高考数学导数知识题型全归纳专题11导数压轴题之隐零点问题(原卷版+解析)

更多精品资料请关注微信公众号：超级高中生导数章节知识全归纳专题11导数压轴题中有关隐零点问题隐零点问题知识方法讲解：1.“隐零点”概念：隐零点主要指在研究导数试题中遇到的对于导函数f’(x)=0时，不能够直接运算出来或是不能够估算出来，导致自己知道方程有根存在，但是又不能够找到具体的根是多少，通常都是设x=x0，使得f’(x)=0成立2.“隐零点”解决方向：针对隐零点问题通常解决步骤：1.求导判定是否为隐零点问题，2.设x=x0，使得f’(x)3.得到单调性，并找到最值，将x0带入f(x),得到f(4.再将x0的等式代换，再求解（注意：x0隐零点问题中的典型例题：典例1．已知函数，．（1）求在的极值；（2）证明：在有且只有两个零点．典例2．已知函数在处的切线与直线：平行．（1）求的值；（2）若，试讨论在上的零点个数．典例3.已知函数.（1）判断函数f(x)在上的零点个数，并说明理由；（2）当时，，求实数m的取值范围.典例4.设函数.（Ⅰ）讨论的导函数的零点的个数；（Ⅱ）证明：当时.典例5．已知函数.（1）若，讨论的单调性；（2）令，讨论的极值点个数.变式1．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求函数在上的零点个数.变式2．已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．变式3．已知函数且在上的最大值为，（1）求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明变式4.已知函数，，．（1）讨论函数在上的单调性；（2）若方程在区间上有且只有一个实数根，求m的取值范围．更多精品资料请关注微信公众号：超级高中生导数章节知识全归纳专题11导数压轴题中有关隐零点问题隐零点问题知识方法讲解：1.“隐零点”概念：隐零点主要指在研究导数试题中遇到的对于导函数f’(x)=0时，不能够直接运算出来或是不能够估算出来，导致自己知道方程有根存在，但是又不能够找到具体的根是多少，通常都是设x=x0，使得f’(x)=0成立2.“隐零点”解决方向：针对隐零点问题通常解决步骤：1.求导判定是否为隐零点问题，2.设x=x0，使得f’(x)3.得到单调性，并找到最值，将x0带入f(x),得到f(4.再将x0的等式代换，再求解（注意：x0隐零点问题中的典型例题：典例1．已知函数，．（1）求在的极值；（2）证明：在有且只有两个零点．解：（1）由，，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，函数的极小值为，无极大值；（2）证明：，其中.则，令，则.当时，，则在上单调递减，，，所以，存在，使得.当时，，此时函数在上单调递增，当时，，此时函数在上单调递减.,而，，则，又，令，其中，则，所以，函数在上单调递增，则，所以，.由零点存在定理可知，函数在上有两个零点；当时，，，设，则对任意的恒成立，所以，，所以，函数在上没有零点，综上所述，函数在上有且只有两个零点.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.典例2．已知函数在处的切线与直线：平行．（1）求的值；（2）若，试讨论在上的零点个数．解：（1）在处的切线与直线：平行，则有，，则（2），，，令，则，当时，且，则，则在单调递减，，，当时，且在单调递减，则，在单调递减，，，由于，则，在单调递减，则有一个零点，当时，，由于在单调递减，则，在单调递增，，则，则在无零点，当时，，，在单调递减，则存在使，当，，单调递增，当，，单调递减，，，若，则由，及的增减性可得：在无零点，此时，若，由，和的增减性可得：在有一个零点，此时，综上，当时，在无零点，当时，在有一个零点．【点睛】关键点点睛：本题第二问考查利用导数分析函数的零点个数问题，解答此问题的关键在于多次求导以及分类讨论思想的运用；当原函数的导函数无法直接判断出正负时，可先通过将原函数的导函数看作新函数，利用导数思想先分析的单调性以及取值正负，由此确定出的单调性并分析其取值正负，从而的正负可分析，则根据的单调性以及取值可讨论零点个数.典例3.已知函数.（1）判断函数f(x)在上的零点个数，并说明理由；（2）当时，，求实数m的取值范围.解：（1）解法一：由题意得，，当时，易得函数单调递增，而，，故，当时，；当时，，而，∴函数f(x)在上无零点；当时，，∴函数f(x)在上单调递增，而，∴函数f(x)在上有1个零点.综上所述，函数f(x)在上有1个零点.（2）令，，则.，，令，因为时，，当时，，，，所以在上恒成立，则h(x)为増函数，即为增函数①当，即时，，∴g(x)在上为增函数，，即在上恒成立；②当m+2<0，即m<-2时，，，使，当为增函数；当为减函数，，与在上恒成立相矛盾，不成立.综上所述，实数m的取值范围是.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．典例4.设函数.（Ⅰ）讨论的导函数的零点的个数；（Ⅱ）证明：当时.解：（Ⅰ）的定义域为，.当时,，没有零点；当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又,当b满足且时，,故当时，存在唯一零点.（Ⅱ）由（Ⅰ），可设在的唯一零点为，当时，;当时，.故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为.由于，所以.故当时，.考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.典例5．已知函数.