专题17 导数及其应用-2024高考数学母题题源解密（全国通）含解析

专题17导数及其应用-2024高考数学母题题源解密（全国通用）专题17导数及其应用考向一切线方程【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）【母题题文】若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．【答案】【试题解析】【详解】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故答案为：【命题意图】本题主要考查设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，属于基础题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）已知切点求斜率；（2）已知斜率求切点；（3）切点、斜率均未知.【得分要点】设切点为(x0,y0)；（2）求出原函数的导函数，将x0代入导函数得切线的斜率k；（3）由斜率k和切点(x0,y0)求参数的值.考向二利用导数求函数的极值点与极值【母题来源】2022年高考全国乙卷（理科）【母题题文】已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．【试题解析】【详解】解：，因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，所以当时，，当时，，若时，当时，，则此时，与前面矛盾，故不符合题意，若时，则方程的两个根为，即方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，∵,∴函数的图象是单调递减的指数函数，又∵,∴的图象由指数函数向下关于轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到，如图所示：设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，则切线的斜率为，故切线方程为，则有，解得，则切线的斜率为，因为函数与函数的图象有两个不同的交点，所以，解得，又，所以，综上所述，的范围为.【命题意图】本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题、填空题和解答题形式出现，试题难度较大，多为中挡题目，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）求函数的极值点；（2）求函数的极值；（3）由函数的极值点极值解参数范围.【得分要点】（1）求函数的定义域、求导；（2）列表分析,确定函数的单调区间；（3）从表中找出单调性发生变化的交界点(即极值点)；（4）最后求出所有极值点处的函数值,即得所求函数的极值.考向三利用导数求函数的最值【母题来源】2022年高全国乙卷（文科）【母题题文】函数在区间的最小值、最大值分别为（）A. B. C. D.【试题解析】【详解】，所以在区间和上，即单调递增；在区间上，即单调递减，又，，，所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D【命题意图】利用导数求得的单调区间，从而判断出的最小值和最大值.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题、填空题和解答题形式出现，试题难度不大，多为中挡题目，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）求函数的最值；（2）利用最值求参数范围.【得分要点】（1）求函数的定义域、求导；（2）列表分析，确定函数的单调区间；（3）从表中找出单调性发生变化的交界点，进而求出最值.一、单选题1．（2022·河南洛阳·模拟预测（文））曲线在处的切线方程是（

）A． B．C． D．2．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知函数在点处的切线方程为，则（

）A．1 B．2 C．4 D．53．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（

）A． B．± C． D．±4．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（

）A．8 B．9 C．10 D．135．（2022·四川内江·模拟预测（理））函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．6．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知函数，设，，，则（

）A． B． C． D．7．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知是函数的一个极值点，则的值是（

）A．1 B． C． D．8．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数至多有2个不同的零点，则实数a的最大值为（

