2019年四川省达州市中考数学试卷（解析版）

2019年四川省达州市中考数学试卷

一、单项选择题（每小题3分，共30分）

1.（3分）（2019•鄂州）-2019的绝对值是（)

・岛

A.2019B.-2019c]D

2019

【考点】15：绝对值.

【专题】511：实数.

【分析】直接利用绝对值的定义进而得出答案.

【解答】解：-2019的绝对值是：2019.

故选：A.

【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键.

2.（3分）（2019•达州）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，轴对称图形是（）

A.

C.D.

【考点】P3：轴对称图形.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】根据轴对称图形的概念进而判断求解.

【解答】解：4不是轴对称图形，故此选项不合题意;

B.不是轴对称图形，故此选项不合题意;

C、不是轴对称图形，故此选项不合题意;

。、是轴对称图形，故此选项符合题意;

故选：D.

【点评】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠,

如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形.

3.（3分）（2019•达州）下列计算正确的是（）

A.a2+fl3=a5B.«8-rtz4=a4

C.（-2ab）2=-4A24>2D.（a+b）2—a2+b2

【考点】35：合并同类项；47：嘉的乘方与积的乘方；48：同底数累的除法；4C：完全

平方公式.

【专题】512：整式.

【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幕的乘除运算法则、积的乘方运算法则分

别化简得出答案.

【解答】解：4/+/,无法计算，故此选项错误；

BAc^-T-c^—a4,故此选项正确；

C、（-2ab）2=4。2b2,故此选项错误；

D、（a+6）2=a1+2ab+b2,故此选项错误；

故选：B.

【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数累的乘除运算、积的乘方运算，正确掌

握相关运算法则是解题关键.

4.（3分）（2019•达州）如图是由7个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数

字表示该位置小立方块的个数，这个几何体的左视图是（）

【考点】U2：简单组合体的三视图；U3：由三视图判断几何体.

【专题】55F：投影与视图.

【分析】由已知条件可知，左视图有2歹!J,每列小正方形数目分别为3,1.据此可作出

判断.

【解答】解：从左面看可得到从左到右分别是3,1个正方形.

故选：C.

【点评】本题考查几何体的三视图.由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知左视

图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中

的最大数字.

5.（3分）（2019•达州）一组数据1,2,1,4的方差为（）

A.1B.1.5C.2D.2.5

【考点】W7：方差.

【专题】54：统计与概率；541：数据的收集与整理；542：统计的应用；65：数据分析

观念.

【分析】先求得这组数据平均值，再根据方差公式，计算即可

【解答】解：

平均数为彳=1+2+1+4=2

4

方差（1-2）2+（2-2）2+（1-2）2+（4-2）2]=?

42

故选：B.

【点评】此题主要考查方差的计算公式，熟记方差的计算公式：S2=LX[（XI-x）2+

n

（X2-X）2+…+（xn-1-X）2+（而-X）之]是解题的关键

6.（3分）（2019•达州）下列判断正确的是（）

A.疾-1<0.5

2

B.若次?=0,贝|〃=6=0

C.=隼

VbVb

D.3a可以表示边长为。的等边三角形的周长

【考点】2A：实数大小比较；32：列代数式；75：二次根式的乘除法.

【专题】514：二次根式.

【分析】根据实数的大小比较法则、二次根式的乘除法法则、列代数式的一般步骤判断

即可.

【解答】解：A、2<V5<3,

<1,本选项错误；

22

B、若漏=0,则a=0或6=0或a=6=0,本选项错误；

C、当a20,b>0时，、瓜=毒■成立，本选项错误；

。、3a可以表示边长为a的等边三角形的周长，本选项正确;

故选：D.

【点评】本题考查的是二次根式的乘除法、实数的大小比较、列代数式，掌握二次根式

的乘除法法则、实数的大小比较法则是解题的关键.

