90°，可得BE⊥BC，∵BB1⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，∴BE⊥BB1，又∵BC、BB1是平面BB1C1C内的相交直线，∴BE⊥平面BB1C1C；

（2）∵AA1⊥平面A1B1C1，得AA1是三棱锥E﹣A1B1C1的高线∴三棱锥E﹣A1B1C1的体积V=×AA1×=在Rt△A1D1C1中，A1C1==3同理可得EC1==3，A1E==2∴等腰△A1EC1的底边A1C1上的中线等于=，可得=×2×=3设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1﹣A1C1E的体积为V=××d=d，可得=d，解之得d=即点B1到平面EA1C1的距离为．点评：本题在直四棱柱中求证线面垂直，并求点到平面的距离．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与其逆定理和利用等积转换的方法求点到平面的距离等知识，属于中档题．20.（本小题满分12分）已知等比数列中，，公比。（Ⅰ）数列的前项和，求；（Ⅱ）设，求数列的通项公式。参考答案：解：（Ⅰ）等比数列的首项，公比………（1分）

=………（5分）（Ⅱ）

=………（6分）

………（9分）

=………（11分）所以数列的通项公式………（12分21.已知函数f（x）=xlnx+a（a∈R），g（x）=﹣e（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的零点个数；（Ⅱ）求证：当x＞0时，f（x）＞g（x）+a．参考答案：【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】（I）求出y=﹣xlnx的单调性和极值，得出y=﹣xlnx的值域，根据单调性和极值讨论a的范围得出f（x）零点的个数；（II）求出f（x）的最小值和g（x）的最大值，使用作差法即可得出结论．【解答】解：（I）令f（x）=0得a=﹣xlnx，令h（x）=﹣xlnx，则h′（x）=﹣lnx﹣1，∴当0＜x＜时，h′（x）＞0，当x＞时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴hmax（x）=h（）=，又x→0时，h（x）＞0，当x→+∞时，h（x）→﹣∞，∴h（x）在（，+∞）上存在唯一一个零点x=1，作出h（x）的大致函数图象如图所示：∴当a≤0或a=时，f（x）有1个零点，当0＜a＜时，f（x）有2个零点，当a＞时，f（x）没有零点．（II）证明：∵f（x）＞g（x）+a?xlnx＞g（x），g′（x）==，∴当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，∴gmax（x）=g（1）=2﹣e，由（I）可知y=xlnx的最小值为﹣，∵﹣﹣（2﹣e）=e﹣2﹣＞0，∴xlnx﹣g（x）＞0．即xlnx＞g（x），∴当x＞0时，