2019年四川省眉山市中考数学试卷（解析版）

2019年四川省眉山市中考数学试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每个小题给出的四个选项中，

只有一项是正确的,请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑。

1.（3分）（2019•眉山）下列四个数中，是负数的是（）

A.|-3|B.-（-3）C.（-3）2D.-V3

【考点】14：相反数；15：绝对值；27：实数.

【专题】511：实数.

【分析】根据小于0的是负数即可求解.

【解答】解：|-3|=3,-（-3）=3,（-3）2=9,

四个数中，负数是

故选：D.

【点评】此题主要考查了正数和负数，判断一个数是正数还是负数，关键是看它比0大

还是比0小.

2.（3分）（2019•眉山）中国华为麒麟985处理器是采用7纳米制程工艺的手机芯片，在指

甲盖大小的尺寸上塞进了120亿个晶体管，是世界上最先进的具有人工智能的手机处理

器，将120亿个用科学记数法表示为（）

A.1.2X109个B.12X109个C.1.2义1。10个D.1.2X10”个

【考点】1J：科学记数法一表示较小的数.

【专题】511：实数.

【分析】科学记数法的表示形式为aX10n的形式，其中1W间＜10,n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值＞10时，”是正数；当原数的绝对值＜1时，”是负数.

【解答】解：120亿个用科学记数法可表示为：1.2X1010个.

故选：C.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为。义10"的形式，其

中lW|a|＜10,〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及"的值.

3.（3分）（2019•眉山）如图是由6个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是

()

D.fc

B.c.

【考点】U2：简单组合体的三视图.

【专题】55F：投影与视图.

【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的

图象是俯视图.

【解答】解：左视图有2层3歹U,第一层有3个正方形，第二层有一个正方形；每列上

正方形的分布从左到右分别是2,1,1个.

故选：D.

【点评】此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向.属于基础题，中考

常考题型.

4.(3分)(2019•眉山)下列运算正确的是()

A.2x2j+3xy=5x3y2B.(-2a廿)3=-6/户

C.(3a+b)2=9/+序D.(3a+b)(3a-b)=9a2-b2

【考点】35：合并同类项；47：幕的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式；4F：平方差

公式.

【专题】512：整式.

【分析】分别根据合并同类项的法则、积的乘方，完全平方公式以及平方差公式化简即

可.

【解答】解：A.2x2y和3孙不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；

B.(-2/)3=-8a%3故选项18不合题意；

C.(3a+6)2=9a2+6ab+b2,故选项C不合题意；

D.(3a+6)(3a-6)—9a2-b1,故选项。符合题意.

故选：D.

【点评】本题主要考查了合并同类项的法则、幕的运算性质以及乘法公式，熟练掌握相

关公式是解答本题的关键.

5.（3分）（2019•眉山）如图，在△ABC中，平分/BAC交BC于点。，ZB=30°,Z

AZ）C=70°,则NC的度数是（）

【考点】K7：三角形内角和定理；K8：三角形的外角性质.

【专题】552：三角形；67：推理能力.

【分析】由N8=30°,NAOC=70°,利用外角的性质求出NBA。，再利用AD平分/

BAC,求出/BAC,再利用三角形的内角和，即可求出/C的度数.

【解答】解：：NB=30°,ZADC=70°

：.ZBAD=ZADC-ZB=70°-30°=40°

（平分4BAC

：.ZBAC=2ZBAD=80°

.\ZC=180°-ZB-ZBAC=180°-30°-80°=70°

故选：C.

【点评】本题考查了三角形的外角性质定理，角平分线的定义以及三角形的内角和定理,

本题较为综合，但难度不大.

6.（3分）（2019•眉山）函数y=近返中自变量x的取值范围是（）

x-1

A.尤2-2且尤B.x2-2C.XTMD.-2W尤＜1

【考点】E4：函数自变量的取值范围.

【专题】524：一元一次不等式（组）及应用；532：函数及其图像.

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0,分母不等于0,就可

以求解.

【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x+220且x-IWO,

解得:尤＞-2且x#l.

故选：A.

【点评】本题考查的知识点为:分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数.自

变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义：①当表达式的分母不含有自变量

时，自变量取全体实数.例如y=2x+13中的x.②当表达式的分母中含有自变量时，自

变量取值要使分母不为零.例如y=x+2尤-1.③当函数的表达式是偶次根式时，自变量

的取值范围必须使被开方数不小于零.④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值

除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义.

