辽宁省沈阳市第七高级中学高三数学文期末试卷含解析

辽宁省沈阳市第七高级中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.正数满足，则的最大值为A．

B．

C．1

D．参考答案：. 试题分析：因为，所以运用基本不等式可得，所以，当且仅当时等号成立，故应选. 考点：1、基本不等式的应用；2.已知tanα=2，那么的值为（）A．﹣2B．2C．﹣D．参考答案：D考点：弦切互化；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：的分子、分母同除cosα，代入tanα，即可求出它的值．解答：解：=因为tanα=2，所以上式=故选D．点评：本题考查弦切互化，同角三角函数基本关系的运用，考查计算能力，是基础题．3.已知一个四面体的一条棱长为，其余棱长均为2，则这个四面体的体积为（

）（A）1

（B）

（C）

（D）3参考答案：A4.设m＞0，则直线（x+y）+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为（）A．相切 B．相交 C．相切或相离 D．相交或相切参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求一下圆心到直线的距离，看表达式的取值，即可判断结果．【解答】解：圆心到直线的距离为d=，圆半径为．∵d﹣r=﹣=（m﹣2+1）=（﹣1）2≥0，∴直线与圆的位置关系是相切或相离．故选C．5.同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于对称，③在上是增函数”的一个函数是A． B． C． D．参考答案：A6.“”是“”的(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件参考答案：B略7.将正三棱柱截去三个角(如右图所示A、B、C分别是△

GHI三边的中点)得到的几何体如下图，则该几何体按右

图所示方向的左视图(或称左视图)为

参考答案：A截前的左视图是一个矩形，截后改变的只是B，C，F方向上的8.执行如图中的程序框图，若输出的结果为21,则判断框中应填（

）A.i<5

B.

i<6

C.

i<7

D.

i<8参考答案：C略9.设满足约束条件，若目标函数的最小值为，则的最小值为A.

B.

C.

D.参考答案：A10.已知向量，且，则（

）A．

B．

C.

D．5参考答案：B由向量平行的充分必要条件可得：，则：，即：，，据此可得向量的模.本题选择B选项.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.变量x，y之间的四组相关数据如表所示：x4567y8.27.86.65.4若x，y之间的回归方程为，则的值为．参考答案：﹣0.96【考点】BK：线性回归方程．【分析】由题意首先求得样本中心点，然后结合线性回归方程的性质整理计算即可求得最终结果．【解答】解：由题意可得：，线性回归方程过样本中心点，则：，∴．故答案为：﹣0.96．12.将边长为1米的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则的最小值是________．参考答案：略13.已知，则函数的零点的个数为

_______个.参考答案：5略14.已知两点，为坐标原点，若，则实数t的值为

▲

参考答案：6/5

略15.若下框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于整数k的条件是_______________

参考答案：（或）16.若(x2－2x－3)n的展开式中所有项的系数之和为256，则n=___▲____，含x2项的系数是▲_____（用数字作答）.参考答案：4,108的展开式中所有项的系数之和为，，，项的系数是.

17.在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝6，若D点在斜边BC上，CD＝2DB，则的值为

．参考答案：24；三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知过点A（0，1）的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，B为椭圆上的任意一点，且|BF1|，|F1F2|，|BF2|成等差数列．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点A始终在以PQ为直径的圆外，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意，利用等差数列和椭圆的定义求出a、c的关系，再根据椭圆C过点A，求出a、b的值，即可写出椭圆C的标准方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），根据题意知x1=﹣2，y1=0；联立方程消去y，由方程的根与系数关系求得x2、y2，由点A在以PQ为直径的圆外，得∠PAQ为锐角，?＞0；由此列不等式求出k的取值范围．【解答】解：（1）∵|BF1|，|F1F2|，|BF2|成等差数列，∴2|F1F2|=|BF1|+|BF2|=（|BF1|+|BF2|），由椭圆定义得2?2c=?2a，∴c=a；又椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点A（0，1），∴b=1；∴c2=a2﹣b2=a2﹣1=a2，解得a=2，c=；∴椭圆C的标准方程为+y2=1；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）联立方程，消去y得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0；依题意直线l：y=k（x+2）恒过点（﹣2，0），此点为椭圆的左顶点，∴x1=﹣2，y1=0，﹣﹣﹣﹣①由方程的根与系数关系可得，x1+x2=；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②可得y1+y2=k（x1+2）+k（x2+2）=k（x1+x2）+4k；﹣﹣﹣﹣③由①②③，解得x2=，y2=；由点A在以PQ为直径的圆外，得∠PAQ为锐角，即?＞0；由=（﹣2，﹣1），=（x2，y2﹣1），∴?=﹣2x2﹣y2+1＞0；即+﹣1＜0，整理得，20k2﹣4k﹣3＞0，解得：k＜﹣或k＞，∴实数k的取值范围是k＜﹣或k＞．19.已知以角为钝角的的三角形内角的对边分别为、、，，且与垂直．（1）求角的大小；（2）求的取值范围参考答案：（1）；（2）．试题分析：（1）观察要求的结论，易知要列出的边角之间的关系，题中只有与垂直提供的等量关系是，即，这正是我们需要的边角关系．因为要求角，故把等式中的边化为角，我们用正弦定理，，，代入上述等式得

