专题11 切线问题（讲义）2024高考总复习压轴题教师版

第第页专题11切线问题椭圆的切线方程：椭圆上一点处的切线方程是；椭圆外一点所引两条切线方程是.双曲线的切线方程：双曲线上一点处的切线方程是；双曲线上一点所引两条切线方程是.抛物线的切线方程：抛物线上一点处的切线方程是；抛物线上一点所引两条切线方程是.4.设抛物线的焦点为，若过点的直线分别与抛物线相切于两点，则.5.设椭圆:的焦点为，若过点的直线分别与椭圆相切于两点，则.6.设双曲线:的焦点为，若过点的直线分别与椭圆相切于两点，则.题型【一】、圆中的切线问题已知圆方程为:,若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是:已知圆方程为:,若已知切点在圆上,则该圆过点的切线方程为;已知圆方程为圆:.(1)过圆上的点的切线方程为.(2)过圆外一点作圆的两条切线,则切点弦方程为.例1．（2021·河南郑州·统考三模）已知圆过点、、，则圆在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设圆的一般方程为，将点、、的坐标代入圆的方程，可求得、、的值，可得出圆心的坐标，求出所在直线的斜率，可求得切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】设圆的一般方程为，由题意可得，解得，所以，圆的方程为，圆心为，直线的斜率为，因此，圆在点处的切线方程为，即.故选：A.【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．例2．（2023·全国·高三专题练习）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，可知圆的圆心为，半径，由切线长公式求出的长，进而可得以为圆心，为半径为圆，则为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，两方程作差后计算可得答案．【详解】根据题意，可知圆的圆心为，半径，过点作圆的两条切线，设切点分别为、，而，则，则以为圆心，为半径为圆为，即圆，所以为两圆的公共弦所在的直线，则有，作差变形可得：；即直线的方程为.故选：B.1．（2022·河北石家庄·一模）与直线垂直，且与圆相切的直线方程是（

）.A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【解析】【分析】设所求的直线方程为，解方程即得解.【详解】解：由题得直线的斜率为，所以所求的直线的斜率为，设所求的直线方程为.因为所求直线与圆相切，所以.所以所求的直线方程为或.故选：C2．（2022·江西·模拟预测（理））已知圆O：，直线l：，P为直线l上一动点，过点P作圆O的两条切线PA，PB，A，B为切点，则（

）A．点P到圆O上的点的最小距离为 B．线段PA长度的最小值为C．的最小值为3 D．存在点P，使得的面积为【答案】C【解析】【分析】根据给定条件结合圆的性质、圆的切线长定理逐项分析各个选项，计算判断作答.【详解】圆O：的圆心，半径，如图，对于A，点O到直线l的距离，则点P到圆O上的点的最小距离为，A不正确；对于B，由选项A知，，由切线长定理得，B不正确；对于C，依题意，，在中，，则，由选项B知，，而函数在上单调递增，则当时，，C正确；对于D，，，由选项B知，显然对单调递增，因此，当时，，D不正确.故选：C3．（2021·重庆八中模拟预测）已知直线与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是的中点，则的最小值为（

）A． B． C． D．3【答案】A【解析】【分析】设点，，根据圆的切线的性质可得C，D在以OP为直径的圆上，求得其圆的方程，再由C，D在圆上，可得直线CD的方程，求得直线CD恒过定点，从而得M在以OQ为直径的圆，得出圆的方程可求得的最小值．【详解】设点，，因为PD，PC是圆的切线，所以，所以C，D在以OP为直径的圆上，其圆的方程为，又C，D在圆上，则将两个圆的方程作差得直线CD的方程：，即，所以直线CD恒过定点，又因为，M，Q，C，D四点共线，所以，即M在以OQ为直径的圆上，其圆心为，半径为，所以，所以的最小值为，故选：A．【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成，将带入原方程之后，所以直线过定点；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.题型【二】、椭圆中的切线问题1.设Px0,y0设Px0,y0为椭圆x2a2+例3．（2023下·天津·模拟）圆在点处的切线方程为，类似地，可以求得椭圆在点处的切线方程为.【答案】【分析】类比得到在点处的切线方程为，代入数据计算得到答案.【详解】在点处的切线方程为，类比得到在点处的切线方程为，故椭圆在点处的切线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的推理能力和计算能力.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知圆在点处的切线方程为类似地,可以求得椭圆在点(4,2)处的切线方程为【答案】【分析】把写成，切线方程写成，根据圆方程与其切线方程的结构形式可以得到椭圆相应的切线方程.【详解】圆的方程可写成,圆在点处的切线方程为,类似地,因椭圆方程为：，故椭圆在点处的切线方程为即，故答案为：.1．（2022·河南焦作·一模（理））已知椭圆的左､右焦点分别为，，M为C上一点，且的内心为，若的面积为4b，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义，三角形的面积可求出椭圆的离心率，所求即为离心率的倒数可得解.【详解】由题意可得，的内心到轴的距离就是内切圆的半径.又点在椭圆上，由椭圆的定义，得，，即.又，所以，因为，所以，即，所以，解得或（舍去），所以.故选：B2．（2022·河南·一模（理））已知椭圆，其长轴长为4且离心率为，在椭圆上任取一点P，过点P作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（

