2022-2023学年吉林省通化市重点中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年吉林省通化市重点中学高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知随机变量X的分布列如表，若E（X）=5,贝Ua=（）

X3a

1

Pb

3

2

A.jB.4C.6D.12

2.等比数列｛厮｝为递减数列，若a2a6=6,a3+a5=5,则篙=（）

A.|B.|C.|D.6

Z3o

3.据史书的记载，最晚在春秋末年，人们已经掌握了完备的十进位制记数法，普遍使用了

算筹这种先进的计算工具.算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，

千位再用横式，以此类推，遇零则置空.如图所示：

纵式।IlHImiHiiiTirmniT

横式一=三三三，JLHlllll

123456789

如：10记为一，26记为=丁，71记为JLI.现有4根算筹，可表示出两位数的个数为（）

A.8B.9C.10D.12

4.如图，一环形花坛分成力，B,C,D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种

花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）

5.样本数据久1，冷，…，马的平均数1=4,方差S2=1,则样本数据2%+1,2尤2+1，

2马+1的平均数，方差分别为（）

A.9,4B.9,2C.4,1D.2,1

6.某市践行“干部村村行”活动，现有3名干部可供选派，下乡到5个村蹲点指导工作，每

个村只有1名干部，每个干部至多住3个村，则不同的选派方案共有种.（）

A.243B.210C.150D.125

7.某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排6名同学4B,C,D,E,F到甲、乙、

丙三个不同的社团开展活动，要求每个社团至少安排1人，且甲社团安排3人，A,B两人安排

在同一个社团，C,D两人不安排在同一社团，则不同的安排方案是（）

A.56B.28C.24D.12

8.已知a=b=In詈,c—O,101,贝U（）

A.b<c<aB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知函数/（久）的导函数/''（>）的图象如图所示，贝ij（）

A./（久）有且仅有两个极值点

B.“X）在区间（2,+8）上单调递增

C.若/'（x）在区间（犯6+1）上单调递增，则m的取值范围为ni<-4或m>3

D.〃久）可能有四个零点

22023

10.已知（3x—2A°23=a。+aiX+a2x+…+a2023%,则（）

A.a0=22023

aaa

B.a0+l+2+--1■2023=1

52023+1

C.a±+a3+a5+—I-a2023=--—

D.劭+号+墨+翳+…+^H=T

J55j

11.甲、乙两盒中各放有除颜色外其余均相同的若干个球，其中甲盒中有4个红球和2个白球,

乙盒中有2个红球和3个白球，现从甲盒中随机取出1球放入乙盒，再从乙盒中随机取出1球.记

“从甲盒中取出的球是红球”为事件4“从甲盒中取出的球是白球”为事件B,“从乙盒中

取出的球是红球”为事件C,贝"）

A.力与B互斥B.4与C独立C.P(c|4)=jD.P(C)=1

12.历史上著名的伯努利错排问题指的是：一个人有n(n22)封不同的信，投入n个对应的

不同的信箱，他把每封信都投错了信箱，投错的方法数为厮.例如两封信都投错有=1种方

法，三封信都投错有=2种方法，通过推理可得：an+1=n(an+an_^(n>3).高等数学给

出了泰勒公式：靖=1+X+S+摄+•••+1+•••，则下列说法正确的是()

2!3!n!

A.。4=9

B.{an+2-(n+2)。九+1}为等比数列

C4=空+空+…+印(几22)

D.信封均被投错的概率大于工

e

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.若函数f(x)-2x-abix在处的切线方程为y-x+1,则实数a=.

14.已知某生产线生产的某种零件的合格率是95%,该零件是合格品，则每件可获利10元,

该零件不是合格品，则每件亏损15元.若某销售商销曜该零件10000件，则该销售商获利的期

望为万元.

15.已知某产品的一类部件由供应商a和B提供，占比分别为匏|,供应商a提供的部件的良

品率为0.96.若该部件的总体良品率为0.92,则供应商B提供的部件的良品率为.

16.杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的祥解九章算法》一书中被记载.它的开

头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数

品都换成分数不品，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定

十九

理，甚至影响到了微积分的创立，请问“莱布尼茨三角形"第10行第5个数是

杨辉三用莱卅尼茨三f白形

第。厅11第。行

■1

第1行1122第I行

111—a-

第2行121=z«第2仃

3(>o

1111

第3行1331——-第3仃

412124

第”行1ClC?-1,

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

某学习小组有3个男生和4个女生共7人：

(1)将此7人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种？

(2)将此7人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种？

(3)现有7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种？

18.(本小题12.0分)

已知(Q+会产的二项展开式中，所有项的二项式系数之和等于512.求：

(1)"的值；

(2)展开式中的常数项；

(3)展开式中系数最大的项.

