2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-4直线与圆锥曲线的位置关系

2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册

§4直线与圆锥曲线的位置关系

4.1直线与圆锥曲线的交点

基础过关练

题组一直线与椭圆的交点

1.(2021浙江金华曙光学校阶段考试)无论k为何值,直线y=kx+2和曲线

的交点个数为()

A.0B.1C.2D.1或2

2.(2020广东云浮期末)直线1:y=kx+2与椭圆C：y+y2=l有公共点,则k的取值

范围是.

2

3.(2020山东潍坊一中月考)经过椭圆£+y2=l的一个焦点作倾斜角为45°的直

线1,交椭圆于A,B两点,设。为坐标原点，则瓦？«OF=.

题组二直线与双曲线的交点

22

4.(2021河北保定第三中学期中)直线y=kx(k>0)与双曲线没有交点,则k

26

的取值范围为()

A.[~/+o°)B.(2,+8)

C.[V3,+OO)D.(0,V3)

5.若直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的左、右两支各有一个交点，则实数k的

取值范围是()

A.(-V2,-1)B.(1,V2)

C.(-V2,V2)D.(-1,1)

22

6.（2021江西南昌新建二中期中）过点P（4,3）与双曲线?白=1只有一个公共点

的直线的条数为（）

A.1B.2C.3D.4

题组三直线与抛物线的交点

7.（2021江苏南京天印高级中学调研）与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切

线方程为（）

A.2x-y+3=0B.2x-y-3=0

C.2x-y+l=0D.2x-y-l=0

8.（2020吉林长春外国语学校期中）设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过

点Q的直线1与抛物线有公共点，则直线1的斜率的取值范围是（）

A.卜制B.[-2,2]

C.[-1,1]D.[-4,4]

9.（多选）（2020江苏淮安期末）与直线x+y-V2=0仅有一个公共点的曲线是（

A.x2+y2=lB.y+y2=l

C.x2-y2=lD.y2=x

10.（2020广东佛山统考）过点（2,-1）的直线与抛物线y=x2只有一个公共点,这样

的直线共有多少条？

能力提升练

题组一直线与圆锥曲线的交点

1.（2021重庆西南大学附属中学月考）斜率存在的直线1过点（0,-1）且与双曲线

C:。-x2=l有且只有一个公共点，则直线1的斜率为（）

4

A.±V3B.±2

C.2或8D.土遮或±2

2.点P在直线l:y=x-1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A,B两点，且

|PA|=|AB|,则称点P为“A点”，那么下列结论中正确的是（）

A,直线1上的所有点都是“A点”

B,直线1上仅有有限个点是“A点”

C,直线1上的所有点都不是“A点”

D.直线1上有无穷多个点（不是所有的点）是“A点”

3.侈选）（2020山东德州期末）若原点0到直线1的距离小于1,则直线1与下列

曲线一定有公共点的是（）

A.y=x2-2B.（x-l）'+y2=l

C.y+y-1D.x2-y2=l

4.设抛物线C:yMx的焦点为F,直线1过点M（2,0）且与C交于A,B两点，|BF|=|,

若|制=人|BM|,则入=（）

A.-B.2C.4D.6

2

5.若直线mx-ny=4与圆x2+y2=4没有交点,则过点P（m,n）的直线与椭圆=1的

94

交点个数是

6.(2021中学生标准学术能力诊断性测试)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F的

直线交抛物线于A,B两点,若存=2而,则点A的坐标为.

7.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F作直线1交抛物线于A,B两点，点

若直线MA,MB的斜率分别为L,k2,贝ijk,+k2=.

8.(2020福建漳州期末)已知双曲线E的两个焦点分别为件(-2,0),E(2,0),并且

E经过点P(2,3).

⑴求双曲线E的方程；

(2)过点M(0,1)的直线1与双曲线E有且仅有一个公共点，求直线1的方程.

9.已知椭圆C:^+^=1(a>b>0)的左焦点F(-2,0),上顶点B(0,2).

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点M,N,且线段MN的中点G在圆x2+y2=l

上，求m的值.

