山西省太原市万柏林区第五中学高三数学文上学期摸底试题含解析

山西省太原市万柏林区第五中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若直角坐标平面内不同的两点p、Q满足条件：①p、Q都在函数y=f（x）的图像上；②p、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”）．若函数，则此函数的“友好点对”有（

）对．

A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：C略2.设，函数的图象可能是参考答案：3.在复平面内，复数对应的点位于

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：D4.杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1…….记作数列{an}，若数列{an}的前n项和为Sn，则

（

）A.2059

B.4108

C.2048

D.4095参考答案：B杨辉三角中前12行共有1+2+3+4+…+12＝78个数，其和为：20+21+22+…+211＝212﹣1＝4095；第13行共有2个位数，它们是1，12，其和为13，故＝4095+13＝4108.

5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若=24，=18，则S5=（）A．18 B．36 C．50 D．72参考答案：C【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出S5．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，=24，=18，∴，解得a1=2，d=4，∴S5=5×2+=50．故选：C．6.某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为(

) A．3+3 B．8+3 C．6+6 D．8+6参考答案：B考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中三视图可得该几何体为一个棱台，根据已知分析各个面的形状，求出面积后，相加可得该几何体的表面积解答： 解：由已知中三视图可得该几何体为一个棱台，下底面为边长为2的正方形，面积为4；上底面为边长为1的正方形，面积为1；左侧面和后侧面是上底为1，下底为2，高为1的梯形，每个面的面积为右侧面和前侧面是上底为1，下底为2，高为的梯形，每个面的面积为故该几何体的表面积为4+1+2×+2×=8+3故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图，求表面积，其中根据已知分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．7.若，则

(

)

A．

B．

C．

D．

参考答案：B8.在函数，，，中，奇函数是（

）（A）（B）（C）（D）参考答案：B略9.复数（i为虚数单位)的实部和虚部相等，则实数b的值为(

)A.一1

B.一2

C.一3

D.1参考答案：10.已知函数f（x）=，则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同实数解的充要条件是(

)A．b＜﹣2且c＞0 B．b＞﹣2且c＜0 C．b＜﹣2且c=0 D．b≥﹣2且c=0参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断；充要条件．【专题】计算题；压轴题．【分析】题中原方程f2（x）+bf（x）+c=0有且只有5个不同实数解，即要求对应于f（x）=某个常数有4个不同实数解且必有一个根为0，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，当f（x）等于何值时，它有四个根．从而得出关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有且只有5个不同实数解．【解答】解：∵题中原方程f2（x）+bf（x）+c=0有且只有5个不同实数解，∴即要求对应于f（x）等于某个常数有4个不同实数解，∴故先根据题意作出f（x）的简图：由图可知，只有当f（x）=0时，它有﹣个根．且f（x）=﹣b时有四个根，由图得：﹣b＞2，∴b＜﹣2．充要条件是b＜﹣2且c=0，故选C．【点评】数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.(理科)已知直三棱柱的棱，，如图3所示，则异面直线与所成的角是

(结果用反三角函数值表示)．参考答案：(理)，12.在区间（0，1）上随机取两个数m，n，则关于x的一元二次方程x2﹣?x+m=0有实根的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【专题】数形结合．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（m，n）对应图形的面积，及满足条件“关于x的一元二次方程x2﹣?x+m=0有实根”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：如下图所示：试验的全部结果所构成的区域为{（m，n）|0＜m＜1，0＜n＜1}（图中矩形所示）．其面积为1．构成事件“关于x的一元二次方程x2﹣?x+m=0有实根”的区域为{{（m，n）|0＜m＜1，0＜n＜1，n≥4m}（如图阴影所示）．所以所求的概率为==．故答案为：．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．13.若二次函数的图象和直线y=x无交点，现有下列结论：①方程一定没有实数根；②若a>0，则不等式对一切实数x都成立；③若a<0，则必存存在实数x0，使；④若，则不等式对一切实数都成立；⑤函数的图像与直线也一定没有交点。其中正确的结论是

（写出所有正确结论的编号）.参考答案：①②④⑤因为函数的图像与直线没有交点，所以或恒成立.①因为或恒成立，所以没有实数根；②若，则不等式对一切实数都成立；③若，则不等式对一切实数都成立，所以不存在，使；④若，则，可得，因此不等式对一切实数都成立；⑤易见函数，与f(x)的图像关于轴对称，所以和直线也一定没有交点.14.(理)在极坐标系中，定点，点在直线上运动，则线段的最短长度为