19.(本小题12.0分)

已知等差数列｛&J的前n项和为5,且满足的+a3+a5=15,S7=49.

(1)求的通项公式；

(2)若数列｛%｝满足%=an-3%求｛g｝的前几项和

20.(本小题12.0分)

某大学毕业生参加某单位的应聘考试，考核依次分为笔试，面试、实际操作共三轮进行，规

定只有通过前一轮考核才能进入下一轮考核，否则被淘汰,三轮考核都通过才能被正式录用，

设该大学毕业生通过一、二、三轮考核的概率分别为|热,［且各轮考核通过与否相互独立.

345

①求该大学毕业生进入第三轮考核的概率；

②设该大学毕业生在应聘考核中考核轮数为X,求X的概率分布列及期望和方差.

21.(本小题12.0分)

nn

已知等差数列｛即｝的前n项和为5,且56=60,a3+3a5=48.当neN*时，2b1+2"+

n

…+2bn—3—1.

(1)求数列｛的J、｛g｝的通项公式；

(2)若“=(2"?(2"2),求数列｛5｝的前几项和7k.

un,un+l

22.(本小题12.0分)

已知函数/'(%)=eax,aER.

(1)令。(%)=得，讨论g(x)的单调性；

(2)证明：©)2+(护+…+(/<7=L_,neN*；

(3)若a=l,对于任意的zn,n&R,不等式端+h(加?)"⑺)+2N0恒成立，求实数6

的取值范围.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：由分布列的性质可得，l+b=1,解得b=|,

•・•E（X）=5,

-1O

•■-3x-+ax-=5,解得a=6.

故选：C.

结合分布列的性质，以及期望公式，即可求解.

本题主要考查分布列的性质，以及期望公式，属于基础题.

2.【答案】A

（

【解析】解：由｛厮｝为等比数列，得a2a6=a3a5=6,又13+a5=5,

a3,为方程为-5x+6=0的两个根,

解得=2,a5=3或＜23=3,a5=2,

由｛%i｝为递减数列得＞即+i，二＜13=3,a5=2,

故选：A.

由a2a6—a3a5=结合（23+a=可得（13,为方程——的两个根，又即＞

655,5%+6=0an+1,

解得a2,a3,再结合等比数列通项公式即可得出.

本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：由题意知，共有4根算筹,

当十位1根，个位3根，共有2个两位数;

当十位2根，个位2根，共有4个两位数;

当十位3根，个位1根，共有2个两位数;

当十位4根，个位0根，共有2个两位数,

所以一共有10个两位数.

故选：C.

由题意，分别求出当十位1根，个位3根；当十位2根，个位2根；当十位3根，个位1根；当十位4根,

个位0根时两位数的个数即可.

本题考查归纳推理，分类加法计数原理，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查分类计数原理和分步计算原理，属于基础题.

根据题意可将种花分为三类：种两种花、三种花、四种花，分这三类来列出结果.

此题也可以按A-B-C-。顺序种花，分力、C同色与不同色有4x3x(1x3+2x2)=84.

【解答】

解：分三类：种两种花有幽种种法；

种三种花有2题种种法；

种四种花有用种种法.

共有A/+2X4+Af=84.

故选：B.

5.【答案】A

【解析】解：由题设£=E(X)=4,S2=D(X)=1,

所以E(2X+1)=2E(X)+1=9,D(2X+1)=4D(X)=4.

故选：A.

由平均值、方差的性质求新数据的平均数和方差.

本题主要考查平均数和方差的性质，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：3名干部可供选派，下乡到5个村蹲点指导工作，

每个村只有1名干部，每个干部至多住3个村，

当选派3名干部时，可以把5个村为(1,1,3)和(1,2,2)这两种组合，

当为(1,1,3)时，有为北=60种，

当为(1,2,2)时，有窄-Aj=90种;

当选派2名干部时，有方废膨=60种，

根据分类计数原理可得60+90+60=210种.

故选：B.

由题意，当选派3名干部时，可以把5个村为(1,1,3)和(1,2,2)两组，当选派2名干部时，有第C。彩种,

再求出不同的选派方案种数.

本题考查了分组分配的问题，关键是分组，属于中档题.

7.【答案】C

【解析】解：把6人先分成三组，再分配给三个场馆，

若4,B为2人组，3人组C,。两人不安排在同一社团有废-6=2种分组方法，1人组有1种分组

方法，有2x1=2种分组方法；

若4,B在3人组，C,。两人不安排在同一社团2人组有盘-1=5种分组方法，1人组有废=2种

分组方法，有(盘-1)废=10种分组方法.