7.（3分）（2019•眉山）化简Q-也3）+立也的结果是（）

aa

A.a-bB.a+bC.D.—

a-ba+b

【考点】6C：分式的混合运算.

【专题】513：分式.

【分析】直接将括号里面通分，进而分解因式，再利用分式的除法运算法则计算得出答

案.

2,2

【解答】解：原式=9二b

aa-b

=（a+b）（a-b）二a

aa-b

—a+b.

故选：B.

【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确进行通分运算是解题关键.

8.（3分）（2019•眉山）某班七个兴趣小组人数如下：5,6,6,尤，7,8,9,已知这组数

据的平均数是7,则这组数据的中位数是（）

A.6B.6.5C.7D.8

【考点】W1：算术平均数；W4：中位数.

【专题】541：数据的收集与整理.

【分析】直接利用已知求出x的值，再利用中位数求法得出答案.

【解答】解：:S,6,6,x,7,8,9,这组数据的平均数是7,

；.x=7X7-C5+6+6+7+8+9）=8,

这组数据从小到大排列为：5,6,6,7,8,8,9

则最中间为7,即这组数据的中位数是7.

故选：C.

【点评】此题主要考查了中位数，正确得出x的值是解题关键.

9.(3分)(2019•眉山)如图，一束光线从点A(4,4)出发，经y轴上的点C反射后经过

点2(1,0),则点C的坐标是()

25

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；P6：坐标与图形变化-对称.

【专题】533：一次函数及其应用；66：运算能力.

【分析】延长AC交尤轴于点利用反射定律，推出等角，再证△<%>£>g△COB(ASA),

已知点B坐标，从而得点。坐标，利用A,。两点坐标，求出直线的解析式，从而

可求得点C坐标.

:这束光线从点A(4,4)出发，经y轴上的点C反射后经过点B(1,0),

.•.设C(0,c),由反射定律可知，

Z1=ZOCD

；.NOCB=/OCD

：CO_LDB于O

J.ZCOD^ZBOC

.•.在△CO。和△COB中

'NOCD=/OCB

<oc=oc

kZCOD=ZCOB

:ACOD经MCOB(ASA)

.•.。£)=。2=1

：.D(-1,0)

设直线A。的解析式为y=kt+6,则将点A（4,4）,点。（-1,0）代入得

4=4k+b

0=-k+b

直线4。为＞=]

...点C坐标为（0,&）.

5

故选：B.

【点评】本题考查了反射定律、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析

式等知识点，综合性较强，难度略大.

10.（3分）（2019•眉山）如图，。。的直径AB垂直于弦。，垂足是点E,/C4O=22.5°,

OC=6,则CD的长为（）

A.6^2B.3-72C.6D.12

【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理.

【专题】55C：与圆有关的计算.

【分析】先根据垂径定理得到CE=DE,再根据圆周角定理得到/BOC=2NA=45°,

则△OCE为等腰直角三角形，所以CE=^OC=3\巧，从而得到C。的长.

【解答】I?：-CDLAB,

：.CE=DE,

VZBOC^2ZA=2X22.5°=45

，△OCE为等腰直角三角形，

.•.。£=返"=返义6=3芯,

22

.•.CZ)=2CE=6加.

故选：A.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了垂径定理.

11.(3分)(2019•眉山)如图，在矩形ABC。中，AB=6,BC=8,过对角线交点。作EF

A.1B.2C.2D.空

45

【考点】KG：线段垂直平分线的性质；KQ：勾股定理；LB：矩形的性质.

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；556：矩形菱形正方形.

【分析】连接CE,由矩形的性质得出NADC=90°,C£)=AB=6,AO=BC=8,。4=

OC,由线段垂直平分线的性质得出AE=CE,设。E=x,贝!JCE=AE=8-x,在RtZXCDE

中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

【解答】解：连接CE,如图所示：

•.,四边形A8CY)是矩形，

/.ZAZ)C=90°,CD=AB=6,AD=BC=S,OA=OC,

'：EF±AC,

：.AE=CE,

设DE=x,则CE=AE=S-x,

在RtZXC。石中，由勾股定理得：X2+62=(8-x)2,

解得：x=—,

4

即DE=1；

4

故选：B.

【点评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的

性质，由勾股定理得出方程是解题的关键.

