湖北省武汉市中学分校高三数学理下学期期末试卷含解析

湖北省武汉市中学分校高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=ex（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1）；②函数f（x）有2个零点；③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），④?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正确命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据f（x）为奇函数，设x＞0，得﹣x＜0，可求出f（x）=e﹣x（x﹣1）判定①正确；由f（x）解析式求出﹣1，1，0都是f（x）的零点，判定②错误；由f（x）解析式求出f（x）＞0的解集，判断③正确；分别对x＜0和x＞0时的f（x）求导，根据导数符号判断f（x）的单调性，根据单调性求f（x）的值域，可得?x1，x2∈R，有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，判定④正确．【解答】解：对于①，f（x）为R上的奇函数，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1）=﹣f（x），∴f（x）=e﹣x（x﹣1），①正确；对于②，∵f（﹣1）=0，f（1）=0，且f（0）=0，∴f（x）有3个零点，②错误；对于③，x＜0时，f（x）=ex（x+1），易得x＜﹣1时，f（x）＜0；x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1），易得0＜x＜1时，f（x）＜0；∴f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；③正确；对于④，x＜0时，f′（x）=ex（x+2），得x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0；∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；∴x=﹣2时，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0；∴f（x）＜f（0）=1；即﹣e﹣2＜f（x）＜1；x＞0时，f′（x）=e﹣x（2﹣x）；∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；x=2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0；∴f（x）＞f（0）=﹣1；∴﹣1＜f（x）≤e﹣2；∴f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）；∴?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2；④正确；综上，正确的命题是①③④，共3个．故选：B．【点评】本题考查了奇函数的定义与应用问题，也考查了函数的零点以及不等式的解集、根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法，是综合性题目．2.函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（3，4） B．（2，e） C．（1，2） D．（0，1）参考答案：C【考点】函数的零点．【分析】根据所给的几个区间看出不在定义域中的区间去掉，把所给的区间的两个端点的函数值求出，若一个区间对应的函数值符合相反，得到结果．【解答】解：∵在（0，+∞）单调递增∵f（1）=ln2﹣2＜0，f（2）=ln3﹣1＞0，∴f（1）f（2）＜0∴函数的零点在（1，2）之间，故选：C．3.已知全集，集合，，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略4.若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]参考答案：A略5.设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，是f(x)的导函数，当时，0＜f(x)＜1；当x∈（0，π）且x≠时，，则函数y=f(x)-sinx在[-2π，2π]上的零点个数为A.2

B.4

C.5

D.8参考答案：B略6.双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，则它的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；规律型；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的离心率求出双曲线的渐近线中a，b的关系，即可得到渐近线方程．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，可得，∴，可得，双曲线的渐近线方程为：y=±．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．7.已知，，，则，，的大小关系是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C详解：，，，∴，故选C.

8.已知等差数列前n项的和为Sn，若S13＜0，S12＞0，则在数列中绝对值最小的项为()A．第5项

B．第6项

C．第7项

D．第8项参考答案：C9.已知函数，则方程所有根的和是A．

B．1

C．

D．2参考答案：C10.设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），则的最大值为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】二次函数的性质；基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题．【分析】由于二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），所以a＞0，且△=0，从而得到a，c的关系等式，再利用a，c的关系等式解出a，把转化为只含一个变量的代数式利用均值不等式进而求解．【解答】解：因为二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），所以?ac=4?c=，所以====

由于（当且仅当a=6时取等号）所以．故答案为：C【点评】此题考查了二次函数的值域，变量的替换及利用均值不等式求最值．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一艘海轮从处出发，以每小时20海里的速度沿南偏东40°方向直线航行．30分钟后到达处．在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么、两点间的距离是参考答案：海里12.设点A为圆上动点，点B（2，0），点为原点，那么的最大值为

.参考答案：45°13.在△ABC中，AB=7，BC=5，CA=6，则=

.参考答案：-1914.设，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是 ．参考答案：15.在中，，，设交于点，且，，则的值为