7.（3分）（2019•达州）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业

额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x.根据题意列方程,

则下列方程正确的是（）

A.2500（1+x）2=9100

B.2500（1+x%）2=9100

C.2500（1+无）+2500（1+x）2=9100

D.2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=9100

【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】分别表示出5月，6月的营业额进而得出等式即可.

【解答】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x.根据题意列方程得：

2500+2500（1+无）+2500（1+x）2=9100.

故选：D.

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键.

8.（3分）（2019•达州）。是不为1的有理数，我们把」一称为。的差倒数，如2的差倒数

1-a

为」^=-1,-1的差倒数一,、=L已知。1=5,。2是“1的差倒数，。3是“2的差

1-21-（-1）2

倒数，44是〃3的差倒数…，依此类推，12019的值是（）

A.5B.-工C.AD.A

435

【考点】17：倒数；37：规律型：数字的变化类.

【专题】23：新定义.

【分析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次

循环，用2019除以3,根据余数的情况确定出与。2019相同的数即可得解.

【解答】W：•「“1=5,

〃2=―--=」_=-—1j

1-a11-54

43=1_1__~4—9

1-a21-(-1)5

“4=---

1-a3T5

・・・数列以5,-1,区三个数依次不断循环,

45

720194-3=673,

.__4

••4Z2019—〃3——，

5

故选：D.

【点评】本题是对数字变化规律的考查，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环

组依次循环是解题的关键.

9.（3分）（2019•达州）如图，边长都为4的正方形4BCZ）和正三角形EFG如图放置，AB

与在一条直线上，点A与点产重合.现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度

匀速运动，当点尸与B重合时停止.在这个运动过程中，正方形ABC。和△Ef'G重叠部

分的面积S与运动时间f的函数图象大致是（）

【考点】E7：动点问题的函数图象.

【专题】53：函数及其图象.

【分析】根据题意和函数图象可以写出各段对应的函数解析式，从而可以判断哪个选项

中的图象符合题意，本题得以解决.

【解答】解：当0W/W2时，s=t，（t・tan60°）=返2,即s与，是二次函数关系,

22

有最小值（0,0）,开口向上，

当2<rW4时，s=4,(4Xsin600)_)-[(4-tAtan600]

22

//（4-t）2，即S与f是二次函数关系，开口向下,

由上可得，选项C符合题意,

故选：c.

【点评】本题考查动点问题的函数过图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合

的思想解答.

10.（3分）（2019•达州）矩形04BC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知5（2«,

2）,点A在x轴上，点C在y轴上，尸是对角线上一动点（不与原点重合），连接尸C,

过点尸作交x轴于点D下列结论：

①04=2。=26；

②当点。运动到04的中点处时，PC2+Pr>2=7；

③在运动过程中，NCDP是■个定值；

④当△OOP为等腰三角形时，点。的坐标为（竽•，0）.

其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】D5：坐标与图形性质；KH：等腰三角形的性质；LB：矩形的性质.

【专题】556：矩形菱形正方形；55D：图形的相似.

【分析】①根据矩形的性质即可得到。4=2C=2j&故①正确；

②由点。为。4的中点，得至ljOD=-1-OA=V3,根据勾股定理即可得到PC2+PD2=CD2

^OC2+OD2^22+（A/3）2=7,故②正确；

③如图，过点尸作于/，FP的延长线交BC于E,PE=a,则尸尸=所-尸£=2

-。，根据三角函数的定义得到BE=y/3PE=yj3a,求得CE=BC-BE=2M-、&=如

（2-。）,根据相似三角形的性质得到阳=4,根据三角函数的定义得到NPZ）C=60°,

V3

故③正确；

④当△0。尸为等腰三角形时，I、OD=PD,解直角三角形得到。D=YWoC=3巨，

33

II、OP=OD,根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到NOCP=105°>90°,故

不合题意舍去；III、OP=P。，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到/OCP=

105°>90°,故不合题意舍去；于是得到当△。口尸为等腰三角形时，点D的坐标为

（2小，0）.故④正确.