12.（3分）（2019•眉山）如图，在菱形ABCZ）中，已知AB=4,ZABC=60°,ZEAF=

60°,点E在的延长线上，点尸在。C的延长线上，有下列结论:

①BE=CF；@ZEAB=ZCEF；③△ABEs^EFC；④若/BAE=15°,贝!）点尸至lj8C

的距离为2^3-2.

C.3个D.4个

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KM：等边三角形的判定与性质；L8：菱形的

性质；S9：相似三角形的判定与性质.

【专题】14：证明题.

【分析】①只要证明△A4E之尸即可判断；

②根据等边三角形的性质以及三角形外角的性质即可判断；

③根据相似三角形的判定方法即可判断；

④求得点F到BC的距离即可判断.

【解答】解：：四边形A8CD是菱形，

：.AB=BC,ZACB=ZACD,

'：ZBAC^ZEAF=60°,

：.ZBAE=ZCAF,ZkABC是等边三角形,

AZABC^ZACB=60°,

AZACD=ZACB=60a,

/ABE=ZACF,

在△BAE和△CAE中，

'NBAE=/CAF

<AB=AC，

、/ABE=/ACF

：.ABAE^/\CAF(SAS),

：.AE=AF,BE=CF.故①正确；

VZ£AF=60°,

...△AEP是等边三角形，

AZA£F=60°,

•?ZAEB+ZCEF=ZAEB+ZEAB=60°,

:./EAB=NCEF,故②正确；

VZACD=ZACB=60°,

Z£CF=60°,

VZAEB<60°,

.,.△ABE和不会相似，故③不正确；

过点A作AG±BC于点G,过点F作FHLEC于点H,

,：ZEAB=15°,ZABC=6Q°,

AZA£B=45°,

在RtZiAGB中，VZABC=60°,AB=4,

：.BG=2,AG=2-/3,

在RtZ\AEG中，：NAEG=/EAG=45°,

：.AG=GE=2-/3,

；.EB=EG-BG=2M-2,

•/AAEB咨AAFC,

：.ZABE^ZACF^12.0°,EB=CF=2如-2,

：.ZFCE=6Q°,

在RtZ\C班'中，VZCFH=30°,。尸=2畲-2,

:.CH=M-1.

:.FH=如(夷-1)=3-a.

点F到BC的距离为3-\打，故④不正确.

综上，正确结论的个数是2个,

故选：B.

D

【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定

和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于

中考压轴题.

二、填空题:本大题共6个小题，每小题3分，共18分，请将正确答案直接填在答题卡相应的位

置上.

13.(3分)(2019•眉山)分解因式：3a3-6c^+3a=3a(a-I)2.

【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用.

【分析】先提取公因式3a,再根据完全平方公式进行二次分解.完全平方公式:cr-2ab+b2

—(a-b)2.

【解答】解：3常-6a^+3a—3a-2a+l)—3a(a-1)4

故答案为：3a(a-1)2.

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进

行二次分解，注意分解要彻底.

14.(3分)(2019•眉山)设。、6是方程7+x-2019=0的两个实数根，则(a-1)(b-1)

的值为-2017.

【考点】AB：根与系数的关系.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】根据根与系数的关系可得出。+6=-1,ab=-2019,将其代入(a-1)(6-1)

=ab-(a+b)+1中即可得出结论.

【解答】解：：小。是方程7+尤-2019=0的两个实数根，

a+b=-1,ab=-2019,

・•・(a-1)(b-1)=ab-(tz+Z?)+1=-2019+1+1=-2017.

故答案为：-2017.

【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-巨，两根之积等于义”是

aa

解题的关键.

15.（3分）（2019•眉山）已知关于x,y的方程组卜+2v=kT的解满足x+y=5,则/的值

（2x+y=5k+4

为2.

【考点】97：二元一次方程组的解.

【专题】521：一次方程（组）及应用.

【分析】首先解方程组，利用左表示出x、y的值，然后代入x+y=5,即可得到一个关于

左的方程，求得上的值.

【解答】解：卜电士吗

12x+y=5k+4②

②X2-①，得3x=9A+9,解得x=3/+3,

把x=34+3代入①，^3k+3+2y=k-1,解得尸-八2,

"."x+y=5,

：.3k+3-k-2=5,

解得k=2.

故答案为：2

【点评】此题主要考查了二元一次方程组解的定义.以及解二元一次方程组的基本方

法.正确解关于x、y的方程组是关键.