）．A．0 B．1 C．2 D．e二、填空题9．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知抛物线在处的切线过点，则该抛物线的焦点坐标为________．10．（2022·北京市大兴区兴华中学三模）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是___________.11．（2022·湖北·黄冈中学二模）函数的图象如图所示，记、、，则、、最大的是________.12．（2022·全国·模拟预测）请写出函数的一个极大值：__________．三、解答题13．（2022·全国·模拟预测）已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)若在区间内是单调函数，求实数的取值范围．14．（2022·河南洛阳·模拟预测（文））已知函数在处取得极值4．(1)求a，b的值；(2)若存在，使成立，求实数的取值范围．15．（2022·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））已知函数.(1)若有两个极值点，求实数a的取值范围；(2)当时，证明：.16．（2022·北京市第九中学模拟预测）已知．(1)当时，判断函数零点的个数；(2)求证：.17．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知函数的最小值为．(1)求的值；(2)已知，，在上恒成立，求的最大值．（参考数据：，）18．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知函数，其中．(1)讨论函数的单调性；(2)讨论函数零点的个数．专题17导数及其应用考向一切线方程【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）【母题题文】若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．【答案】【试题解析】【详解】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故答案为：【命题意图】本题主要考查设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，属于基础题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）已知切点求斜率；（2）已知斜率求切点；（3）切点、斜率均未知.【得分要点】设切点为(x0,y0)；（2）求出原函数的导函数，将x0代入导函数得切线的斜率k；（3）由斜率k和切点(x0,y0)求参数的值.考向二利用导数求函数的极值点与极值【母题来源】2022年高考全国乙卷（理科）【母题题文】已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．【试题解析】【详解】解：，因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，所以当时，，当时，，若时，当时，，则此时，与前面矛盾，故不符合题意，若时，则方程的两个根为，即方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，∵,∴函数的图象是单调递减的指数函数，又∵,∴的图象由指数函数向下关于轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到，如图所示：设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，则切线的斜率为，故切线方程为，则有，解得，则切线的斜率为，因为函数与函数的图象有两个不同的交点，所以，解得，又，所以，综上所述，的范围为.【命题意图】本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题、填空题和解答题形式出现，试题难度较大，多为中挡题目，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）求函数的极值点；（2）求函数的极值；（3）由函数的极值点极值解参数范围.【得分要点】（1）求函数的定义域、求导；（2）列表分析,确定函数的单调区间；（3）从表中找出单调性发生变化的交界点(即极值点)；（4）最后求出所有极值点处的函数值,即得所求函数的极值.考向三利用导数求函数的最值【母题来源】2022年高全国乙卷（文科）【母题题文】函数在区间的最小值、最大值分别为（）A. B. C. D.【试题解析】【详解】，所以在区间和上，即单调递增；在区间上，即单调递减，又，，，所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D【命题意图】利用导数求得的单调区间，从而判断出的最小值和最大值.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题、填空题和解答题形式出现，试题难度不大，多为中挡题目，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）求函数的最值；（2）利用最值求参数范围.【得分要点】（1）求函数的定义域、求导；（2）列表分析，确定函数的单调区间；（3）从表中找出单调性发生变化的交界点，进而求出最值.一、单选题1．（2022·河南洛阳·模拟预测（文））曲线在处的切线方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何意义去求曲线在处的切线方程【详解】，则，当时，，，所以切线方程为，即．故选：D．2．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知函数在点处的切线方程为，则（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】D【解析】【分析】求导，利用切线方程，得到方程组，求出，，求出答案.【详解】由，则，所以解得：，，所以.故选：D.3．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（

）A． B．± C． D．±【答案】C【解析】【分析】先求导，通过导数的几何意义得到函数在处的切线斜率，再利用同角三角函数的关系得到sin2的值．【详解】因为所以当时，，此时，∴．故选：C.4．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（

）A．8 B．9 C．10 D．13【答案】B【解析】【分析】设切点为,求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切点的坐标，可得,再由乘1法结合基本不等式，即可得到所求最小值．【详解】设切点为，的导数为，由切线的方程可得切线的斜率为1，令，则，故切点为，代入，得，、为正实数，则，当且仅当，时，取得最小值9，故选：B5．（2022·四川内江·模拟预测（理））函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】求导，解不等式可得.【详解】的定义域为解不等式，可得，故函数的递减区间为.故选：B．6．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知函数，设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】确定函数的奇偶性，利用导数证明函数的单调性，将化为，比较的大小关系即可得答案.【详解】函数的定义域为，，故为偶函数，当时，，则，即单调递增，故，所以，则在时单调递增，由于因为，而，，即，则，故选：B7．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知是函数的一个极值点，则的值是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由题知，可得，由二倍角公式可算得，进而有，所以.【详解】，∴，∴，∴故选：D8．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数至多有2个不同的零点，则实数a的最大值为（