【解答】解：①：四边形。4BC是矩形，B（2禽,2）,

：.OA=BC=2yj3；故①正确；

②：点。为。4的中点，

：.OD=^-OA=43,

：.PC2+PD2=CD2=od+ob1=22+（V3）2=7,故②正确；

③如图，过点P作尸于REP的延长线交8C于E,

：.PE±BC,四边形。庄C是矩形，

:.EF=OC=2,

设PE=a,贝！]PF=EF-PE=2-a,

在RtZXBEP中，tanZCBO=—=—

BEBC3

：.BE=\[3PE=y[3a,

：.CE=BC-BE=243-'&=如（2-a）,

'：PD±PC,

：.ZCPE+ZFPD=90°,

；/CPE+/PCE=9Q°,

:./FPD=NECP,

:/CEP=NPFD=90°,

：./\CEP^/\PFD,

•PE=CP

,.而而‘

.a_V3（2-a）

,•而一—2^-'

:.FD=R,

V3

.•.tanZP£»C=^-=-=V3>

PD3

V3

：.ZPDC=60°,故③正确；

④,:B（2如,2）,四边形0ABe是矩形，

：.0人=2如,AB=2,

：tan/AOB=^=近，

OA3

AZAOB=30°,

当△0。尸为等腰三角形时，

I、OD=PD,

：./DOP=/DPO=30°,

AZO£）P=60°,

.-.ZODC=60°,

/.OD=^-OC=^^-,

33

II、OP=OD,

：.ZODP=ZOPD^5°,

'：ZCOD^ZCPD^90°,

：.ZOCP=105°>90°,故不合题意舍去；

IILOP=PD,

：.ZPOD^ZPDO^3Q°,

/.ZOCP=150°>90°故不合题意舍去，

...当△OO尸为等腰三角形时，点。的坐标为（2坐，0）.故④正确,

故选：D.

【点评】此题主要考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，

勾股定理，等腰三角形的性质，构造出相似三角形表示出CP和尸。是解本题的关键.

二、填空题（每小题3分，共18分）

11.（3分）（2019•达州）2018年，中国贸易进出口总额为4.62万亿美元（美国约为4.278

万亿美元），同比增长12.6%,占全球贸易总额的11.75%,贸易总额连续两年全球第一！

数据4.62万亿用科学记数法表示为462X1012.

【考点】II：科学记数法一表示较大的数.

【专题】511：实数.

【分析】科学记数法的表示形式为aXIO"的形式，其中lW|a|＜10,n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值＞10时，”是正数；当原数的绝对值＜1时，〃是负数.

【解答】解：4.62万亿=4.62X1012,

故答案为：4.62X1012

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其

中w为整数，表示时关键要正确确定。的值以及"的值.

12.（3分）（2019•达州）如图所示的电路中，当随机闭合开关Si、52、S3中的两个时，能

【专题】543：概率及其应用.

【分析】根据题意可得：随机闭合开关Si,S2,S3中的两个，有3种方法，其中有两种

能够让灯泡发光，故其概率为2.

3

【解答】解：因为随机闭合开关Si,S2,S3中的两个，有3种方法，其中有2种能够让

灯泡发光

所以尸（灯泡发光）=2.

3

故本题答案为：2.

3

【点评】本题考查的是概率的求法.如果一个事件有〃种可能，而且这些事件的可能性

相同，其中事件A出现机种结果，那么事件A的概率P（A）=叫.

n

13.（3分）（2019•达州）如图所示，点C位于点A、5之间（不与A、3重合），点。表示

1-2x,则x的取值范围是.

-1

AC区、

12

【考点】13：数轴；CB：解一元一次不等式组.

【专题】11：计算题；524：一元一次不等式（组）及应用.

【分析】根据题意列出不等式组，求出解集即可确定出x的范围.

【解答】解：根据题意得：l<l-2x<2,

解得：--<x<0,

2

则x的范围是-L<X<O,

2

故答案为：-L<x<0

2

【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关

键.