16.（3分）（2019•眉山）如图，在RtAABC中，ZB=90°,AB=5,BC=12,WAABC

绕点A逆时针旋转得到△ADE,使得点D落在AC上，则tan/ECD的值为

【考点】R2：旋转的性质；T7：解直角三角形.

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】在Rt^ABC中，由勾股定理可得AC=13.根据旋转性质可得AE=13,A£）=5,

DE=12,所以CD=8.在RtACED中根据tan/EC£>=些计算结果.

DC

【解答】解：在中，由勾股定理可得AC=13.

根据旋转性质可得AE=13,AD=5,DE=12,

：.CD=S.

在Rt/XCED中，tan/ECD=^=丝金.

DC82

故答案为

2

【点评】本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，难度较小，求出所求三角函数

值的直角三角形的对应边长度，根据线段比就可解决问题.

17.（3分）（2019•眉山）如图，在RtAAOB中，OA=OB=4®QO的半径为2,点P

是A8边上的动点，过点P作。O的一条切线尸。（点。为切点），则线段尸。长的最小

值为，亚

【考点】KW：等腰直角三角形；MC：切线的性质.

【专题】55A：与圆有关的位置关系.

22

【分析】首先连接。。，根据勾股定理知PQ=OP-可得当OP±AB时，即线段

P。最短，然后由勾股定理即可求得答案.

【解答】解：连接OQ.

是。。的切线，

：.OQ±PQ；

根据勾股定理知「。2=。尸2_。°2,

当尸0LA8时，线段PQ最短，

:在中，0A=。8=4加,

：.AB=y[^OA=8,

尸=OA-°B=%

AB

二尸0=40p2Q2=2«.

故答案为2y.

Q

【点评】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理.此题难度适中,

注意掌握辅助线的作法，注意得到当时，线段PQ最短是关键.

18.（3分）（2019•眉山）如图，反比例函数y=K（x>0）的图象经过矩形04BC对角线的

交点M,分别交AB,8c于点。、E.若四边形OOBE的面积为12,则目的值为4

【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义.

【分析】本题可从反比例函数图象上的点E、M.D入手，分别找出△OCE、△04。、

口。48c的面积与网的关系，列出等式求出上值.

【解答】解：由题意得：E、M、。位于反比例函数图象上，则SAOCE=—|^|,SZ\0AD=&M，

22

过点M作MGLy轴于点G,作MNLx轴于点N,则S口0NMG^\k\,

又为矩形A8C。对角线的交点，贝US矩形A8CO=4SnsvMG=4|川，

由于函数图象在第一象限，

...左>0,则k+K+12=4Z,

22

・•・左=4.

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条

坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于因.本知识点是中考的重要考点，同学

们应高度关注.

三、解答题:本大题共6个小题，共46分.请把解答过程写在答题卡相应的位置上.

19.（6分）（2019•眉山）计算：（-1）匕一（4--/3）°+6sin45°-V18.

3

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幕；6F：负整数指数幕；T5：特殊角的三角函数

值.

【专题】511：实数.

【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数塞的性质、负指数幕的性质分别化简得出

答案.

【解答】解：原式=9-1+6义区-3点

2

=9-1+3A/2-372

=8.

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

(2x+7>5(x-l)

20.（6分）（2019•眉山）解不等式组：.3x*

【考点】CB：解一元一次不等式组.

【专题】524：一元一次不等式（组）及应用.

【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集.

2x+7>5（xT）①

【解答】解：q、X-5台，

解①得：后4,

解②得x>-1,

则不等式组的解集为-1<%W4.

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，根据大大取大，小小取小，比大的小比小的

大取中间，比大的大比小的小无解的原贝IJ,

21.（8分）（2019•眉山）如图，在四边形A8C。中，A8〃QC,点E是C。的中点，AE=

BE.求证：/D=/C.

DE

【考点】KD：全等三角形的判定与性质.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线；553：图形的全等；554：等腰三角形与直角

三角形.

【分析】由等腰三角形的性质和平行线的性质证出由SAS证明△AOE

%ABCE,即可得出结论.

【解答】证明：

：.ZEAB=ZEBA,

'."AB//DC,

：./DEA=ZEAB,ZCEB=ZEBA,

：.ZDEA=ZCEB,

:点E是CD的中点，

:.DE=CE,

'DE=CE

在△AOE和△BCE中，，ZDEA=ZCEB，

,AE=BE

:.△ADEgLBCE（SAS）,

:"D=/C.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质；熟

练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键.

