山西省太原市第十一中学高一数学理期末试题含解析

山西省太原市第十一中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量a＝(4，－2)，向量b＝(x，5)，且a∥b，那么x等于

(

)A．10

B．5

C．－

D．－10参考答案：D略2.（5分）某购物网站在2014年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数量最少，他最少需要下的订单张数为（） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5参考答案：B考点： 函数模型的选择与应用．专题： 应用题；函数的性质及应用．分析： 因是选择题，可进行分步计算，用42=9+11+11+11易得到．解答： ∵原价是：48×42=2016（元），2016×0.6=1209.6（元），∵每张订单金额（6折后）满300元时可减免100，∴若分成10，10，11，11，由于48×10=480，480×0.6=288，达不到满300元时可减免100，∴应分成9，11，11，11．∴只能减免3次，故选：B．点评： 本题是一道应用题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的解法．3.一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（

）A．必定都不是直角三角形 B．至多有一个直角三角形C．至多有两个直角三角形 D．可能都是直角三角形参考答案：D4.设函数的最小正周期为π，且则（

）．A.f(x)在单调递增 B.f(x)在单调递增C.f(x)在单调递减 D.f(x)在单调递减参考答案：A【分析】三角函数，由周期为，可以得出；又，即，所以函数为偶函数，从而解得值，由此可以判断出函数的单调性。【详解】解：因为且周期为，所以，；又因为，即，所以函数为偶函数，所以，当时，所以，又因为，所以，故，所以在上单调递减，故选A。【点睛】在解决三角函数解析式问题时，首先要将题目所提供的形式转化为标准形式，即的形式，然后再由题中的条件（周期，对称性等）解决三角函数中相关的参数，进而解决问题。

5.若，则的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由，得，当时，即可求出的范围，根据几何概型的公式，即可求解。【详解】由，得，当，即当时，，所以的概率为.【点睛】本题考查几何概型的公式，属基础题6.下列各组函数中，表示同一函数的是

A．

B．

C．

D．参考答案：C7.如图是函数（m，n∈N*，m，n互质）的图象，则下述结论正确的是（）A．m，n是奇数，且m＜n B．m是偶数，n是奇数，且m＞nC．m是偶数，n是奇数，且m＜n D．m是奇数，n是偶数数，且m＞n参考答案：C【考点】幂函数的图象．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的图象，结合幂函数的图象和性质，分析m，n的奇偶性和大小，可得答案．【解答】解：∵函数（m，n∈N*，m，n互质）的图象的图象关于y轴对称，故n为奇数，m为偶数，在第一象限内，函数是凸函数，故，故m＜n，故选：C【点评】本题考查的知识点是幂函数的图象和性质，熟练掌握幂函数的图象和性质是解答的关键．8.同时具有以下性质：“①最小正周期是，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．

B．

C．

D．参考答案：C9.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12π B．π C．8π D．4π参考答案：A【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，正方体的体对角线为=2，即为球的直径，所以半径为，所以球的表面积为=12π．故选：A．10.已知函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）且对定义域中任意x均有：f（x）?f（﹣x）=1，g（x）=，则g（x）（）A．是奇函数 B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既非奇函数又非偶函数参考答案：A【考点】函数奇偶性的判断．【分析】由题意先判断函数g（x）的定义域关于原点对称，再求出g（﹣x）与g（x）的关系，判断出其奇偶性．【解答】解：由题意，要使函数g（x）有意义，则f（x）+1≠0，即f（x）≠﹣1，∵对定义域中任意x均有：f（x）?f（﹣x）=1，∴若f（a）=﹣1时，则有f（﹣a）=﹣1，∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∴函数g（x）的定义域也关于原点对称，∵g（﹣x）===﹣=﹣g（x），∴函数g（x）是奇函数．故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是__________.参考答案：略12.已知直线：与直线：平行，则a=______.参考答案：4【分析】利用直线平行公式得到答案.【详解】直线：与直线：平行故答案为4【点睛】本题考查了直线平行的性质，属于基础题型.13.对于任意实数a，b，定义min设函数f（x）=﹣x+3，g（x）=log2x，则函数h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值是__________．参考答案：1考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：数形结合．分析：分别作出函数f（x）=﹣3+x和g（x）=log2x的图象，结合函数f（x）=﹣3+x和g（x）=log2x的图象可知，在这两个函数的交点处函数h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值．解答：解：∵x＞0，∴f（x）=﹣x+3＜3，g（x）=log2x∈R，分别作出函数f（x）=﹣3+x和g（x）=log2x的图象，结合函数f（x）=﹣3+x和g（x）=log2x的图象可知，h（x）=min{f（x），g（x）}的图象，在这两个函数的交点处函数h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值．解方程组得，∴函数h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值是1．故答案是1．点评：数形结合是求解这类问题的有效方法．14.化简参考答案：115.函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围

.参考答案：16.如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为，与的夹角为，且,。若（），则的值为

O

参考答案：617.已知函f（x）=，则f（f（））=．参考答案：【考点】分段函数的应用；函数的值；对数的运算性质．【分析】利用分段函数直接进行求值即可．【解答】解：由分段函数可知f（）=，f（f（））=f（﹣2）=．故答案为：．【点评】本题主要考查分段函数求值，比较基础．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xoy中，已知四边形OABC是平行四边形，，点M是OA的中点，点P在线段BC上运动（包括端点），如图（Ⅰ）求∠ABC的大小；（II）是否存在实数λ，使？若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由。参考答案：解：（Ⅰ）由题意，得，因为四边形OABC是平行四边形，所以，，于是，∠ABC=

（II）设，其中1≤t≤5，于是

若，则，即

又1≤t≤5，所以故存在实数，使.略19.某学校高一年学生在某次数学单元测试中，成绩在的频数分布表如下：分数频数602020（Ⅰ）用分层抽样的方法从成绩在，和的同学中共抽取人，其中成绩在的有几人？（Ⅱ）从（Ⅰ）中抽出的人中，任取人，求成绩在和中各有人的概率？

参考答案：解：（Ⅰ）根据频数分布表，成绩在，，中共有人，成绩在的有人，

…………2分故用分层抽样的方法抽取成绩在的人数为.

…………4分（Ⅱ）从（Ⅰ）中抽出的人中，成绩在的有名同学，记为，成绩在和的各有1名同学，分别记为20.（12分）已知函数f（x）=log2|x|．（1）求函数f（x）的定义域及f（﹣）的值；（2）判断函数f（x）的奇偶性；（3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．参考答案：考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明；对数函数的图像与性质．专题： 函数的性质及应用．分析： （1）根据对数函数成立的条件即可求函数f（x）的定义域及f（﹣）的值；（2）根据函数奇偶数的定义即可判断函数f（x）的奇偶性；（3）利用函数单调性的定义进行判断和证明．解答： （1）依题意得|x|＞0，解得x≠0，（1分）所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．（2分），．（4分）（2）设x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），则﹣x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．f（﹣x）=log2|﹣x|=log2|x|=f（x），（6分）所以f（﹣x）=f（x）．（7分）所以函数f（x）是偶函数．（8分）（3）f（x）在（0，+∞）上的单调增函数．（9分）设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则．（10分）因为0＜x1＜x2，所以．（11分）所以，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上的单调增函数．（12分）点评： 本题主要考查对数函数的性质和图象，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．综合考查函数的性质是应用．21.（本题10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）已知集合是