河南省信阳市光山县第二高级中学高三数学文下学期期末试卷含解析

河南省信阳市光山县第二高级中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图像大致是

（

）参考答案：A2.曲线y=x2+1在点（1，2）处的切线为l，则直线l上的任意点P与圆x2+y2+4x+3=0上的任意点Q之间的最近距离是(

) A．﹣1 B．﹣1 C．﹣1 D．2参考答案：A考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式．专题：导数的综合应用．分析：利用导数求出曲线y=x2+1在点（1，2）处的切线方程，化圆的一般方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离减去圆的半径得答案．解答： 解：由y=x2+1，得y′=2x，∴y′|x=1=2，∴曲线y=x2+1在点（1，2）处的切线l的方程为：y﹣2=2（x﹣1），即2x﹣y=0．又圆x2+y2+4x+3=0的标准方程为（x+2）2+y2=1．圆心坐标为（﹣2，0），半径为1，∴圆心到直线l的距离为，则直线l上的任意点P与圆x2+y2+4x+3=0上的任意点Q之间的最近距离是．故选：A．点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了点到直线的距离公式，是中档题．3.定义在R上的偶函数满足，且在上单调递增，设，，，则大小关系是（）k$s#5uＡ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：D略4.点M（2，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，则a的值为（）A． B． C．或 D．或参考答案：C【考点】抛物线的简单性质；直线与抛物线的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的准线方程，利用已知条件列出方程求解即可．【解答】解：抛物线y=ax2的标准方程为：x2=y，a＞0时，准线方程为：y=﹣，a＜0时准线方程为：y=点M（2，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，可得1+=2，解得a=，﹣﹣1=2，解得a=﹣．故选：C．【点评】本题考查抛物线方程的简单性质的应用，注意抛物线方程的标准方程的应用，是易错题．5.某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=x2 B．f（x）= C．f（x）=ex D．f（x）=sinx参考答案：D【考点】选择结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数②f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案．【解答】解：∵A：f（x）=x2、C：f（x）=ex，不是奇函数，故不满足条件①又∵B：f（x）=的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件②而D：f（x）=sinx既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，故D：f（x）=sinx符合输出的条件故选D．6.

函数的值域是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：答案:C7.已知函数是定义域为R的偶函数，且上是增函数，那么上是A.增函数

B.减函数

C.先增后减的函数

D.先减后增的函数参考答案：C由得即函数的周期为2，因为是偶函数，且在上是增函数，所以在是减函数，所以上递增，在上递减，选C.8.已知集合，，则

A．

B．

C．

D．参考答案：A9.设锐角的三内角、、所对边的边长分别为、、，且，,则的取值范围为

………（

）.．

．

．

．参考答案：A10.的外接圆圆心为,半径为2，,且,方向上的投影为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C由得，所以四边形为平行四边形。又，所以三角形为正三角形，因为外接圆的半径为2，所以四边形为边长为2的菱形。所以，所以在的投影为，选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点A，B的坐标分别为(－1,0)，(1,0)。直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之和是2，则点M的轨迹方程为

.参考答案：12.设，若则

．参考答案：，，，．考点：三角函数化简求值；倍角、半角公式；角的变换；两角和与差的三角函数13.已知实数满足，则的最大值是 ． 参考答案：7作可行域，如图，则过点A（1,5）时取最大值7

14.已知i是虚数单位，复数z满足，则z=

．参考答案：由题意可得：，则：.

