B函数与导数（文科）（高考真题模拟新题）

B函数与导数

Bl函数及其表示

lx?—11

14.Bl［2012•天津卷］已知函数)，=7二7的图象与函数y=丘的图象恰有两个交点，则

实数％的取值范围是.

2

lx-II［-(X+1)5-iWxvl,_

14.(0,l)U(l,2)［解析］y==T=#在同一坐标系内画出y

%一11%+1,XV-1或X>1,

lx2-II

=丘与y=-J的图象如图，

X-1

lx2-II

结合图象当直线y=H斜率从0增到1时，与丁=一「在X轴下方的图象有两公共点;

/x-1

lx2-II

当斜率从1增到2时，与丁=的图象在x轴上、下方各有一个公共点.

X-1

G，工20,

11.Bl［2012•陕西卷］设函数则用(-4))=_______.

U，x<0,

11.4［解析］由题目所给的是一分段函数，而式-4)=16,所以式16)=4,故答案为

3.Bl［2012•山东卷］函数/0)=嬴缶］+4］，的定义域为()

A.［—2,0)U(0,2］B.(-l,0)U(0,2］

C.［-2,2］D.(-1,2］

3.B［解析］本题考查函数的定义域，考查运算能力，容易题.

\+1>0,

要使函数处0=记六亍+亚丁？有意义，须有7n(X+1)^0,解之得-1<XW2且xWO.

14-/20,

\2+1,xWl,

3.Bl［2012•江西卷］设函数/)=(2则"3))=()

一,x>\,

U

A.1B.3C.1D.-^

2,2、13

3.D［解析］於)=§,胆3))=团2+l=§,故选D.

5.Bl［2012•江苏卷］函数九t)=1l-21ogd的定义域为.

5.(0,V6］［解析］本题考查函数定义域的求解.解题突破口为寻找使函数解析式有

X>0,L

意义的限制条件.由.、八解得0<rW旗.

1-210g

11.Bl［2012・广东卷］函数的定义域为

fx+120,

ll.{xLv》一1且xWO}［解析］本题考查函数的定义域，函数有意义，满足:

XTtO.

解得{xk2-1且x¥0}.

1,x>0,

U，X为有理数，

g问。，x为无理数，则刎兀))的值为

9.Bl[2012•福建卷]设.x)=<0,x=0,

「1,x<0,

()

A.1B.0C.-1D.7i

9.B［解析］解题的关键是求分段函数的值时，一定要认真分析自变量所在的区间，

因为各段上的解析式是不相同的..・.兀是无理数，，以兀户。，_/(gm))=/(o)=o,所以选择B.

13.B1Q012•四川卷］函数Ax)=『」的定义域是________.(用区间表示)

yjl~2x

13.(-8,［解析］由f"解得x<；,

［”11-2x20,2

B2反函数

2.B2［2012•全国卷］函数丫=4币。，-1)的反函数为()

A.y=x2—1(x^0)

B.y=f—1(x21)

C.y=f+1(x20)

D.y=f+1(x)1)

2.A［解析］本小题主要考查求反函数的方法.解题的突破口为原函数与反函数定义

域与值域的关系和反解x的表达式.

由y=山+1得/=x+1,即x=y2-1,交换x和y得y=x?T,又原函数的值域为y20,

所以反函数的定义域为x》0,故选A.

B3函数的单调性与最值

1-I-siriA"

16.B312012.课标全国卷］设函数兀r)=〈/+J的最大值为M,最小值为团，则M

+tn=.

16.［答案］2

2

&n_LLE、i~(x+1)+sinx2x+sinx2x+sinx,

［解析］因为/(x);----士力---=1+7+］，令Ag(x)=:+［，则/U)=g(x)+1.由

—9r-cinr

g(-X)=―/—=-g(x)及函数g(x)的定义域为R,得函数g(x)是奇函数’故g(x)max与

g(x)而n互为相反数.故g(x)max+g(x)min=0.易知M=gCOmax+1，机=gQ)min+1>所以"+机

=g(X)1mx+1+g(X)min+1=0+2=2.

13.B3［2012•安徽卷］若函数Ax)=l2x+al的单调递增区间是［3,+~),则a=.

13.-6［解析］容易作出函数兀0的图像(图略)，可知函数/(x)在(-8,上单调递

减，在［-去+8)单调递增.又已知函数人工)的单调递增区间是［3,+8),所以-^二？，

解得a=-6.

12.B2、D2［2012•四川卷］设函数0)=—-3)3+L1,{%}是公差不为0的等差数列,

/(<^l)+Xa2)^------吸田)=14,则处+a2H------b。7=()

A.0B.7C.14D.21

12.D［解析］记公差为d,

则加1)+加2)+…+尬7)

=(«|-3y+(°2-3)3++3-3)3+(fl|+02++07)-7

-33

=(«43d-3)3+(a4-2d-3)3+…+Q+2"-3)+(a4+3d-3)+7a斗-7

=7Q-3y+7X3Q-3)+7a4-7.

由已面，7Q-3)3+7X3(a,-3)+7a»-7=14,

即7(@-31+7X3Q-3)+7(“4-3)=0,

(«4-3)3+4(«4-3)=0.

因为./0=丁+4》在R上为增函数，且大0)=0,

故“4—3=0,即上=3,

二a1+°2+…+田=7a4=7X3=21.