20.（14分）（2007?福建）已知函数f（x）=ex﹣kx，（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（2）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）设函数F（x）=f（x）+f（﹣x），求证：F（1）F（2）…F（n）＞（n∈N+）．参考答案：(I)单调递增区间是（1，+∞）,单调递减区间是（﹣∞，1）;(II)0＜k＜e;（III），n∈N*.（Ⅰ）由k=e得f（x）=ex﹣ex，所以f'（x）=ex﹣e．由f'（x）＞0得x＞1，故f（x）的单调递增区间是（1，+∞），由f'（x）＜0得x＜1，故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，1）．（Ⅱ）由f（|﹣x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函数．于是f（|x|）＞0对任意x∈R成立等价于f（x）＞0对任意x≥0成立．由f'（x）=ex﹣k=0得x=lnk．①当k∈（0，1]时，f'（x）=ex﹣k＞1﹣k≥0（x＞0）．此时f（x）在[0，+∞）上单调递增．故f（x）≥f（0）=1＞0，符合题意．②当k∈（1，+∞）时，lnk＞0．当x变化时f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（0，lnk）lnk（lnk，+∞）f′（x）﹣0+f（x）单调递减极小值单调递增由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k﹣klnk．依题意，k﹣klnk＞0，又k＞1，∴1＜k＜e．综合①，②得，实数k的取值范围是0＜k＜e．（Ⅲ）∵F（x）=f（x）+f（﹣x）=ex+e﹣x，∴F（x1）F（x2）=，∴F（1）F（n）＞en+1+2，F（2）F（n﹣1）＞en+1+2，F（n）F（1）＞en+1+2．由此得，[F（1）F（2）F（n）]2=[F（1）F（n）][F（2）F（n﹣1）][F（n）F（1）]＞（en+1+2）故，n∈N*．21.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点，其参数方程为（为参数，）.以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且，求实数a的值.参考答案：(1);.(2)或.【分析】（1）曲线参数方程消去参数，得到曲线的普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，代入即可得出曲线的直角坐标方程；（2）设两点所对应参数分别为，直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用韦达定理和直线参数方程中参数的几何意义，得，根据，得，分类讨论，即可求解.【详解】（1）曲线参数方程为为参数，消去参数，得，∴曲线的普通方程，又由曲线的极坐标方程为，∴，根据极坐标与直角坐标的互化公式，代入得，整理得，即曲线的直角坐标方程.（2）设两点所对应参数分别为，，将代入，得，要使与有两个不同的交点，则，即，由韦达定理有，根据参数的几何意义可知，，又由，可得，即或，∴当时，有，符合题意.当时，有，符合题意.综上所述，实数的值为或.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程中参数的几何意义的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.22.已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an﹣2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log2an，cn=，记数列{cn}的前n项和Tn，若对n∈N*，Tn≤k（n+4）恒成立，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）当n=1时，a1=S1，解得a1．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，再利用等比数列的通项公式即可得出．（2）利用对数的运算性质可得bn，利用cn==．利用“裂项求和”即可得出：数列{cn}的前n项和Tn=．由于对n∈N*，Tn≤k（n+4）恒成立，可得，化为=