）A． B． C． D．0【答案】D【解析】【分析】由已知条件解得a，b，进而可得椭圆的标准方程．不妨设，得，换元，利用函数单调性即可求解．【详解】由椭圆：，其长轴长为4且离心率为，，，，解得，，椭圆的标准方程为：．再设点，则，可得，点，，，则不妨设，则，令，，则，由对勾函数的性质可知，在递增，故，此时，故的最小值为0，故选：D．3．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的离心率可得，分析可知为圆的一条直径，利用勾股定理得出，再利用基本不等式可得出面积的最大值.【详解】因为，所以，，所以，蒙日圆的方程为，由已知条件可得，则为圆的一条直径，则，所以，，当且仅当时，等号成立.故选：A.题型【三】、双曲线中的切线问题1、设Px0,y过Px0,y例5．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆与双曲线有公共焦点，点在双曲线上，则该双曲线在点处的切线的斜率为．【答案】/【分析】依题意，注意到点在椭圆上，由此得到椭圆在点处的切线方程；再结合上述性质得到椭圆与双曲线在其公共点处的斜率间的关系，进而求出双曲线在点处的切线的斜率．也可以利用结论6直接得到答案．【详解】根据结论6，由题意得椭圆在点处的切线方程为，即，该直线的斜率为，由结论5得知，该双曲线在点处的切线的斜率为．故答案为：.例6．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线：上点．求双曲线在点处的切线的方程．【答案】.【分析】将双曲线在某点的切线方程转化为曲线在某点的切线方程，利用导数求出在某点的切线斜率，进一步求出切线的方程.【详解】由可得，根据题目条件，可知求曲线在点P处的切线的方程，∴曲线在点P处的切线斜率为∴曲线在点P处的切线方程为化简得∴双曲线C在点P处的切线的方程为．1、（2021·山西吕梁·一模（理））过双曲线：的右焦点作圆的一条切线，切点为B，交y轴于D，若，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】【分析】根据切线的性质，利用三角形的等积法建立方程可化简求出离心率.【详解】因为，且切点为B，所以，因为，所以，故，因为，故，化简可得，即，所以，故选：C2．（2022·广西广西·模拟预测（理））已知为双曲线的左焦点，若双曲线右支上存在一点，使直线与圆相切，则双曲线离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据直线与圆相切以及直线与渐近线的斜率的关系列不等式，化简求得离心率的取值范围.【详解】依题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，两边平方并化简得，双曲线的一条渐近线为，由于在双曲线的右支，所以，即，，.故选：A题型【四】、抛物线中的切线问题1、设Px0,y设Px0,y例7．（2023·全国·模拟预测）已知拋物线的一条切线方程为，则的准线方程为．【答案】【分析】由，消去得，由求出，从而求得准线方程．【详解】由，消去得，由题意，解得，则抛物线方程为：，所以抛物线的准线方程为：，即．故答案为：．例8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知为坐标原点，点在抛物线上，过直线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为．则的取值范围为．【答案】【分析】根据导数的几何意义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为在抛物线上，所以，解得，所以．设．由，求导得，则直线，直线．由解得所以，又在直线上，得．所以．故答案为：

【点睛】关键点睛：本题的关键是根据导数的性质求出抛物线的切线方程.1、(2014年辽宁卷)已知点在抛物线：的准线上，过点的直线与在第一象限相切于点，记的焦点为，则直线的斜率为()A.B.C.D.【答案】D【解析】抛物线为：，设，则切线方程为：，代入点A，得，选D。秒杀公式：阿基米德三角形：由，选D。2、（2021·江西·上高二中模拟预测（文））抛物线：与双曲线：有一个公共焦点，过上一点向作两条切线，切点分别为、，则（

