医科高等数学 第六节 二重积分

第六节二重积分一、二重积分的概念与性质二、二重积分的计算1柱体体积=底面积×高特点：平顶1.曲顶柱体的体积一、二重积分的概念与性质2曲顶柱体：以曲面z=f(x,y)为顶，

z=f(x,y)在D上连续.以平面有界区域D为底，侧面是柱面，该柱面以D为准线，母线平行于z轴.柱体体积=？特点：曲顶曲顶柱体3

求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、作和、取极限”的方法，如下动画演示4D

z

=f(x,y)yxz•(1)分割(2)近似(3)作和(4)取极限令52.平面薄片的质量

有一个平面薄片,在xOy

平面上占有区域

D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为

,则若非常数,仍可用其面密“分割，近似，求和，取极限”解决.1)“分割”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小块.62)“近似”中任取一点3)“求和”4)“取极限”则第

k小块的质量7两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“分割，近似，求和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:8存在,且此极限的取得与闭区域D的分法及点的取法无关,则称这个极限为f(x,y)在D上的二重积分，记为

定义4-7

设f(x,y)是有界闭域D上的二元连续函数，将闭区域D任意分成个小闭区域其中

表示第个小闭区域,也表示它的面积.在每个小闭区域上任意取一点

,作和式3.二重积分的定义令d表示中最大直径,若极限9积分区域积分变量积分和被积函数面积元素为积分表达式10曲顶柱体体积

注意二重积分存在,则积分值与的分法无关.因此,为了方便计算,在直角坐标系中我们用若干条平行于轴、轴的直线将分成个小区域.故二重积分可写为则面积元素为Ddydx11引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄片的质量:可以证明：若函数2.1.在D上可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D

上除去有12性质4-1

为常数时性质4-24.二重积分的性质性质4-3对区域具有可加性性质4-4

若为D的面积，则13性质4-5

若在D上则

性质4-6

设、分别是在闭区域D上的最大值和最小值，为D的面积，则特别,由于14性质4-7

（二重积分中值定理）

设函数在闭区域D上连续,为D的面积，则在D上至少存在一点,使得

证:

由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点使因此15例1.

比较下列积分的大小:其中解:

积分域D的边界为圆周它在与x轴的交点(1,0)处与直线从而而域D位于直线的上方,故在D上16例2.估计下列积分之值解:

D

的面积为由于积分性质5即:1.96

I2D171.直角坐标系下的计算

二重积分仅与被积函数及积分区域有关,为此,先介绍积分区域D.二、二重积分的计算

(1)－型区域18

的特点：平行于y轴且穿过区域的直线与区域边界的交点最多只有两个.

－型区域

(2)－型区域

的特点：平行于轴且穿过区域的直线与区域边界的交点最多只有两个.

－型区域19(3)矩型域20

－型区域下二重积分的计算:

由二重积分的几何意义，若ƒ(x,y)≥0，则

其中V为如图所示的曲顶柱体的体积.下面用微元法来求曲顶柱体的体积21

在区间上任取一点,作平行于的平面,截曲顶柱体,得到一截面,此截面的面积22

曲顶柱体在间距为的两个截面间的体积微元

由微元法可得曲顶柱体的体积故23(4)若ƒ(x,y)非正，仍然适用.

注意

(1)二重积分可化为二次积分（也叫累次积分）;(3)为方便,公式也常记为：(2)－型区域的积分次序先后;

－型区域的积分次序先后.或－型域下二重积分的计算同理:24矩形域下二重积分的计算

特别地,若,则因为对积分是常数,且是常数.所以25解法一先积再积

例4-32

计算二重积分,其中为矩形：26解法二

先积再积

27解［X－型］

例4-33

求,其中是由抛物线和所围成的区域.2829例3-34-12解（如图)将D看作Y型?按先y后x的方法如何计算呢3031

例4-35

计算,其中由直线、、所围成.

解积分区域既是－型，又是－型的.若先对,再对积分

以上积分不容易求出,因为的原函数不能用初等函数表示.32换一种积分次序计算:先对,再对积分33例4-36

交换下列二次积分的积分次序．(1)(2)解(1)按原积分的上下限,积分区域为-1更换积分次序,分为两个－型区域34因此35

(２)按原积分的上下限,积分区域由和组成更换积分次序,为－型区域因此362.在极坐标下的计算

当积分区域是圆域或圆域的一部分,被积函数为、等用极坐标表示比较简单时,常考虑利用极坐标计算二重积分.从图中可以看出所以37下面讨论面积元素在极坐标下的表示用以极点为中心的一组同心圆，从极点出发一组射线，将区域分成小区域38(1)极点O在积分区域内部39(2)极点O在积分区域边界上40(3)极点O在积分区域外部41

例4-37

计算,其中区域解故242

例4-38

计算,其中是由(的上方)及圆(的外部)和(的内部)所围成的闭区域.

解圆的极坐标方程为;圆的极坐标方程为.由两圆的交点为所以43故44

例4-39

计算，其中D:解故45例4-

40.计算其中解:

在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.46注:利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的