．参考答案：15.若二项式展开式中含x2项的系数为，则=．参考答案：【考点】极限及其运算；二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】根据二项式展开式的通项公式求出展开式中含x2项的系数，得出a的值；再计算的值．【解答】解：∵二项式展开式的通项公式为Tr+1=?x6﹣r?=（﹣a）r??，令6﹣r=2，解得r=3；∴展开式中含x2项的系数为（﹣a）3?=，解得a=﹣；∴===．故答案为：．【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了数列求和的应用问题以及极限的计算问题，是基础题目．16.已知，，，。根据以上等式，可猜想出的一般结论是

；参考答案：，）17.在公比为2的等比数列{an}中，，则a1=．参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知，设命题：函数为减函数．命题：当时，函数恒成立．如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求c的取值范围．参考答案：．试题分析：利用复合指数函数的单调性求命题P为真的c的范围；先求f（x）的最小值，分析函数恒成立的条件，然后解出命题q为真命题的c的范围；根据p或q为真命题，p且q为假命题，则P、q命题一真一假，求解．试题解析：解：由命题p为真知，0<c<1，由命题q为真知，2≤x＋≤，要使此式恒成立，需<2，即c>，

6分若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p、q中必有一真一假，当p真q假时，c的取值范围是0<c≤；当p假q真时，c的取值范围是c≥1．综上可知，c的取值范围是．

12分．考点：1．复合命题的真假；2．交、并、补集的混合运算；3．指数函数单调性的应用．19.已知函数f(x)=|2x+1|+|2x－3|（1）求不等式f(x)≤6的解集；（2）若关于x的不等式f(x)≤|a－1|的解集非空，求实数a的取值范围.参考答案：（Ⅰ）不等式f（x）≤6即|2x+1|+|2x﹣3|≤6，∴①，或②，或③．

解①得﹣1≤x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x≤2．故由不等式可得，即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．

…………

………5分（Ⅱ）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，即f（x）的最小值等于4，∴，解此不等式得．故实数a的取值范围为．

…………

………10分20.如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线PQ相交于点Q，若AQ=6，AC=5．（Ⅰ）求证：QC2﹣QA2=BC?QC；（Ⅱ）求弦AB的长．参考答案：考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：（Ⅰ）利用切割线定理得：QA2=QB?QC=（QC﹣BC）?QC=QC2﹣BC?QC，即可证明QC2﹣QA2=BC?QC；（Ⅱ）求出AC=BC=5，QC=9，由∠QAB=∠ACQ，知△QAB∽△QCA，即可求弦AB的长．解答： （Ⅰ）证明：∵PQ与⊙O相切于点A，∴由切割线定理得：QA2=QB?QC=（QC﹣BC）?QC=QC2﹣BC?QC．…∴QC2﹣QA2=BC?QC．…（Ⅱ）解：∵PQ与⊙O相切于点A，∴∠PAC=∠CBA，∵∠PAC=∠BAC，∴∠BAC=∠CBA，∴AC=BC=5，…又知AQ=6，由（Ⅰ）可知QA2=QB?QC=（QC﹣BC）?QC，∴QC=9．…由∠QAB=∠ACQ，知△QAB∽△QCA，∴，…∴．…点评：本题考查切割线定理，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日﹣21日在巴西里约热内卢举行．下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）．

第30届伦敦第29届北京第28届雅典第27届悉尼第26届亚特兰大中国3851322816俄罗斯2423273226（Ⅰ）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（Ⅱ）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为，丙猜中国代表团的概率为，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响．现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）作出两国代表团获得的金牌数的茎叶图，通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值，俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散．（Ⅱ）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值；俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散．…（Ⅱ）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，设事件A、B、C分别表示甲、乙、丙猜中国代表团，则P（X=0）=P（）P（）P（）=（1﹣）2（1﹣）=，P（X=1）==+（1﹣）2×=，P（X=2）==（）2（1﹣）+C（）（1﹣）（）=，P（X=3）=P（A）P（B）P（C）=（）2（）=，故X的分布列为：X0123P…EX==．…22.（本小题满分12分）如图，已知三棱锥的三