14.（3分）（2019•达州）如图，nABCQ的对角线AC、8。相交于点。，点E是AB的中点,

△2E。的周长是8,则△BCD的周长为16.

【考点】KX：三角形中位线定理；L5：平行四边形的性质.

【专题】555：多边形与平行四边形.

【分析】根据平行四边形的性质可得2。=。。=A。，进而可得OE是aABC的中位线,

2

由三角形中位线定理得出8C=2OE,再根据平行四边形的性质可得AB=。，从而可得

△BCD的周长=的周长X2.

【解答】解：的对角线AC、相交于点。，

：.BO=DO=^-BD,BD=2OB,

2

：.0为BD中点，

:点E是AB的中点，

：.AB^2BE,BC=2OE,

:四边形ABC。是平行四边形，

：.AB=CD,

：.CD=2BE.

■:ABEO的周长为8,

：.OB+OE+BE=S,

；.BD+BC+CD=2OB+2OE+2BE=2(OB+OE+BE)=16,

j△BCD的周长是16,

故答案为16.

【点评】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理以及线段中点的定义.关键

是掌握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边平行且相等.②角：平行四边形的

对角相等；③对角线：平行四边形的对角线互相平分.

15.（3分）（2019•达州）如图，A、8两点在反比例函数y=旦的图象上，C、。两点在反

X

kn

比例函数＞=上的图象上，AC_Lx轴于点E,轴于点RAC=2,BD=4,EF=3,

x

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征.

【专题】36：整体思想；534：反比例函数及其应用.

【分析】设出A（a,2L）,C（a,旦），B（b,—D（b,丝），由坐标转化线段

aabb

长，从而可求出结果等于4.

【解答】解：设A（a,匕），C（a,丝），B⑶旦），D（b,丝），贝!|

aabb

koki

C4=-=2,

aa

得淮士

2

「eki-k4口ki-k

同理：BD=----9-=4，得6=----2-

b4

又,：a-b=3

kkkk

,2-l,l_2-3

2~~4~

解得:fo-h=4

【点评】本题考查反比例函数上点的坐标关系，根据坐标转化线段长是解题关键.

16.（3分）（2019•达州）如图，抛物线y=-/+2x+m+l（m为常数）交y轴于点A,与x

轴的一个交点在2和3之间，顶点为8.

①抛物线>=-jr+2x+m+\与直线>=m+2有且只有一个交点；

②若点M（-2,竺）、点N（5,>2）、点尸（2,”）在该函数图象上，则yi<”<y3；

③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y=-（尤+1）

2

+m；

④点A关于直线x=l的对称点为C,点。、E分别在x轴和y轴上，当机=1时，四边

形BCAE周长的最小值为悯+我.

其中正确判断的序号是①③⑷.

【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象

上点的坐标特征；H6：二次函数图象与几何变换；HA：抛物线与x轴的交点；PA：轴

对称-最短路线问题.

【专题】535：二次函数图象及其性质.

【分析】①把y=〃?+2代入y=-7+2%+根+1中，判断所得一元二次方程的根的情况便可

得判断正确；

②根据二次函数的性质进行判断；

③根据平移的公式求出平移后的解析式便可；

④因8c边一定，只要其他三边和最小便可，作点B关于y轴的对称点次，作C点关

于x轴的对称点C，,连接/C,与x轴、y轴分别交于。、E点,求出/C便是

其他三边和的最小值.