.参考答案：试题分析:由题设可得,即,也即,所以,解之得,故,应填.考点：向量的几何运算及待定系数法的运用．【易错点晴】平面向量是高中数学中较为重要的知识点和考点.本题以三角形的线段所在向量之间的关系为背景精心设置了一道求其中参数的和的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,综合运用向量的三角形法则,巧妙构造方程组,然后运用待定系数法建立方程组,然后通过解方程组使得问题巧妙获解.16.已知点（x，y）在△ABC所包围的阴影区域内（包含边界），若B是使得z=ax﹣y取得最大值的最优解，则实数a的取值范围为．参考答案：[﹣，+∞）考点： 简单线性规划．专题： 不等式的解法及应用．分析： 根据目标函数的几何意义，寻找直线斜率之间的关系进行求解即可．解答： 解：由z=ax﹣y得y=ax﹣z，则直线y=ax﹣z的斜率最小时，z最大，若B是目标函数取得最大值的最优解，即直线y=ax﹣z过点B，且在y轴上的截距﹣z最小，得a≥kAB==．即a的取值范围是[﹣，+∞），故答案为：[﹣，+∞）点评： 本题主要考查线性规划的应用，根据直线斜率之间是关系是解决本题的关键．17.某几何体三视图如所示，则该几何体的体积为(）

A．8－

B．8－

C．8－π

D．8－2π参考答案：【知识点】由三视图求面积、体积．G2

【答案解析】C

解析：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．故选：C．【思路点拨】几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．参考答案：考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值．（Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案．解答： 解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=?sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a?b?sinC=×3×3×=．点评：本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用．19.已知实数满足.(Ⅰ)若直线与曲线:相交于两点，是坐标原点，且，若直线的斜率为，求曲线的离心率；(Ⅱ)当时，求的最小值.

参考答案：解析：(Ⅰ)由知为的中点，……………………2分设,代入曲线方程:,因为的斜率为，从而,……………………5分，故曲线为焦点在轴上的椭圆，……7分(Ⅱ)记或……………………9分（1）若，此时………11分（2）若，此时…………13分

略20.

如图①，四边形ABCD为等腰梯形,AE⊥DC,AB=AE＝DC，F为EC的中点，现将△DAE沿AE翻折到△PAE的位置，如图②，且平面PAE⊥平面ABCE.

（I）求证：平面PAF⊥平面PBE;（II）求直线PF与平面PBC所成角的正弦值．

参考答案：略21.已知椭圆Ω：(a＞b＞0)，过点Q(，1)作圆x2+y2=1的切线，切点分别为S，T．直线ST恰好经过Ω的右顶点和上顶点．（1）求椭圆Ω的方程；（2）如图，过椭圆Ω的右焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD．①设AB，CD的中点分别为M，N，证明：直线MN必过定点，并求此定点坐标；②若直线AB，CD的斜率均存在时，求由A，C，B，D四点构成的四边形面积的取值范围．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据直线和圆的位置关系，可求出直线ST的方程，则直线ST恰好经过Ω的右顶点和上顶点，求出a，b的值，问题得以解决利用椭圆的离心率，以及，|AB|+|CD|=3．求出a、b，即可求椭圆的方程；（2）①若直线AB，CD斜率均存在，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），根据中点坐标，以及韦达定理，即可求出k的值，即可求出点的坐标．②当当直线AB，CD的斜率均存在且不为0时，由①可知，将直线AB的方程代入椭圆方程中，利用韦达定理以及弦长公式，求出AB，CD即可求解面积的表达式，通过基本不等式求出面积的最值．【解答】解：（1）过作圆x2+y2=1的切线，一条切线为直线y=1，切点S（0，1）．设另一条切线为，即．因为直线与圆x2+y2=1相切，则．解得．所以切线方程为．由，解得，直线ST的方程为，即．令x=0，则y=1所以上顶点的坐标为（0，1），所以b=1；令y=0，则，所以右顶点的坐标为，所以，所以椭圆Ω的方程为．（2）①若直线AB，CD斜率均存在，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），则中点．先考虑k≠0的情形．由得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．由直线AB过点F（1，0），可知判别式△＞0恒成立．由韦达定理，得，故，将上式中的k换成，则同理可得．若，得k=±1，则直线MN斜率不存在．此时直线MN过点．②当直线AB，CD的斜率均存在且不为0时，由①可知，将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，所以=．同理，，则，=，因为，当且仅当k=±1时取等号，所以，即．所以，由A，C，B，D四点构成的四边形面积的取值范围为．22.（13分）设椭圆E:=1（）过M（2，），N(,1)两点，为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心为原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且

？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在，说明理由。参考答案：解:（1）因为椭圆E:（a,b>0）过M（2，），N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在