）A．49 B．68 C．32 D．52【答案】A【解析】【分析】将P坐标代入双曲线方程求得双曲线的方程，进一步求得抛物线的方程中的参数p,利用导数几何意义求得两切线的方程，利用韦达定理求得两根之和，两根之积，利用抛物线的定义，将A,B到焦点的距离转化为到准线的距离，表示为A,B的纵坐标的关系式，求得|AF||BF|关于A,B纵坐标的表达式.【详解】由P在双曲线上，将P点坐标代入双曲线的方程，，∴双曲线的方程为，双曲线的焦点在y轴上，∴,∴,双曲线的焦点坐标为,抛物线的焦点坐标为,∵抛物线与双曲线的焦点重合，∴，∴抛物线的准线为，，抛物线的方程为,即,,设,切线PA,PB的斜率分别为,切线方程分别为将P的坐标及,代入，并整理得,,可得为方程的两个实数根，由韦达定理得,=,故选:A.【点睛】本题考查双曲线与抛物线的方程和性质，考查利用导数研究切线问题，关键是设而不求思想和韦达定理的灵活运用.题型【五】、综合问题例9．（2020·甘肃·武威第六中学模拟预测（文））已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点、，分别以、为切点作抛物线的切线、，直线、交于点.(1)求动点的轨迹方程；(2)求面积的最小值，并求出此时直线的方程.【答案】(1)(2)1，【解析】【分析】（1）设，，分别求出以为切点的切线方程，联立两切线方程表示出点的坐标，再设直线的方程为：，与抛物线的方程联立，代入可得点的轨迹方程；

（2）由（1）知和到直线的距离，利用三角形面积公式求得面积，可求得S的最小值和直线的方程.(1)设，，，则以A为切点的切线为，整理得：，同理：以为切点的切线为：，联立方程组：，解得，设直线的方程为：，联立方程组，整理得：，恒成立，

由韦达定理得：，，故，所以点的轨迹方程为；(2)解：由（1）知：，

到直线的距离为：，

∴，

∴时，取得最小值，此时直线的方程为.【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线的交点相关问题，涉及到抛物线的切线和三角形的面积的最值，直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．属中档题.例10．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知圆过点，且与直线相切.(1)求圆心的轨迹的方程；(2)过点作直线交轨迹于、两点，点关于轴的对称点为，过点作，垂足为，在平面内是否存在定点，使得为定值.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在定点，使得，点.【解析】【分析】（1）设出点M的坐标，利用给定条件列式化简作答.（2）设出直线的方程，与轨迹的方程联立，探求出直线所过定点，再推理计算作答.(1)设圆心，依题意，，化简整理得：，所以圆心的轨迹的方程是：.(2)依题意，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，，则，，由抛物线对称性知，点在轨迹C上，直线的斜率为，直线的方程为：，化简整理得：，由消去x并整理得：，则有，直线的方程化为：，因此直线恒过定点，因于点Q，于是得是直角三角形，且点是斜边的中点，则恒有，令点为E，从而有，所以存在定点，使得为定值，点E坐标为.【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设出直线方程，再与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理并结合已知推理求解.例11．（2022·山西晋中·一模（文））在平面直角坐标系xOy中，已知直线与圆：相切，另外，椭圆：的离心率为，过左焦点作x轴的垂线交椭圆于C，D两点．且．(1)求圆的方程与椭圆的方程；(2)经过圆上一点P作椭圆的两条切线，切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆相交于M，N两点（异于点P），求△OAB的面积的取值范围．【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】（1）由直线与圆的相切关系及点线距离公式求参数r，即可得圆的方程，根据椭圆离心率、及椭圆参数关系求出a、b、c，即可得椭圆的方程.（2）设、、，讨论直线PA，PB斜率存在性，则直线PA为、直线PB为，联立椭圆方程并结合所得一元二次方程求、，进而得直线PA为、直线PB为，结合在直线PA，PB上有AB为，联立椭圆方程，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式，结合三角形面积公式得求面积范围.(1)由题设，圆：的圆心为，因为直线与圆相切，则，所以圆的方程为，因为椭圆的离心率为，即，即，由，则，又，所以，解得，，所以椭圆的方程为．综上，圆为，椭圆为.(2)设点，，．当直线PA，PB斜率存在时，设直线PA，PB的斜率分别为，，则直线PA为，直线PB为．由，消去y得：．所以．令，整理得，则，所以直线PA为，化简得：