关系函数复习题省公开课一等奖全国示范课微课金奖

离散数学复习题二元关系和函数部分第1页1、已知RA×A，且A={1，2，3，4，5}，R关系矩阵MR以下，求R自反、对称和传递闭包矩阵Mr(R)、Ms(R)、

Mt(R)。要求用矩阵计算法和Warshall两种算法求Mt(R)2、设A={1,2,3,6,9}，在A×A上定义关系R：假如a+d=b+c,则<a,b>R<c,d>。证实：（1）R是等价关系。（2）求[<3，6>]R第2页3、设A＝{a，b，c}，求A上全部等价关系。4、已知R是A上自反关系，(1)证实R∘R-1是A上自反关系；(2)证实R∘R-1是A上对称关系；(3)R∘R-1是否为A上传递关系？假如是，给出证实；假如不是，给出反例。5、集合A={1,2,3,4,5}上划分为S={{1,2},{3,4,5}}写出由S导出A上等价关系ρ;画出ρ关系图，求Mρ。第3页6、设A={1，2，……，10}，在A上小于等于关系R是偏序关系。（1）画出哈斯图；（2）求出其子集B1={1，2，3}和B2={8，9，10}以及B3=A中全部主要元素（最大值、最小值、极大值、极小值、上界、下界、上确界、下确界）。7、设A={2，3，4，6，9，12，18}上整除关系R是偏序关系。（1）画出哈斯图；（2）求出其子集B1={2，4}和B2={4，6，9}以及B3=A中全部主要元素（最大值、最小值、极大值、极小值、上界、下界、上确界、下确界）。第4页8、设有函数f(x)=x2-2，g(x)=x+4，x∈R，求（1）f∘g（2）g∘f（3）f和g中有逆函数吗？如有则给出其逆函数。9、证实：（1）若f∘g是单射，则f是单射；（2）若f∘g是满射，则g是满射。第5页答案11、第6页答案22、（1）证：i)<a，b>∈A×A，a＋b＝b＋a∴<a，b>R<a，b>自反性成立ii)<a，b>，<c，d>∈A×A，且<a，b>R<c，d>有a＋d＝b＋c，则c＋b＝d＋a∴<c，d>R<a，b>对称性成立iii)<a，b>，<c，d>，<e，f>∈A×A，且<a，b>R<c，d>，<c，d>R<e，f> ∴a＋d＝b＋c且c＋f＝d＋e。 ∴a＋f＝b＋e ∴<a，b>R<e，f>传递性成立 由以上三条知，R是等价关系

（2）解：[<3，6>]R＝｛<1，4>，<2，5>，<3，6>，<4，7>，<5，8>，<6，9>｝ 3＋d＝6＋c其中1≤c，d≤9即d－c＝3第7页答案33、解：集合A全部划分为：由划分取得A上全部等价关系为：R1＝IA∪{<a，b>，<b，a>，<a，c>，<c，a>，<b，c>，<c，b>}R2＝IA∪{<b，c>，<c，b>}R3＝IA∪{<a，c>，<c，a>}R4＝IA

R5＝IA∪{<a，b>，<b，a>}第8页答案44、(1)任取x∈A，则<x,x>∈R

<x,x>∈R

<x,x>∈R

<x,x>∈R

<x,x>∈R-1

<x,x>∈R∘R-1(2)任取x∈A，则<x,y>∈R∘R-1

z(<x,z>∈R

<z,y>∈R-1）

（合成运算定义）

z(<y,z>∈R

<z,x>∈R-1）

（逆关系定义）

<y,x>∈R∘R-1（合成运算定义）(3)不一定。反例：集合A={1,2,3}，R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,3>},则R∘R-1={={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>}，上述关系中包含<1,2>,<2,3>,缺乏<1,3>，所以不是传递。第9页答案55、解：（1）ρ={{1,2}×{1,2}}∪{{3,4,5}×{3,4,5}}={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}∪{<3,3>,<3,4>,<3,5>,<4,3>,<4,4>,<4,5>,<5,3>,<5,4>,<5,5>}={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,3>,<3,4>,<3,5>,<4,3>,<4,4>,<4,5>,<5,3>,<5,4>,<5,5>}Mρ=

34512第10页答案66、解：<A,<=>哈斯图以下所表示

10987654321B1={1，2，3}B1={8，9，10}B3=A最大元31010最小元181极大元31010极小元181上界3,4,…,101010上确界31010下界11,2,…,81下确界181第11页答案77、解：<A,|>哈斯图以下所表示

B1={2，4}B1={4，6，9}B3=A最大元4无无最小元2无无极大元44,6,912,18极小元24,6,92,3上界4,12无无上确界4无无下界2无无下确界2无无249631218第12页答案88、解：（1）f∘g=g(f(x))=x2+2（2）g∘f=f(g(x))=(x+4)2-2=x2+8x+14（3）f非双射函数，所以没有反函数；g反函数为：g-1(x)=x-4第13页答案99、（1）若f∘g是单射，则f是单射；证实：设f：A→B，g：B→C，f∘g：A→C（f单射意味着：

x1≠x2f(x1)≠f(x2)）因为f∘g是单射，若a1≠a2，则

g(f(a1))≠g(f(a2))；依据g是函数，若g(f(a1))≠g(f(a2))，则f(a1)≠f(a2)依据单射判定定理可知f是单射。（2）若f