-2024年“极光杯”线上考试（一） 答案

2024年“极光杯”线上测试（一）数学参考答案一、选择题二、选择题三、填空题16．1；(,)u(,)四、解答题若g(x)在区间(0,π)恰有两个极值点，则y=sinx在区间(,2aπ+)恰有两个极值点，因此解得a的取值范围是(,].2024年测试（一）参考答案第1页（共4页）（1）由题设知Y服从二项分布B(50,0.6)，所以（i）统计量A反映了未受益于新治疗方案的患者数，理由如下：若患者i受益于新治疗方案，则其指标I的值xi满足f(xi)=0，否则|f(xi)|=1，会被统计量A计入，且每位未受益于新治疗方案的患者恰使得统计量A的数值加1.统计量B反映了未受益于新治疗方案且指标I偏高的患者数量，理由如下：若患者i接受新治疗方案后指标I偏低或正常，则其指标I的值xi满足f(xi)[f(xi)+1]=0，若指标I偏高，则f(xi)[f(xi)+1]=2，=1，会被统计量B计入，且每位未受益于新治疗方案且指标I偏高的患者恰使得统计量B的数值加1.（ii）由题设知新治疗方案优于标准治疗方案等价于一次试验中X的观测值大于Y当50A>30，即A<20时，认为新治疗方案优于标准治疗方案；当50A=30，即A=20时，认为新治疗方案与标准治疗方案相当；当50A<30，即A>20时，认为新治疗方案劣于标准治疗方案.（1）取CF中点M，DE中点N，连结AM，BN，MN.因为底面CDEF是矩形，AB//底面CDEF，平面ABCDn底面CDEF=CD，所以AB//CD//EF，而MN//CD，所以A，B，M，N共面.由题设知△ACF，△BDE都是正三角形，所以CF」AM，DE」BN.因为底面CDEF是矩形，所以CF//DE，则CF」BN，CF」平面ABMN.记A在MN，CD，EF上的射影分别为A1，A2，A3，则CF」AA3，且MN」AA3，所以AA1=1．而A1A2=A1A3=MC=又因为AA2」EF，所以AA2」CD，从而AA2」平面ABCD.而AA2一平面ABEF，所以平面ABCD」平面ABEF.2024年测试（一）参考答案第2页（共4页）（2i）因为CF//DE，所以CF//平面BDE.由线面平行的性质可知，CF//l，其中l平面ACFn平面BDE.而l底面CDEF，所以l//底面CDEF.（ii）由（1）知A，B，M，N共面，所以AM和BN有交点，记为G.所以Gl，l到底面CDEF的距离等于G到底面CDEF的距离.因为AMBN3，所以四边形ABNM是等腰梯形，AMNBNM，由几何关系可知MA1MA2AA2，MNAB2MA1222，代入计算得d1.113，当q（2）a11a1q10，令f(q)，q1.f(q)，令f(q)0得q0，f(q)在(1,)单调递减，在(,)单调此时a116，a220，a325．a3不是偶数，所以a4A5.4nA(n5).（1）设A(4t2,4t)，t0，则|AB|2(4t21)2(4t4)216t424t232t17.设f(t)16t424t232t17，f(t)16(4t33t2)16(2t1)(2t2t2).因为2t2t22(t)20，所以令f(t)0得t0，f(t)在(,)单调递减，在(,)单调递增，故f(t)的最小值为f()8，|AB|的最小值为22.43（2）由题可知tan43 |t|t2 2 2；4343；综上，tan经ACB的取值范围是[,)u(,]. 2 2（1）f,(x)=1x，则曲线y=f(x)在点(t,f(t))处切线l的斜率为1t.tetettt故曲线y=f(x)平行于直线y=x+2的切线只有一条，即在(0,0)处的切线y=x.（2）因为g(x)=g(x+2π)，所以g(x)的一个周期是2π.,sinxcosxcosxsinxsinx+cosxsinx+cosxg(x)=ecosxesinx=(ecosxesinx)e=e[f(c而esinx+cosx>0