22.（8分）（2019•眉山）如图，在岷江的右岸边有一高楼AB,左岸边有一坡度，=1：2的

山坡CF点C与点B在同一水平面上，CT与在同一平面内.某数学兴趣小组为了

测量楼A8的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°,然后沿坡面CF上行了20企

米到达点。处，此时在。处测得楼顶A的仰角为30°,求楼AB的高度.

【考点】T9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题；TA：解直角三角形的应用-仰角俯

角问题.

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；556：矩形菱形正方形.

【分析】由，=迈=1，DEL+EC1=cb1,解得DE=20%，EC=4Qm,过点。作。GJ_

EC2

AB于G,过点C作于H,则四边形DEBG、四边形DECH、四边形BCHG都

是矩形，证得AB=BC,设AB=BC=xm,则AG=(x-20)m,DG=(x+40)m,在

RtZ\ADG中，^-=tanZADG,代入即可得出结果.

DG

【解答】解：在Rt^ZJEC中，：，=班=工，DEr+EC1=CD1,CD=20后,

EC2

：.DE^+(2DE)2=(2(h/5)

解得：DE=20(加)，

：.EC=40m,

过点。作DGLAB于G,过点C作CHLOG于H,如图所示：

则四边形。EBG、四边形。ECH、四边形BCHG都是矩形，

VZACB=45°,AB1.BC,

：.AB=BC,

设AB=BC=xm,则AG=(x-20)m,DG=(x+40)m,

在Rt^AQG中，：幽=tan/ADG,

DG

.x-20_V3

'*x+40V，

解得：尤=5O+3(h/5.

答：楼AB的高度为(50+3073)米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，通过解直角三角形得出方程是

解题的关键.

23.（9分）（2019•眉山）某中学举行钢笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计,

并绘制了如下两幅不完整的统计图.

获奖人数扇统计图

请结合图中相关信息解答下列问题：

（1）扇形统计图中三等奖所在扇形的圆心角的度数是108度;

（2）请将条形统计图补全；

（3）获得一等奖的同学中有上来自七年级，有工来自九年级，其他同学均来自八年级.现

44

准备从获得一等奖的同学中任选2人参加市级钢笔书法大赛，请通过列表或画树状图的

方法求所选出的2人中既有八年级同学又有九年级同学的概率.

【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】（1）先根据参与奖的人数及其所占百分比求得总人数，再用360。乘以三等奖人

数所占比例即可得；

（2）根据各奖项的人数之和等于总人数求出一等奖的人数，从而补全图形；

（3）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式

计算可得.

【解答】解：（1）•••被调查的总人数为16・40%=40（人），

扇形统计图中三等奖所在扇形的圆心角的度数是360°X12.=108°,

40

故答案为：108；

(2)一等奖人数为40-(8+12+16)=4(人),

补全图形如下:

（3）一等奖中七年级人数为4X_1=1（人），九年级人数为4XL=1（人），则八年级

44

的有2人，

画树状图如下：

七八八九

4\4\小小

八八九七八九七八九七八八

由树状图知，共有12种等可能结果，其中所选出的2人中既有八年级同学又有九年级同

学的有4种结果，

所以所选出的2人中既有八年级同学又有九年级同学的概率为_£=L.

123

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所

有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解

题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总

情况数之比.

24.（9分）（2019•眉山）在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600次的区域

进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队

每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600〃，区域的绿化时，甲队

比乙队少用6天.

（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；

（2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿

化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？

【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用.

【专题】522：分式方程及应用；524：一元一次不等式（组）及应用.

【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是切£根据题意列出方程：典-典

x2x

=6,解方程即可；

（2）设甲工程队施工。天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务，由题意得：100a+50b

=3600,贝!].=卫"_=-J-6+36,根据题意得：1.2乂丝土+0.58W40,得出6232,即

222

可得出结论.

【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是刀扇，

根据题意得：600-600=6,

x2x

解得：尤=50,

经检验，x=50是原方程的解，

则甲工程队每天能完成绿化的面积是50X2=100（机2）,

答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100〃，、50〃，；

（2）设甲工程队施工。天，乙工程队施工6天刚好完成绿化任务，

由题意得：100a+505=3600,贝！j■=74-"=-'6+36,

22

根据题意得：1.2义生殳+0.5bW40,

2

解得：6232,

答：至少应安排乙工程队绿化32天.