题组二与交点有关的最值（或范围）问题

10.已知双曲线三-。=1的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有

124

一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（）

L

V3一,y]B.[-V3,V3]

Ac.L3

@

/

f3

vD.（-V3,V3）

11.（2021江苏镇江中学期中）已知双曲线（a>0,b>0）的右焦点为F,若过点

F且倾斜角为60°的直线1与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离

心率e的取值范围是（）

A.[2,+8)B.(1,2)

C.(2,+8)D.(1,2]

12.若点（%n）在椭圆9x2+*9上,贝哈的最小值为（）

D26rV3八3^2

AD.-----C.--U.一--------

.当324

13.（2022重庆第八中学校月考）已知圆x2+y2=4与x轴的交点分别为A,B,点P是

直线1:y=-x+6上的任意一点,椭圆C以A,B为焦点且过点P,则椭圆C的离心率

e的取值范围为（

A.B-(OT

C.

国）叱，1)

14.（2020江西省重点中学联考）已知直线y=kx-l与焦点在x轴上的椭圆

22

亡一+卷口（b>。）总有公共点,则椭圆C的离心率的取值范围是

4b2--------

22

15.（2021黑龙江省实验中学期中）点M是椭圆高+\=1上的任意点,则点M到直线

x+y-7=0的距离的最大值为.

16.（2021江苏南京金陵中学月考）阿基米德（公元前287年一公元前212年）不仅

是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以

圆周率JI等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知平面直角坐标系xOy中，

椭圆C：g+^=l（a>b>0）的面积为2V3n,两焦点与短轴的一个端点构成等边三角

形.

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵过点P（l,0）的直线1与C交于不同的两点A,B,求AOAB面积的最大值.

答案与分层梯度式解析

基础过关练

1.D因为直线y=kx+2过定点（0,2）,且椭圆三+：=1的上顶点也为（0,2）,所以当

94

直线的斜率为0时,直线与椭圆相切,仅有一个交点；当直线的斜率不为零（或不

存在）时,直线与椭圆有两个交点.故选D.

2.答案（-8,-日U偿茶8）

32

三+y2=1,消去丫，并整理得（2k2+i）x2+8kx+6=0.

（y=kx+2,

因为直线1与椭圆C有公共点，

所以A=（8k）-24（2k2+l）^0,

解得kN当或kW-日.

故答案为（-8,-闿U

3.答案4

解析若直线1经过椭圆的右焦点（1,0）,则其方程为y=x-1,代入椭圆方程

y+y2=l,并整理得3X2-4X=0,解得x=0或x=p所以两个交点的坐标分别为（0,-

i),所以a­诂=q；同理,若直线1经过椭圆的左焦点，也可得彼-05=-

综上所述,0A・0^=-|.

4.C解法一：由［上工:1得6-9卜2=1,由题知此方程无实数解,则］?W0,解

(26—

得kW-百或k^V3.又k>0,所以k^V3.故选C.

解法二:如图，

双曲线的渐近线方程为y=±V3x,若直线y=kx(k>0)与双曲线没有交点，则k^V3.

5.D当直线1:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的渐近线y=±x平行时,k=±1,此时，

直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，如图所示：

y二f

因为直线l：y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的左、右两支各有一个交点，所以实数k

的取值范围为故选D.

6.B因为双曲线的方程为三白1,所以a=4,b=3,其渐近线方程为y=±fx,易知

1694

点P(4,3)在直线y=1x上,如图所示：

4

当过点P(4,3)的直线与直线y=4x平行或与x轴垂直(过右顶点)时,与双曲线只

4

有一个公共点，

所以这样的直线有2条.故选B.

7.D因为切线与直线2x-y+4=0平行,所以可设切线方程为2x-y+m=O(m/4),联

立方程『"J\m=°,消去y得x2-2x-m=0,所以△=4+4m=0,解得m=-l,所以切线

方程为2x-y-l=0,故选D.

8.C因为y2=8x,所以Q(-2,0).

由题意可知直线1的斜率存在，

设直线1的方程为y=k(x+2).