【解答】解：①把y=m+2代入y=-x?+2x+机+1中，得工2-2%+1=0,'."△=4-4=0,

此方程两个相等的实数根，则抛物线y=-f+2x+机+1与直线y=m+2有且只有一个交

点，故此小题结论正确；

②•..抛物线的对称轴为x=l,...点尸(2,*)关于x=l的对称点为P'(0,j3),Vfl

=-1<0,...当x<l时，y随x增大而减小，又：-2<0<去，点M(-2,yi)、点N

(方，”)、点尸'(0,”)在该函数图象上，，y2<y3<yi,故此小题结论错误；

③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y=-(x+2)

〜+2(x+2)x+m+l-2,即y=-(x+1)"+m,故此小题结论正确；

④当机=1时，抛物线的解析式为：y=-/+2x+2,(0,2),C(2,2),B(1,3),

作点8关于y轴的对称点3'(-1,3),作C点关于无轴的对称点C'(2,-2),连

接8'C',与x轴、y轴分别交于。、E点、,如图，

贝U8E+EO+CQ+BC=8'E+ED+CD+BC=B'C+BC,/艮据两点之间线段最短，知8’

C最短，而BC的长度一定，，此时，四边形BCDE周长=8,C+BC最小，为：

2222222

VB'M2+C'M+7BM+CM=V3+5+V1+1=V34+V2,故此小题结论正确；

故答案为：①③④.

【点评】本题考查二次函数的应用、二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、

求线段和的最小值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题

中的压轴题.

三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤(共72分)

17.(5分)(2019•达州)计算：(TT-3.14)°-林)山+牛而我.

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数塞；6F：负整数指数累.

【专题】511：实数.

【分析】直接利用零指数塞的性质以及负指数哥的性质和立方根的性质分别化简得出答

案.

【解答】解：原式=1-4+3-2A/2

=-272.

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

18.（7分）（2019•达州）先化简：（一手―-二^—）+生三，再选取一个适当的尤的

x+2xx+4x+4x

值代入求值.

【考点】6D：分式的化简求值.

【专题】11：计算题；513：分式.

【分析】先对括号里的分式进行整理，-4=g-二尸，—二x-i两式

222

X+2XX（X+2）X+4X+4（x+2）

相减进行通分即可进行化简，再代入适当的值即可.

【解答】解:

化简得,

原式=「x-2x-11二匕

'x(x+2)(x+2产•x

=[(x+2)(x-2)x(x-l)]x、x

x(x+2)2X(X+2)24-X

1

(x+2)2

取尤=1得，原式=--------—=1

(1+2)29

【点评】此题主要考查分式的化简求值，掌握运用分式的通分技巧及分解因式是解题的

关键.

19.（7分）（2019•达州）随机抽取某小吃店一周的营业额（单位：元）如下表:

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合计

540680640640780111010705460

（1）分析数据，填空：这组数据的平均数是780元,中位数是680元,众数是640

兀.

（2）估计一个月的营业额（按30天计算）：

①星期一到星期五营业额相差不大，用这5天的平均数估算合适么?

答（填“合适”或“不合适”）：不合适.

②选择一个你认为最合适的数据估算这个小吃店一个月的营业额.

【考点】W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数.

【专题】542：统计的应用.

【分析】（1）根据平均数的定义、中位数的定义、众数的定义进行解答即可；

（2）①从极端值对平均数的影响作出判断即可；

②可用该店本周一到周日的日均营业额估计当月营业额.

【解答】解：（1）这组数据的平均数=四处=780（元）；

7

按照从小到大排列为540、640、640、680、780、1070、1110,

中位数为680元，众数为640元；

故答案为：780,680,640；

（2）①因为在周一至周日的营业额中周六、日的营业额明显高于其他五天的营业额，

所以去掉周六、日的营业额对平均数的影响较大，

故用该店本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额不合适；

故答案为：不合适；

②用该店本周一到周日的日均营业额估计当月营业额，

当月的营业额为30X780=23400（元）.

【点评】本题主要考查了众数、平均数、中位数及样本估计总体，解题的关键是掌握算

术平均数的定义与样本估计总体思想的运用.

20.（7分）（2019•达州）如图，在中，ZACB=90°,AC=2,8C=3.

（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹.

①作/AC8的平分线，交斜边AB于点D-,

②过点。作BC的垂线，垂足为点E

（2）在（1）作出的图形中，求。E的长.

【考点】KQ：勾股定理；N3：作图一复杂作图.

【专题】13：作图题.