（1）若，讨论的单调性；（2）令，讨论的极值点个数.解：（1）若，则，其定义域为，.令，则，易知在上单调递增，且，所以当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，因此，即，所以在上单调递增.（2）由题意知，，则，由（1）知，，当时，，所以在上单调递增，此时无极值点.当时，令，则，易知在上单调递增，又，，故存在，使得，此时有，即，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以.令，，易知在上单调递减，所以，即.因为，，且，所以存在，，满足，所以当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以当时，存在两个极值点.综上，当时，不存在极值点；当时，存在两个极值点.【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键有：（1）当时，合理利用第（1）问中得到的以及不等式的性质得到；（2）当时，灵活构造函数，并根据等式将代换掉，得到，最后巧妙取点，利用零点存在定理得到的零点，从而得到结果.变式1．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求函数在上的零点个数.解：（1），其定义域为，①当时，因为，所以在上单调递增，②当时，令得，令得所以在上单调递减，上单调递增，综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递减，单调递增，（2）已知得，则①当时，因为所以在单调递减，所以，所以在上无零点；②当时，因为单调递增，且，，所以存在，使当时，，当时，所以在递减递增，且，所以，又因为所以所以在上存在一个零点，所以在上有两个零点；③当时，，所以在单调递增因为，所以在上无零点；综上所述，在上的零点个数为个.【点睛】方法点睛：函数的零点问题常见的解法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（直接研究函数的图象得解）；（3）方程+图象法（令得到，再研究函数图象性质即得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.变式2．已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．解：（1）由题意知：定义域为：且令，，在上单调递减，在上单调递减在上单调递减又，，使得当时，；时，即在上单调递增；在上单调递减则为唯一的极大值点即：在区间上存在唯一的极大值点.（2）由（1）知：，①当时，由（1）可知在上单调递增在上单调递减又为在上的唯一零点②当时，在上单调递增，在上单调递减又在上单调递增，此时，不存在零点又，使得在上单调递增，在上单调递减又，在上恒成立，此时不存在零点③当时，单调递减，单调递减在上单调递减又，即，又在上单调递减在上存在唯一零点④当时，，即在上不存在零点综上所述：有且仅有个零点【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.变式3．已知函数且在上的最大值为，（1）求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明解：(1)由已知得f′(x)=a(sinx+xcosx),对于任意的x∈(0,)，有sinx+xcosx>0,当a=0时,f(x)=−，不合题意；当a<0时,x∈(0,),f′(x)<0,从而f(x)在(0,)单调递减，又函数f(x)=axsinx−(a∈R)在[0,]上图象是连续不断的，故函数在[0,]上的最大值为f(0)，不合题意；当a>0时,x∈(0,),f′(x)>0,从而f(x)在(0,)单调递增，又函数f(x)=axsinx−(a∈R)在[0,]上图象是连续不断的，故函数在[0,]上上的最大值为f()=a−=，解得a=1，综上所述,得；(2)函数f(x)在(0,π)内有且仅有两个零点。证明如下：由(I)知,f(x)=xsinx−,从而有f(0)=−<0,f()=π−32>0，又函数在[0,]上图象是连续不断的,所以函数f(x)在(0,)内至少存在一个零点，又由(I)知f(x)在(0,)单调递增,故函数f(x)在(0,)内仅有一个零点。当x∈[,π]时,令g(x)=f′(x)=sinx+xcosx，由g()=1>0,g(π)=−π<0,且g(x)在[,π]上的图象是连续不断的，故存在m∈,π),使得g(m)=0.由g′(x)=2cosx−xsinx,知x∈(,π)时,有g′(x)<0，从而g(x)在[,π]上单调递减。当x∈,m),g(x)>g(m)=0,即f′(x)>0，从而f(x)在(,m)内单调递增故当x∈(,m)时,f(x)>f(π2)=π−32>0，从而(x)在(,m)内无零点；当x∈(m,π)时,有g(x)<g(m)=0,即f′(x)<0，从而f(x)在(,m)内单调递减。又f(m)>0,f(π)<0且f(x)在[m,π]上的图象是连续不断的，从而f(x)在[m,π]内有且仅有一个零点。综上所述,函数f(x)在(0,π)内有且仅有两个零点。变式4.已知函数，，．（1）讨论函数在上的单调性；（2）若方程在区间上有且只有一个实数根，求m的取值范围．解：（1）的定义域为，，设，则，当时，，当且仅当时取“=”所以在上单调递减，又，所以当时，，当时，，因此在上单调递增，在上单调递减．（2）即为，两边同时乘以x得，得，令，则，由条件知在区间上有且只有一个零点．①当时，因为，所以，即，所以在区间上单调递增，又，于是在区间上无零点，不合题意．②当时，令，得，所以存在唯一的，使得，