当k=0时,满足题意；

当kWO时，因为1与抛物线有公共点，

所以方程组y=曹二“有解，

(y=k(x+2)

即k2x2+(4k-8)x+4k=0有解，

所以A=(4k2-8)2-16k4^0,即k2^l,所以TWkWl,故选C.

9.ACA.易得圆心(0,0),半径r=l,因为圆心(0,0)到直线x+y-V2=0的距离

d=^l=r,所以直线和圆相切,所以仅有一个公共点,符合题意;B.联立

(x+y-V2=0,

\X27消去y,可得3X2-4/X+2=0,所以△1=32-24=8>0,所以直线与椭圆

ly+y2=1，

有两个交点，不符合题意;C.因为x2-y2=l的渐近线方程为y=±x,所以直线x+y-

V2=0平行于渐近线且不与渐近线重合,所以直线x+y-V2=0与双曲线仅有一个公

共点,符合题意;D.联立卜2+/-/二0'消去x,可得y2+y-V2=0,所以△2=1+4企＞0,

y=x,

所以直线与抛物线有两个交点，不符合题意.故选AC.

10.解析①当过点(2,-1)的直线的斜率不存在时,直线方程为x=2,与抛物线

y=x?有且只有一个交点.

②当过点(2,-1)的直线的斜率存在,且与抛物线相切时,直线与抛物线只有一个

网”2)，消去y得2-+2k+l=0,则

交点，设直线方程为y+l=k(x-2),xkx

△=k2-4(2k+l)=0,解得k=4±2a即过点(2,-1)的切线有2条.

综上,过点(2,-1)且与抛物线y=x2有且只有一个交点的直线共有3条.

易错警示直线与抛物线只有一个公共点包括两种情况，一种是与抛物线相切,

另一种是与抛物线的对称轴平行.

能力提升练

1.D由题意,设直线1的方程为y=kx-l,代入双曲线方程，化简可得MT”?-

2kx-3=0,当k=4,即k=±2时-，Ik?-4)x2-2kx-3=0只有一解,满足直线1与双曲线

有且只有一个公共点；当k#±2时-,令A=4k2+12(k2-4)=0,解得k=±8,此时方

程有两个相等的实数根,满足直线1与双曲线有且只有一个公共点.综上,k=±2

或k=±V3.故选D.

2.A如图，

l:y=x-1

设点A,P的坐标分别为(m,n),(x,x-1),

则点B的坐标为(2m-x,2n-x+l).

IA,B在抛物线y=x2±,

.(n=m2,

''[2n-x+1=(2m-x)2,

消去n,并整理得x'(4m-l)x+2m"-1=0①，

△=(4m-1)-4(2m-1)=8m-8m+5>0恒成立,

•••方程①恒有实数解,故选A.

3.AC原点(0,0)到直线1的距离小于1,故直线1一定经过圆x2+y2=l内的点，如

图所示.故与直线1一定有公共点的曲线是A,C,故选AC.

4.C由题意得抛物线的焦点为F(l,0),准线方程为x=T,由|BF|=|及抛物线的

定义知点B的横坐标为点代入抛物线方程得B(|,±V2),根据抛物线的对称性,不

，2J2

妨取则1的方程为y=^(x-2),联立y=丁(X-2),得A(8,4-，则

y2=4x

|AM|=2g,|BM|=孚于是人=黑=4,故选C.

2\BM\

5.答案2

解析由题意知，圆心(0,0)到直线mx-ny-4=0的距离d=7七>2,整理得

22

m2+n2<4,所以P(m,n)在以(0,0)为圆心,2为半径的圆内，又因为椭圆三+一=1中

a=3,b=2,所以P(m,n)在椭圆内，所以过点P(m,n)的直线与椭圆三+。=1有2个交

94

点.

6.答案(2,±2V2)

解析由题意可知,抛物线的焦点为F(l,0),设直线AB的方程为x=my+l,由

仁=T+1'消去x得产4my+。,

V=4x,

设A(xi,y,),B(x2,y2)，:.yi+y2=4m,yiy2=-4,

•・•族=2丽，.•・-％=2y2,即丫2二-多，•・•yiyz二一qy广-4,解得y尸，xi二受二2,点

224

A的坐标为⑵2V2)或(2,-2a).