【分析】（1）利用基本作图，先画出平分NAC8,然后作。于E；

（2）利用CD平分得到N8CO=45°,再判断为等腰直角三角形，所以

DE=CE,然后证明△BDES^YBAC,从而利用相似比计算出。E.

【解答】解：(1)如图，为所作；

(2)平分/AC8,

AZBCD=^ZACB=45°,

2

■:DELBC,

...AC£>£为等腰直角三角形，

:.DE=CE,

'.'DE//AC,

:.ABDEsABAC,

・DE_BE即DE=3-DE

••而一而‘~T~3

：.DE=^~.

5

【点评】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，

一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图

形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

21.(7分)(2019•达州)端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子.节前，按标价

购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个.这种

粽子的标价是多少？

【考点】B7：分式方程的应用.

【专题】34：方程思想；522：分式方程及应用.

【分析】设这种粽子的标价是x元/个，则节后的价格是0.6x元/个，根据数量=总价+单

价结合两次一共购买了27个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论.

【解答】解：设这种粽子的标价是x元/个，则节后的价格是0.6尤元/个，

依题意，得：箜+&_=27,

x0.6x

解得：％=8,

经检验，x=8是原方程的解，且符合题意.

答：这种粽子的标价是8元/个.

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

22.（8分）（2019•达州）如图，是△ABC的外接圆，NA4c的平分线交。。于点£）,

交BC于点E,过点。作直线。尸〃8C.

（1）判断直线。尸与。。的位置关系，并说明理由；

（2）若A2=6,AE=-我,WZ,求的长.

蓬

55

FD

【考点】MA：三角形的外接圆与外心；MB：直线与圆的位置关系.

【专题】55A：与圆有关的位置关系.

【分析】（1）连接。口，根据角平分线的定义得到//MO=NC4。，求得而=而，根据

垂径定理得到OOJ_8C,根据平行线的性质得到。。，。凡于是得到。E与。。相切；

（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.

【解答】解：（1）。尸与。。相切，

理由：连接O。，

•/ZBAC的平分线交。。于点D,

；.NBAD=NCAD,

BD=CD,

：.OD±BC,

,JDF//BC,

：.OD±DF,

...DF与O。相切；

（2）'：ZBAD=ZCAD,ZADB=ZC,

：.AABDsAAEC,

.ABBD

"AE^CE'

.6_BD

*1273~4A/7

5""S-

2V21

3

【点评】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，相似三角形的性质和判定、等腰三角

形的性质、切线的判定，证得是解题的关键.

23.（8分）（2019•达州）渠县^人谷是国家4444级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古

^古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸

天犬”，昂首向天，望穿古今.一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”

上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形A8CD想法测出了尾部C

看头顶8的仰角为40°,从前脚落地点。看上嘴尖A的仰角刚好60°,CB=5m,CD

=2.7相.景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3也于是，他们很快就算出了

AB的长.你也算算？（结果精确到0.1租.参考数据：sin40°^0.64,cos40°^0.77,tan40°

^0.84.72^1.41,75Pl.73）

【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】作BFLCE于兄根据正弦的定义求出利用余弦的定义求出CH利用正

切的定义求出结合图形计算即可.

【解答】解：作于F

在RtZ\BFC中，BF^BC*sinZBCF^3.2Q,

CF=BC'cosZBCF^3.85,

在Rt^AOE中，DE=————=£=«勺1.73,

tanZADE近

:.BH=BF-H尸=0.20,AH=EF=CD+DE-C尸=0.58,

由勾股定理得，j12_)_^j12;:«0.6(tn),

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟

记锐角三角函数的定义是解题的关键.

24.（11分）（2019•达州）箭头四角形

模型规律

如图1,延长C。交AB于点。，则N2OC=N1+NB=/A+NC+/B.

因为凹四边形A80C形似箭头，其四角具有这个规律，所以

我们把这个模型叫做“箭头四角形”.

模型应用

（1）直接应用：①如图2,ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=2a.