【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，

设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解.

四、解答题:本大题共2个小题，共20分,请把解答过程写在答题卡相应的位置上.

25.（9分）（2019•眉山）如图1,在正方形ABC。中，AE平分NC4B,交BC于点E,过

点C作CfUAE,交AE的延长线于点G,交A8的延长线于点孔

(1)求证：BE=BF；

(2)如图2,连接3G、BD,求证：BG平分/DBF；

(3)如图3,连接。G交AC于点求鲤•的值.

DM

【考点】so：相似形综合题.

【专题】152：几何综合题；553：图形的全等；554：等腰三角形与直角三角形；556：

矩形菱形正方形；55D：图形的相似.

【分析】(1)由正方形性质得出NABC=90°,AB=BC,证出由ASA

证得△ABEg/kCBF即可得出结论；

(2)由正方形性质与角平分线的定义得出NCAG=/R1G=22.5°,由ASA证得aAGC

乌△AGP得出CG=GF,由直角三角形的性质得出GB=GC=GF,求出

即可得出结论；

(3)连接8G,由正方形的性质得出。C=AB,ZDCA=ZACB=45°,ZZ)CB=90°,

推出AC=6DC,证出NOCG=/ABG,由SAS证得△DCG之ZVIBG得出NCDG=N

GAB=22.5°,推出NCDG=NCAG,证得即可得出结果.

【解答】(1)证明：•..四边形ABC。是正方形，

ZABC=90°,AB=BC,

：.ZEAB+AEB=90°,

'：AG±CF,

：.ZFCB+ZCEG=90°,

:ZAEB=ZCEG,

：.NEAB=/FCB,

'/EAB=/FCB

在△ABE和△CBF中，＜AB=BC，

LZABE=ZCBF=90°

:.AABE咨ACBF(ASA),

:.BE=BF；

(2)证明：•.•四边形ABC。是正方形，

ZABD^ZCAB^45°,

平分NCA5,

：.ZCAG^ZFAG^22.5°,

，ZCAG=ZFAG

在△AGC和△AGE中，＜AG=AG，

1ZAGC=ZAGF=90°

AAAGC^AAGF(ASA),

:.CG=GF,

VZCBF=90°,

:.GB=GC=GF,

：.ZGBF=ZGFB=90°-ZFCB=90°-ZGAF=90°-22.5°=67.5°,

.•.ZDBG=180°-AABD-ZGBF=180°-45°-67.5°=67.5°,

:./DBG=NGBF,

；.BG平分ZDBF；

(3)解：连接BG,如图3所示：

:四边形ABC。是正方形，

：.DC=AB,ZDCA=ZACB=45°,NDCB=9Q°,

:.AC^42DC,

VZDCG=ZDCB+ZBCF=ZDCB+ZGAF=90°+22.5°=112.5°,ZABG=180°

ZGBF=180°-67.5°=112.5°,

4DCG=ZABG,

'DC二AB

在△OCG和△ABG中，，NDCG=/ABG，

CG=BG

:.ADCG咨AABG(SAS),

；.NCr)G=/G4B=22.5°,

J.ZCDG^ZCAG,

,：ZDCM=ZACE=45°,

.•.△DCM^AACE,

...迪=£=近

DMDC

DC

图3

【点评】本题是相似综合题，考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、角平分

线定义、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定

与性质等知识；本题综合性强，涉及知识面广，熟练掌握正方形的性质、角平分线定义,

证明三角形全等与相似是解题的关键.

26.(11分)(2019•眉山)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=-Wf+bx+c经过点A

9

(-5,0)和点B(1,0).

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)点P是抛物线上4、。之间的一点，过点尸作PELx轴于点E,PGLy轴，交抛物

线于点G,过点G作GELx轴于点R当矩形PE/G的周长最大时，求点P的横坐标；

(3)如图2,连接A。、点M在线段AB上(不与A、8重合)，作/DMN=/DBA,

MN交线段AD于点、N,是否存在这样点使得△。施V为等腰三角形？若存在，求出

【专题】16：压轴题；31：数形结合；32：分类讨论；55D：图形的相似；63：空间观念.