15.若等比数列的各项均为正数,且,则

.参考答案：50略16.已知直线l：y=ax+1﹣a（a∈R）．若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”．下面给出四条曲线：①y=﹣2|x﹣1|②y=x2③（x﹣1）2+（y﹣1）2④x2+3y2=4其中，可以被称为直线l的“绝对曲线”的是．（请将符合题意的序号都填上）参考答案：②③④考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”，分别进行判定是否垂直a即可．解答：解：①由直线y=ax+1﹣a，可知此直线过点A（1，1），y=﹣2|x﹣1|=，如图所示，直线l与函数y=﹣2|x﹣1|的图象只能由一个交点，故不是“绝对曲线”；②y=x2与l：y=ax+1﹣a联立，解得或，此两个交点的距离=|a|，化为（a﹣2）2（1+a2）﹣a2=0，令f（a）=（a﹣2）2（1+a2）﹣a2，则f（1）=2﹣1=1＞0，f（2）=0﹣4＜0，因此函数f（a）在区间（1，2）内存在零点，即方程（a﹣2）2（1+a2）﹣a2=0，有解．故此函数的图象是“绝对曲线”；③（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是以（1，1）为圆心，1为半径的圆，此时直线l总会与此圆由两个交点，且两个交点的距离是圆的直径2，∴存在a=±2满足条件，故此函数的图象是“绝对曲线”；④把直线y=ax+1﹣a代入x2+3y2=4得（3a2+1）x2+6a（1﹣a）x+3（1﹣a）2﹣4=0，∴x1+x2=，x1x2=．若直线l被椭圆截得的弦长是|a|，则a2=（1+a2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]=（1+a2）{﹣4×}，化为﹣=0，令f（a）=，而f（1）=﹣4＜0，f（3）=﹣＞0．∴函数f（a）在区间（1，3）内有零点，即方程f（a）=0有实数根，而直线l过椭圆上的定点（1，1），当a∈（1，3）时，直线满足条件，即此函数的图象是“绝对曲线”．综上可知：能满足题意的曲线有②③④．故答案为：②③④点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的运用，属于难题．17.某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为36π，则该几何体的体积为__________．参考答案：根据几何体的三视图，得出该几何体如图所示，由该几何体的外接球的体积为，即，，则球心到底面等边得中心的距离，根据球心O与高围成的等腰三角形，可得三棱锥的高，故三棱锥的体积．即答案为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）设数列满足：①；②所有项；③．设集合，将集合中的元素的最大值记为，即是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列为数的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．(Ⅰ)若数列的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列；(Ⅱ)设，求数列的伴随数列的前30项之和；(Ⅲ)若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列的前项和．参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（III）,.试题分析：（Ⅰ）;（Ⅱ）由，得当时，当时，当时，当时，进一步计算即得.（III）首先由得当时，可得由得：由使得成立的的最大值为，得到.当时，当时分别求和即得.试题解析：（Ⅰ）；

……3分（Ⅱ）由，得当时，

……4分当时，

……5分当时，

……6分当时，

……7分∴

……8分（III）∵

∴

当时，∴

……9分由得：因为使得成立的的最大值为，所以当时：

……11分当时：

……12分所以

……13分考点：1.数列的求和；2.新定义；3.数列的通项；4.不等式恒成立问题.19.已知PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BA⊥AD，CD=AD=AP=4，AB=2．（1）求证：CD⊥平面ADP；（2）若M为线段PC上的点，当BM⊥PC时，求三棱锥B﹣APM的体积．参考答案：考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ADP⊥平面ABCD，然后利用性质定理证明CD⊥平面ADP．（2）取CD的中点F，连接BF，求得BP，所以BC=BP．在平面PCD中过点M作MQ∥DC交DP于Q，连接QB，QA，利用等体积法转化求解即可．解答：（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，PA?平面ADP，所以平面ADP⊥平面ABCD．…（2分）又因为平面ADP∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，所以CD⊥平面ADP．…（4分）（2）取CD的中点F，连接BF，在梯形ABCD中，因为CD=4，AB=2，所以BF⊥CD．又BF=AD=4，所以BC=．在△ABP中，由勾股定理求得BP=．所以BC=BP．…（7分）又知点M在线段PC上，且BM⊥PC，所以点M为PC的中点．…（9分）在平面PCD中过点M作MQ∥DC交DP于Q，连接QB，QA，则V三棱锥B﹣APM=V三棱锥M﹣APB=V三棱锥Q﹣APM=V三棱锥B﹣APQ==…（12分）点评：本题考查平面与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力转化思想的应用．20.已知，函数，（1）若直线与函数相切于同一点，求实数的值；（2）是否存在实数，使得成立，若存在，求出实数的取值集合，不存在说明理由．参考答案：解（1）设切点，，，，设切点，，

………5分（2）令，即，令，所以有两不等根，，不妨令，所以在上递减，在上递增，所以成立因为，所以所以,且令，所以在上递增，在上递减所以，又，所以代入所以

………12分略21.已知直线与椭圆相交于A、B两点．（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；（2）若向量与向量互相垂直（其中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆长轴长的最大值．参考答案：（1）（6分），2c=2，即∴则∴椭圆的方程为，将y=-x+1代入消去y得：设∴（2）（7分）设，即由，消去y得：由，整理得：又，由，得：，整理得：代入上式得：，条件适合，由此得：故长轴长的最大值为．

略22.为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量.某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都要网络报价一次，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2018年5月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的数据，统计了最近5个月参与竞拍的人数（见下表）：月份2017.122018.012018.022018.032018.04月份编号t12345竞拍人数y（万人）0.50.611.41.7（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y（万人）与月份编号t之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程：，并预