②如图3,NABE、/ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点孔已知/8£C=

120°,ZBAC=50°,则NBPC=85°.

③如图4,BOi、COi分别为N43。、NAC。的2019等分线（i=l,2,3,…，2017,

2018）.它们的交点从上到下依次为。、02、。3、…、O2018.已知N80C=M,ABAC

(1000,*1019

=n°则NBOioooC=M）度.

~2019~2019

（2）拓展应用：如图5,在四边形ABCD中，BC=CD,NBCD=2NBAD.。是四边形

ABC。内一点，且。4=02=。。.求证：四边形02。是菱形.

AE

2.D

【考点】LO：四边形综合题.

【专题】152：几何综合题；555：多边形与平行四边形；556：矩形菱形正方形；67：

推理能力.

【分析】(1)①由NA+/3+NC=/B0C=a,/。+/£+/尸=Nr)OE=a可得答案；

@^ZBEC=ZEBF+ZECF+ZF,ZF=ZABF+ZACF+ZAS.ZEBF=ZABF,ZECF

=/ACP知NA+NR从而得NP=，BEC+/A,代入计算可得；

2

③由N20C=NOBOiooo+NOCOiooo+/BOioooC=^H-(ZABO+ZACO)+ZBO1000C,

ZBOioooC=ZABOiooo+ZACOiooo+ZBAC=l^-(ZABO+ZACO)+ZBAC知ZABO+

2019

ZACO=2019(ZBOWOOC_ZBAC),^AZBOC=l^-(ZABO+ZACO)+ZBOioooC

10002019

得(ZBO1000C-ABAC}+ZBO1000C,据此得出/BOioooC=

20191000

里曳(ZBOC+^^-ZBAC)=1000ZBOC+lUlyZBAC)代入可得答案；

2019100020192019

(2)由/0A8=N08A,/OAO=/OZM知/8。。=/BAO+/A8O+NAOO=2N8A。，

结合NBCD=2NBAD得NBCD=/BOD,连接。C,根据全等三角形的判定和性质以及

菱形的判定解答即可.

【解答】解：(1)①如图2,

图2

在凹四边形A80C中，ZA+ZB+ZC=ZBOC=a,

在凹四边形。。£/中，ZD+ZE+ZF=ZDOE^a,

：.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=2a；

②如图3,

C

ZBEC=ZEBF+ZECF+ZF,ZF=ZABF+ZACF+ZA,S.ZEBF=ZABF,ZECF

=ZACF,

：.ZBEC=ZF-ZA+ZF,

•/p=/BEC+NA

,•一2，

VZBEC=120°,ZBAC=50°,

：.ZF=S5°；

③如图3,

由题意知NA30iooo=^^NA8。，ZOBOiooo^^^-ZABO,

20192019

ZACOiooo=^^-ZACO,ZOCOiooo^^^-ZACO,

20192019

AZBOC=ZOBOiooo+ZOCOiooo+ZBOioooC=l^-(ZABO+ZACO)+ZBO1000C,

2019

ZBOioooC=ZABOiooo+ZACOiooo+ZBAC=l^-CZABO+ZACO)+ZBAC,

2019

则(ZBO1000C-/BAC),

1000

代入/BOC=岂吧-(ZABO+ZACO)+/8O1000C得/3(兀=电曳*迎旦(ZBOwooC

201920191000

-ZBAC)+ZBO1000C,

解得：ZBOioooC=l^-(ZBOC+l^-ZBAC)=I^LZBOC+^^-ZBAC,

2019100020192019

■:NBOC=m°,ZBAC^n,

/20ioooC=-l*翳。

2019

故答案为：①2a；②85。；③("空加十四女〃)；

20192019

(2)如图5,连接OC,

图5

•：OA=OB=OD,

：.ZOAB=ZOBA,ZOAD=ZODA,

：.ZBOD=ZBAD+ZABO+ZADO=2ZBAD,

・：NBCD=2/BAD,

：・/BCD=/BOD,

•；BC=CD,OA=OB=OD,OC是公共边，

:•△OBC"AODC(SSS),

:・/BOC=NDOC,/BCO=NDCO,

ZBOD=/BOC+/DOC,ZBCD=/BCO+/DCO,

：.NBOC=L/BOD,/BCO=L/BCD,

22

又/BOD=/BCD,

：.ZBOC=ZBCO,

:,BO=BC,

XOB=OD,BC=CD,

：.OB=BC=CD=DO,

...四边形。BC。是菱形.