再分配给三个场馆，甲社团安排3人，乙、丙2个不同的社团可以交换，共有(10+2)X田=2种

方法.

故选：C.

把6人先分成三组，再分配给三个场馆，分2种情况进行求解，每种情况下考虑力，B安排在同一组，

求出答案.

本题主要考查排列组合及简单的计数问题，考查运算求解能力，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：由6=ln当=ln备+1=—ln(l+0.1)+l.

设/(%)=e~x+ln(l+%)—1(%>0),

则((%)=-x+—=--+—,

e1+xex1+x

设g(%)=ex—1—x(x>0),

则g'(%)=ex—1>0,

所以函数g(%)=ex-1-%在(0,+8)上单调递增,

所以g(%)>g(0)=0,即e%-1-%>0,

即e%>1+x>0,即与<J—,

exi+x

所以[(久)=—2+土>0，

则函数/(%)=e~x+ln(l+%)—1在(0,+8)上单调递增，

所以/(0.1)>/(0)=0,即°-。1+ln(l+0,1)-1>0,

即？一°」>—ln(l+0.1)+1,即a>b；

设〃(%)=Inx—%+1(%>1),

则"0)=；-1=9<o,

所以函数&(%)=Inx-x+1在(1,+8)上单调递减，

则u(x)<u(l)=0,BPZnx—%+1<0,

即"x<x-l(x>1),BPZnl.l<1.1—1=0.1,

所以b=-lnl.1+1>0.9,

又0.91。=(0.92)5=os>O.85=0.32768>0.1,

所以0.9>0.1。\即6>c,

所以c<b<a.

故选：B.

由6=也学=InJ]+1=-ln(l+0.1)+1,构造函数/(x)=e~x+ln(l+x)-l(x>0),

5(x)=ex—1-x(x>0),利用导数分析单调性，可得函数/'(久)=eT+ln(l+x)-1在(0,+8)

上单调递增，进而得到/'(0.1)>/(0)=0,可得a>b；构造函数a(x)=Inx-x+l(x>1),禾！J

用导数分析单调性，可得"x<x-1(%>1),进而得到b=-lnl.1+1>0.9,由0.9】。=(0.92)5=

0.815>0.85=0.32768>0,1,进而得到b>c,进而求解.

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查实数大小的比较，考查逻辑推理能力，属于难题.

9.【答案】AC

【解析】解：由函数人式)的导函数尸白)的图象可知，

当％<-3或x>3时，f'Qx)>0,/(x)在(一8,-3),(3,+8)上单调递增；①

当一3<%<3时，f(x)<0,/(x)在(—3,3)上单调递减，故B错误；

当％=-3时，f(x)取得极大值，当x=3时，f(x)取得极小值，f(x)有且仅有两个极值点，故A

正确；

由①知，若/(x)在区间(zn,m+1)上单调递增，则m+1W-3或m23,

解得ni<-4或mN3,即m的取值范围为m<-4或niN3,故C正确；

因为f(x)在(-8,-3)上单调递增，在(-3,3)上单调递减，在(3,+8)上单调递增，

所以当极大值f(-3)>0,且极小值/(3)<0时，/(%)最多可能有三个零点，故。错误.

故选：AC.

由函数“X)的导函数/'(X)的图象可知/(x)在(-8,-3),(3,+8)上单调递增,在(-3,3)上单调递减,

利用导数与极值、单调性的关系可对四个选项逐一分析得到答案.

本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查识图能力与运算求解能力，属于中档题.

10.【答案】BCD

22023

【解析】解：(3x-2)2023—a0+arx+a2x+—I-a2023X,

二令x=0,可得。0=-22°23,故A错误；

再令x—1,可得+a1+a2+…+0,2023=1CD,故B正确；

再令X=-1,可得得%--+…—£12023=-52023(2),

2023

把①一②，并除以2,可得Q1+G3+Q5"1-----1-^2023=~^~2——'故C正确；

在所给的等式中，令％=(，可得劭+?+登+翳+…+翳翁=-1,故。正确.

故选：BCD.

由题意，在所给的等式中，分别令x=0,1,-1,逐一判断各个选项是否正确，从而得出结

论.

本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数

值代入，属于中档题.

11.【答案】ACD

【解析】解：4•••事件4与事件B不能同时发生，:4与B互斥，.••正确,

42431o、43,224

B,・・・尸(4)二£P(AC)=X=,PC=X+X

3,663()6666=9,

・•.PG4C)KP(4)・PO，・•.&与c不相互独立，，错误,

Cc，・•.nP/m(*4、)=品PQ4C)=于132=亍1•••十正确.，

42224..，.