7.答案-2

解析由题知Fg,0).设直线1的方程为x=my+*将其与抛物线的方程y2=2px联

22

立，消去x并整理，得y-2pmy-p=0.设A(xbyj,B(x2,y2),则%y2Ap：所以

2

k]+k「yi-P।J2-P_2P(yi-p)j2p(y2-P)_2P(yi-p)।2P(丫2¥)_2P.y2-p\2p/J__

322

,X1+7x2+12pxr+p2px2+pyl-y-i.y2宠-y/2丫r为Vyi丫2)yi，21丫2

功也=—2.

rc=2,

v2-,24Q

.解析⑴设双曲线的方程为则解得

8E(a>0,b>0),uo’=1,

<c2=a2+b2,

Fl=?所以双曲线E的方程为x2-^=l.

lb"=3,3

(y=kx+1,

⑵显然直线1的斜率存在,则设直线1的方程为y=kx+l,联立2y21得(3-

5==1

k2)x2-2kx-4=0(*),当3-k2=0,即k=百或k=S时,方程(*)只有一解,直线1与双

曲线E有且仅有一个公共点,此时,直线1的方程为y=±V3x+l.当3-kVO,即

kW土遮时，要使直线1与双曲线E有且仅有一个公共点，则A=(-2k)2-4(3-

k2)X(-4)=0,解得k=±2,此时，直线1的方程为y=±2x+L

综上所述,直线1的方程为y=±V3x+l或y=±2x+l.

易错警示解决直线与双曲线的位置关系的题目时，要注意讨论联立直线与双曲

线的方程消元得到的方程是不是一元二次方程，即二次项系数是不是0.直线与双

曲线只有一个公共点包含直线与双曲线的渐近线平行的情况.

9.解析⑴由题意可得c=2,b=2,由a2++c2得a2=22+22=8,

22

故椭圆C的方程为？+一=1.

84

(2)设点M,N的坐标分别为(xbyj,y2),线段MN的中点G(x。,y0),

y=x+m,

X2y2消去y得3x2+4mx+2m2-8=o,贝0A=96-8m2>0,所以一2g<m<2g,

----1----=1

{84

myr.,4mrrHix±+x22m,m

因为Xi+X2=—,所以Xo=-2-yo=Xo+m=y,

又因为点G(x。,y。)在圆x2+y2=l上，

所以(号)Y斗

解得m=±哈满足-2日m<2g,

所以m的值为土言.

10.A双曲线二学1的渐近线方程是y=土"x,右焦点为F(4,0).当过点F的直

1243

线与双曲线的两条渐近线平行时,与双曲线的右支有且只有一个交点，那么斜率

故选A.

11.A若直线1与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小

于或等于渐近线的斜率的绝对值〉..”=亨三4,'eA.故选A.

12.D求弋的最小值即求点(m,n)与点(3,0)连线的斜率的最小值,设过点(m,n)

m-3

(y=k(%-3),

和点⑶0)的直线方程为y=k(x-3),联立2y2(9+k2)x2-6k2x+9(k2-l)=0,

z

(lxH——9=1

易知当A=0时，直线斜率取最小值，即A=(-6k2)2-4(9+k2)[9(k2-l)]=0=k22故

8

当k=-平时,斜率取最小值,即9的最小值为-乎.故选D.

4m-34

13.B由题可知c=2,不妨设A(-2,0),B(2,0),由P是直线1上的点,可知P到A、

B两点距离之和的最小值为B关于直线1的对称点B'与A的距离，

—=1_.

设B'(m,n),可得；：+2解得匕=2所以B'(6,4),所以

71十u=_m十/1$1m=6,

22'

IAB'|力(6+2)2+(4-0)2=4遍,所以椭圆的长轴长2a=4遥,所以a的最小值为

2遍，

所以椭圆的离心率的最大值为亲=?,故椭圆C的离心率e的取值范围为(0,?]

故选B.

14.答案(0当

解析因为椭圆C的焦点在x轴上，所以故4,

因为b>0,所以0<b<2.

因为直线y=