）．A．0 B．1 C．2 D．e【答案】C【解析】【分析】先将零点问题转化为两函数交点问题，构造函数，研究其单调性，极值，画出函数图象，从而得到或，再次构造关于的函数，研究其单调性，解出不等式，求出数a的最大值.【详解】令，得到，函数至多有2个不同的零点，等价于至多有两个不同的根，即函数与至多有2个不同的交点令，则，当时，，单调递增，当或时，，单调递减，所以与为函数的极值点，且，且在R上恒成立，画出的图象如下：有图可知：或时，符合题意，其中，解得：，设，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，由可得：，所以，综上：实数a的最大值为2故选：C【点睛】对于函数零点问题，直接求解无法求解时，可以转化为两函数的交点问题，数形结合进行解决.二、填空题9．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知抛物线在处的切线过点，则该抛物线的焦点坐标为________．【答案】【解析】【分析】本题根据直线与抛物线的位置关系，利用导数解决直线与抛物线相切问题．【详解】解：由题意得：由可得，求导可得，故切线斜率为故切线方程为又因为该切线过点，所以，解得抛物线方程为，焦点坐标为．故答案为：10．（2022·北京市大兴区兴华中学三模）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是___________.【答案】.【解析】【分析】使用等价转化的思想，转化为在恒成立，然后利用分离参数的方法，结合辅助角公式，可得，简单计算和判断，可得结果.【详解】由题可知：函数在区间上单调递减等价于在恒成立即在恒成立则在恒成立，所以，由，所以故，则，所以，即故答案为：【点睛】本题考查根据函数的单调性求参，难点在于得到在恒成立，通过等价转化的思想，化繁为简，同时结合分离参数方法的，转化为最值问题，属中档题.11．（2022·湖北·黄冈中学二模）函数的图象如图所示，记、、，则、、最大的是________.【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义结合的图象分析判断即可【详解】根据导数的几何意义，、、分别为处的切线斜率，又与处的切线单调递增，处的切线单调递减，且处的切线比处的切线更陡峭，∴，故最大为.故答案为：12．（2022·全国·模拟预测）请写出函数的一个极大值：__________．【答案】形如即可（答案不唯一）【解析】【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间从求出函数的极大值点，再代入计算可得；【详解】解：因为定义域为，且，令即，解得，令即，解得所以的单调递增区间为，单调递减区间为，所以在处取得极大值，所以，，故答案为：，（答案不唯一）三、解答题13．（2022·全国·模拟预测）已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)若在区间内是单调函数，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】(1)由得，，，所以在处的切线方程为：，即.(2)记，则，显然可得在单调递减.当时，，从而在上恒成立,故在上单调递增，又因为，所以即在上恒成立，所以在区间上单调递减，符合题意；当时，，，所以，使得，又在上单调递减，所以在上恒成立，在上恒成立．所以在上单调递增，在上单调递减．所以，又．令，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以．所以存在，使得，所以在上，在上，所以在上，在上．所以在区间上既有减区间，也有增区间，不符合题意．综上可知，实数的取值范围是．14．（2022·河南洛阳·模拟预测（文））已知函数在处取得极值4．(1)求a，b的值；(2)若存在，使成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2)【解析】【分析】（1）利用题给条件列出关于a，b的方程组，解之并进行检验后即可求得a，b的值；（2）利用题给条件列出关于实数的不等式，解之即得实数的取值范围．(1)，则．因为函数在处取得极值4，所以，解得此时．易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则是函数的极大值点，符合题意．故，．(2)若存在，使成立，则．由（1）得，，且在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即，解得，所以实数的取值范围是．15．（2022·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））已知函数.(1)若有两个极值点，求实数a的取值范围；(2)当时，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数有两个极值点转化为导函数等于0有两不相等的根，分离参数后，转化为分析大致图象，根据数形结合求解即可;（2）不等式可转化为，构造函数，求导后得到函数极小值，转化为求极小值大于0即可.(1)的定义域为，，由题意在上有两解，即，即有两解.令，即的图象与直线有两个交点.，得，当时，，递增；当时，，递减，，，时，；时，，，，a的取值范围是.(2)当时，，即证，即证，令，，令，则，当时，，在递增.，，存在唯一的，使得，当时，，递减；当时，，递增，.又，，，，，.16．（2022·北京市第九中学模拟预测）已知．(1)当时，判断函数零点的个数；(2)求证：.【答案】(1)1；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）把代入，求导得函数的单调性，再由作答.（2）构造函数，利用导数借助单调性证明作答.(1)当时，，，当且仅当时取“=”，所以在R上单调递增，而，即0是的唯一零点，所以函数零点的个数是1.(2)，令，则，因，则，因此，函数在上单调递增，，，所以当时，成立.17．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知函数的最小值为．(1)求的值；(2)已知，，在上恒成立，求的最大值．（参考数据：，）【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）求导求单调性，再求最值即可；（2）根据题意得对恒成立，令，再求导求最值即可.(1)由题可知．令，解得；令，解得．所以在上单调递减，