【分析】(1)抛物线的表达式为：-A(尤+5)(x-1),即可求解；

9

(2)PE=-&层,弛"计型，PG=2(-2-加=-4-2m,矩形PEFG的周长=2

999

(PE+PG),即可求解；

(3)分MN=DM、NM=DN、DN=DM,三种情况分别求解.

【解答】解：(1)抛物线的表达式为：>=-&(X+5)(X-1)=-&?-迈X+型，

9999

则点。(-2,4)；

(2)设点P(m,-&〃2-机+且1),

999

则PE=-当机2_迈〃什迎，PG=2(-2-m)=-4-2m,

999

矩形PEFG的周长=2(PE+PG)=2(-^-m2-迈-4-2机)=-&(m+H.)

99994

2,I-2--2--5-,

18

v--<0,故当机=-TL时，矩形PEFG周长最大，

94

此时，点尸的横坐标为-红；

4

(3),:/DMN=/DBA,

ZBMD+ZBDM^ISO°-ZADB,

ZNMA+ZDMB^1SO°-ZDMN,

：.ZNMA=ZMDB,

:.ABDMs^AMN,烟^L,

BMBD

而AB=6,AD=BD=5,

①当MN=OM时，

：.ABDM^AAMN,

即：AM=BD=5,则AN=M8=1；

②当NM=DN时,

则/NDM=NNMD,

：.AAMD^AADB,

：.AD2^ABXAM,即：25=6XAM,则空，

6

25

而也g,即餐=互，

BMBD,,255

0r6

解得：河=里

36

③当DN=DM^i,

'：ZDMN>ZDAB,而ZDAB=ZDMN,

，ZDNM>ZDMN,

:.DN¥DM；

故AN=1或更■.

36

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似和全等、等腰

三角形性质等知识点，其中（3）,要注意分类求解，避免遗漏.

考点卡片

1.相反数

(1)相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.

(2)相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互

为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等.

(3)多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”

号，结果为正.

(4)规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-如。的相反

数是-a,的相反数是-(m+n),这时机+〃是一个整体，在整体前面添负号时，要用

小括号.

2.绝对值

(1)概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值.

①互为相反数的两个数绝对值相等；

②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数.

③有理数的绝对值都是非负数.

(2)如果用字母。表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：

①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；

②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；

③当。是零时，a的绝对值是零.

即⑷={a(a>0)0(a=0)-a(a<0)

3.科学记数法一表示较小的数

用科学记数法表示较小的数，一般形式为aXlOF,其中lW|a|<10,w为由原数左边起第

一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律

X的取值范围表示方法a的取值n的取值

国2101W|Q|整数的位数-1

M<1aX10~n<10第一位非零数字前所有0的个数(含小数点前的0)

4.实数

（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数.

（2）实数的分类：

'正有理数

有理数0（正实数

［负有理数或实数一

实数:

/正无理数［负实数

无理数

.负无理数

5.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、幕的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

6.合并同类项

（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项.

（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不

变.

（3）合并同类项时要注意以下三点：

①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同

系数的代数项；字母和字母指数；

②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数

会减少，达到化简多项式的目的；

③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字

母和字母的指数不变.

7.塞的乘方与积的乘方

(1)塞的乘方法则：底数不变，指数相乘.

(a'D"=a"m(m,w是正整数)

注意：①塞的乘方的底数指的是塞的底数；②性质中“指数相乘”指的是幕的指数与乘方

的指数相乘，这里注意与同底数嘉的乘法中“指数相加”的区别.

(2)积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的事相乘.

(ab)n=anbn(〃是正整数)

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据

乘方的意义，计算出最后的结果.

8.完全平方公式

(1)完全平方公式：(。±6)2=。2±2。6+庐.

可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”.

(2)完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，

其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算

符号相同.

(3)应用完全平方公式时，要注意：①公式中的0,6可是单项式，也可以是多项式；(2)

对形如两数和(或差)的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两

项看做一项后，也可以用完全平方公式.

9.平方差公式

(1)平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.

Qa+b)(.a-b)—a2-b2

(2)应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；

②右边是相同项的平方减去相反项的平方；

③公式中的。和6可以是具体数，也可以是单项式或多项式；

④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以

多项式法则简便.

10.提公因式法与公式法的综合运用

提公因式法与公式法的综合运用.

11.分式的混合运算

(1)分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除,

然后加减，有括号的先算括号里面的.

(2)最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式.

(3)分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运

算律进行灵活运算.

【规律方法】分式的