D，P(C)=-x-+-x-=-,.

ooooy

故选：ACD.

根据互斥事件的定义，条件概率公式，全概率公式，即可求解.

本题主要考查条件概率公式，全概率公式，互斥事件的定义，属于中档题.

12.【答案】ABC

【解析】解：设4封信分别为a,b,c,d,当a在第二个信箱时，

有badc,dabc,cadb共3种错投方式，

同理可得a在第3与第4个信箱时，也分别有3种错投方式，

故共有9种错投方式，

所以=9,故A正确；

1

所以册+2—(n+2)an+1=(-1)x(-1)"-=(-1)",

所以的i+2_an+i_(］)：_("］严2,

(n+2)!(n+1)!(n+2)!(n+2)!

田%&=&_-1_i__T___味2...._L£3_^2.£2

⑷乃川一n!(n-1)!(n-1)!(n-2)!3!2!2!'

所以n22时，&=人+*+...+0=*+9+...+口，故C正确;

n!2!3!n!2!3!n!

因为%2_+i=九+1)(九23),

所以a九+1—(n+l)cin=~cin+7161rl=~(cin—几。九_1),

又%—3a2=-1，

所以｛厮+2-(几+2)^+1｝为等比数列，首项为一1,公比为一1,故5正确；

装错信封的概率为爱,

.••姬=1+"+务（+...+'+

则6-】=1+(-1)+*印+…+印+国+…，

'，2!3!n\(n+l)!

当几为奇数时「得=［/万+品N+名为+品》+…=湍I+式方+…＞。，

—

、［/,1Cln「1—11।「11［_71+171+3八

当n为偶数时，2一》=［一证币—而为］+［一蓬丽—丽可］+..•=一方万一面彳一…＜°，

综上所述：当n为奇数时，**

当n为偶数时,；＞等故0错误.

故选：ABC.

根据分类加法原理求。4，由此判断4根据等比数列定义判断B,利用累加法求詈，判断C,由泰

勒定理求eT,结合比差法判断。.

本题考查数列的递推式，考查运算求解能力，属中档题.

13.【答案】1

【解析】解：由/'(x)=2万一abur,得尸(%)=2-*

・.・函数/(*)-2x-aZn比在处的切线方程为y-x+1,

f'(l)=2—a=1,得a=1.

故答案为：1.

运用导数几何意义列方程/'(1)=1求解即可.

本题考查导数的几何意义及应用，是基础题.

14.【答案】8.75

【解析】解：由题意可得:该销售商销售每件零件获利的期望是10X95%-15x(1-95%)=8.75

元，

则该销售商销售该零件10000件，获利的期望为8.75x10000=87500元，即8.75万元.

故答案为:8.75.

根据题意求随机变量的期望即可.

本题考查随机变量的期望，属于基础题.

15.【答案】0.9

【解析】解：设供应商B提供的部件的良品率为支，

由题意可知，jx0.96+jx=0.92,解得x=0.9.

故答案为：0.9.

根据已知条件，结合全概率公式，即可直接求解.

本题主要考查全概率公式，属于基础题.

16.【答案】/

【解析】解：由题意知，将杨辉三角从第1行开始的每一个数3都换成分数而I冠，得到的三角

形称为“莱布尼茨三角形”，

观察表中数字，题中要求第10行第5个数，所以71=10,r=4,（表中每一行的第1个数是0,所以

第5个数是4）,

11

所以，第10行第5个数为:

(10+1油2310,

故答案为：二八.

根据题意，将杨辉三角从第1行开始的每一个数品都换成分数不等产，得到的三角形称为“莱布

十

171LJCn

尼茨三角形"，确定期r,代入公式计算即可.

本题考查归纳推理，属于基础题.归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性

质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.

17.【答案】解：（1）根据题意，分2步进行分析：

①将3个男生全排列，有属种排法，排好后有4个空位，

②将4名女生全排列，安排到4个空位中，有用种排法，

则一共有据花=144种排法.

（2）根据题意，分2种情况讨论：

①男生甲在最右边，有魔=720种排法，

②男生甲不站最左边也不在最右边，有温福正=3000种排法，

则有720+3000=3720种排法.

（3）根据题意，7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，还有3个空座位，分2步进行分析：

①将4名女生全排列，有退种情况，排好后有5个空位可插，

②将3个空座位分成2、1的2组，在5个空位中任选2个，安排2组空座位，有魅种情况，

则有黑玛=480种排法.