【点评】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握“箭头四角形”的性质/

8OC=NA+NB+/C及其运用，全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识点.

25.（12分）（2019•达州）如图1,已知抛物线y=-/+fet+c过点A（1,0）,2（-3,0）.

（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；

（2）设点。是x轴上一点，当tan（ZCAO+ZCDO）=4时，求点。的坐标；

（3）如图2.抛物线与y轴交于点E,点、P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA

交BE于点M,交y轴于点N,4BMP和的面积分别为加、n,求机-〃的最大值.

【专题】15：综合题.

【分析】（1）利用待定系数法，将A,B的坐标代入y=-7+fec+c即可求得二次函数的

解析式；

（2）设抛物线对称轴与x轴交于点X,在RtZXCH。中，可求得tan/C08=4,推出/

ACO^ZCDO,WAAOC^AAC£）,利用相似三角形的性质可求出AD的长度，进一

步可求出点D的坐标，由对称性可直接求出另一种情况；

（3）设尸（。，-cr-2a+3）,P（a,-a2-2a+3）,A（1,0）代入y=fcc+6,求出直线

B4的解析式，求出点N的坐标，由-S四边形BAWO-SAAON,SAEMN—S^EBO

-S四边形BAWO,可推出S&BPM-S&EMN=S&BPA-S^EBO-S&AON,再用含a的代数式表示

出来，最终可用函数的思想来求出其最大值.

【解答】解：（1）由题意把点（1,0）,（-3,0）代入y=-/+6x+c,

得，尸+b+cR,

l-9-3b+c=0

解得b=-2,c=3,

.•.y=-J?-2x+3

=-(x+1)2+4,

此抛物线解析式为：y=-/-2x+3,顶点C的坐标为(-1,4)；

(2):抛物线顶点C(-1,4),

抛物线对称轴为直线尤=-1,

设抛物线对称轴与x轴交于点H,

则X(-1,0),

在RtZ\C”。中，CH=4,OH=1,

.,.tan/COH=里=4,

OH

ZCOH^ZCAO+ZACO,

.•.当NACO=NC£)。时，

tan(ZCAO+ZCDO)=tan/COH=4,

如图1,当点。在对称轴左侧时，

VZACO=ZCDO,ZCAO=ZCAO,

：.AAOC^AACD,

.AC=AO

"AD而’

•/AC=5y^H2+AH2=2^5>AO=\,

.2A/5_1

"AD2A/5'

：.AD=2Q,

.,.(?£)=19,

：.D(-19,0)；

当点。在对称轴右侧时，点D关于直线x=l的对称点。的坐标为(17,0),

.•.点。的坐标为(-19,0)或(17,0)；

(3)设尸(a,-a2-2cz+3),

将P(a,-A2-2A+3),A(1,0)代入y=fcc+b,

’2

得，<ak+b=-a-2a+3,

'[k+b=O

解得，k=-a-3,b=a+3,

yPA—(-a-3)x+a+3,

当％=0时,y=〃+3,

：.N(0,〃+3),

如图2,

,**S^\BPM=S/\BFA-S四边形BMNO-SAAON,S/\EMN=SAEBO-S四边形31WO,

SABPM-S丛EMN

=SAB弘-S^EBO-SAAON

=LX4X(-(Z2-2a+3)-1-X3X3--XIX(a+3)

222

-2a2-冤

2

-2(iZ+—)2+骂,

832

由二次函数的性质知，当a=-旦时,

SABPM-S^EMN有最大值

8