【解析】（1）按照插空法，先排男生，再排女生，即可求解；

（2）分男生甲在最右边和男生甲不站最左边也不在最右边两种情况，结合排列数公式，即可求解;

（3）将4名女生全排列，排好后有5个空位可插,将3个空座位分成2、1的2组,在5个空位中任选2个，

即可得到答案.

本题考查排列、组合的实际应用，涉及分步、分步计数原理的应用，注意特殊问题的处理方法，

属于中档题.

18.【答案】解：（1）;（Q+卷）”展开式的二项式系数和为512,

.•・2n=512,

解得：n=9.

r

（2）（C+*）"=（，/+/）9展开式通项为：7V+]=砥O*•层）=即如空,

令与^=0,解得：r=3,

则展开式常数项为n=（妒/=jx84=y

（3）设展开式第r+1项的系数最大，

则《??，即2r-10-r

（前0>（犷+1帽+1

9-r-2(r+l)

解得：|<r<y,

又reN,

r=3,

展开式中系数最大的项为A=y.

【解析】（1）根据二项式系数和2n=512,可解方程求得几的值；

（2）由二项式定理可得二项展开式通项，将r=3代入通项中即可得到常数项；

（3）设第r+1项的系数最大，采用不等式法可构造不等式组求得r的值，代入通项即可求得系数最

大的项.

本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题.

19.【答案】解：（1）由题意，设等差数列｛厮｝的公差为小

(

则bay=+a7oa+1+aq竽=d3a=l+496d=15-

整理，嘴胃二

解得｛建。

an=1+2•(n-1)=2n—1,nEN

nn

(2)由(1)可得，bn=an-3^(2n-1)-3,

123n

则&=瓦+i>2T—+/?n—1,3+3,3+5,34—+(2n—1),3,

37^=1-32+3-33+•••+(2n-3)-3n+(2n-1)-3n+1,

两式相减，

可得-2*=1•31+2・32+2・33+-+2-3n-(2n-1)-3n+1

=3+2-(32+33+■••+3n)-(2n-1)-3n+1

=-2(n-l)-3n+1-6,

7^^(n-1)-3n+1+3.

【解析】(1)先设等差数列的公差为d,再根据题干已知条件列出关于首项的与公差d的方程组,

解出的与d的值，即可计算出等差数列｛an｝的通项公式；

(2)先根据第(1)题的结果计算出数列｛%｝的通项公式，再运用错位相减法即可计算出前几项和

本题主要考查等差数列的基本运算，以及运用错位相减法求前几项和问题.考查了方程思想，转化

与化归思想，等差数列与等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档

题.

20.【答案】解：①记“该大学生通过第一轮考核”为事件4“该大学生通过第二轮考核”为事

件B,“该大学生通过第三轮考核”为事件C,贝hP⑷=|P(8)=%©=，..(2分)

那么该大学生进入第三轮考核的概率是P=PQ4)-P(B)=|x^=i...(4分)

54Z

②

X123

111

P

362

11113

EX=1X3+2X5+3X：=?

3oL6

2

—a-T)4+(2-^xi+(3-^xi^

【解析】①根据所给的概率，利用相互独立事件的概率乘法公式即可做出结果.

②设该大学毕业生在应聘考核中考核轮数为X,X的次数的取值是1、2、3,根据互斥事件和相互

独立事件同时发生的概率列出分布列，最后做出分布列和期望即可.

考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对

立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先

求它的对立事件的概率.

21.【答案】解：(1)设等差数列｛厮｝的首项为出，公差为d,

+

由S6=60,a3+3a5=48,可得［‘的一一

la1+2d+3(a1+4d)=48皿=2

故数列｛。九｝的通项公式为=5+(n-l)x2=2n+3.

nn1n

2bi+2~b2+…+2bn=3-1,两边同时乘以去，

111

则瓦+5%+=”(3九一1)，

乙，乙

当几=1时，瓦=1,

111

当n之2时，瓦+］历+…+齐耳=-(3n~1-1),

乙，zT

n

两式相减，可得表6n=p(3-1)—声(3"T—1)=4/，

所以好=。±1，

当n=l时，&=1,故瓦满足如，故％=毛了.

⑵=(2g-1)(2即-2)=3"T(4W+4)=3n_3n_1

n

I),an-an+i(2n+3)(2n+5)2n+52几+3’

所以〃=+Q+。3+--1"cn-l+cn

_3132333323n-13n-23n3n-1

一'_《+目_'+五一3+…+2Ti+3-2几+1+2九+5-2n+3

_13n

--5+2n+5*

故7；=—：+工.

“52n+5

【解析】(1)根据条件列出关于首项和公差的方程，求出数列｛即｝的通项公式；2"bi+2"-%+-+

1