2.B3、B412012•陕西卷］下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()

A.y=x+lB.y=—x3

C.y=：D.y=xLd

2.D|解析］本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，解题的突破口为单调性的定义、

奇偶性的定义与函数图像的对应关系.若函数为单调增函数，其图像为从左向右依次上升；

若函数为奇函数，其图像关于原点对称.经分析，A选项函数的图像不关于原点对称，不是

奇函数，排除；B选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；C选项函数的

图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；故选D.其实对于选项D,我们也可利用40、

x=0.x<0讨论其解析式，然后画出图像，经判断符合要求，故选D.

8.B3、B10［2012.北京卷］某棵果树前〃年的总产量5“与〃之间的关系如图1—6所示.从

目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，加的值为()

桢*

OlIi34567891011S

图1—6

A.5B.7

C.9D.11

8.C［解析］本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势，也就是函数增减速度的

快慢.

法一：因为随着n的增大，5“在增大，要使章取得最大值，只要让随着n的增大S-

-5„的值超过平均变化)的加入即可,s,+i-S”的值不超过(平均变化)的舍

去，由图像可知，6,7,8,9这几年的改变量较大，所以应该加入，到第10,11年的时候，改变

量明显变小，所以不应该加入，故答案为C.

法二：假设要是拿取的最大值，所以只要步尴言即可，也就是品二量"及言，即可

以看作点0M(m,S,“)与0(0,0)连线的斜率大于点©0，i(机+I,S,“7)与。(0,0)连线的斜率，所

以观察可知到第09(9,与0(0,0)连线的斜率开始大于点CiodO,SQ与0(0,0)连线的斜

率.答案为C.

14.A2、A3、B3、E3[2012•北京卷]已知fix)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2*-2,若

Vx£R,犬x)<0或g(x)<0,则〃?的取值范围是.

14.(-4,0)[解析J本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数

函数等基础知识和基本技能，考查分类讨论的数学思想、分析问题和解决问题以及综合运用

知识的能力.

由已知g(x)=2*-2<0,可得x<l,要使\/x£R,J(x)<0或g(x)<0,必须使时，/(x)

=m(x-2m)(x+m+3)<0恒成立，

当〃?=0时="?(x-2⑼(x+m+3)=0不满足条件，所以二次函数4x)必须开口向下，

2m<\,

也就是m<0,要满足条件,必须使方程/(x)=0的两根2/n,-m-3都小于1,即彳

-m-3<1,

可得，〃£(-4,0).

20.B3、D4、M4[2012・北京卷]设4是如下形式的2行3列的数表,

abc

def

满足性质尸：a,b,c,d,e,/G[—1,1],且一a+b+c+d+e+/'=0.

记o(A)为A的第i行各数之和(i=1,2),取4)为A的第j列各数之和(/=1,2,3)；

记出(A)为％(4)1,lr2(A)l,lcj(A)l,lc2(A)l,g(4)1中的最小值.

(1)对如下数表A，求k(4)的值；

11-0.8

0.1—0.3-1

(2)设数表A形如

11-l-2d

dd-1

其中一IWdWO,求k(4)的最大值；

(3)对所有满足性质P的2行3列的数表A,求k(A)的最大值.

20.解：⑴因为n(A)=1.2,r2(A)=-1.2,c,(>4)=1.1,c2(A)=0.7,c3(A)=-1.8,

所以A(A)=0.7.

⑵ri(A)=1-〃，吆力)=-1+2d,

cj(A)=C2(A)=1+</,C3(A)=-2-2d.

因为-IWdWO,

所以lri(4)l=lr2(A)l》l+d20,

Ic3(4)l2l+d20.

所以％(A)=1+dWl.当d=0时，k(A)取得最大值1.

(3)任给满足性质P的数表4如下所示).

abc

def

任意改变A的行次序或列次序，或把力中的每个数换成它的相反数，所得数表T仍满

足性质P,并且M4)=Z(T).

因此，不妨设〃(4)20,Q(A)20,6(4)20.

由-4)的定义知，

■(A)巨片(4),2(A)Wc](4),Z(A)WC2(A).

从而3M4)W〃(A)+c\(A)+C2(A)

=(。+。+c)+(。+J)+(Z?+e)

=(a+b+c+d+e+f)+(a+b-f)

=a+b_fW3.

所以人(A)W1.

由(2)知，存在满足性质P的数表A使％(A)=1.

故”4)的最大值为1.

6.B3、B4［2012.天津卷］下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为()

A.y=cos2x,x£R

R

B.y=log2Lrl,£R且xNO

D.y=1+i,R

6.B［解析］法一：由偶函数的定义可排除C、D,又,.・y=cos2x为偶函数，但在(1,2)

内不单调递增，故选B.

法二：由偶函数定义知y=log2lrl为偶函数，以2为底的对数函数在(1,2)内单调递增.

22.B3、B9、B12［2012・福建卷］已知函数段)=axsinx一声£R),且何0,1上的最大

、，n-3

值为六一.

(1)求函数兀0的解析式；

(2)判断函数/U)在(0,兀)内的零点个数，并加以证明.

22.解：(1)由已知/'(x)=a(sinx+.COSX),

对于任意x£(0,5),有sinx+xcosx>0.

3

当〃=0时，«r)=不合题意；

当a<0,x£(0,§时，f(x)<0,从而兀r)在(0,3内单调递减，

又大x)在［o,上的图象是连续不断的，故府)在［o,外上的最大值为犬0)=-|,不合

题意；

当a>0,xE(O,当时，/'(x)>0，从而兀0在(0,§内单调递增，又代r)在0,上的

图象是连续不断的，故段)在［。，外上的最大值为图即会得=写二，

解得。=1.

,3

综上所述，得f(x)=xsiru-2»

(2求田在(0,兀)内有且只有两个零点.

证明如下：

33

由(1)知,段)=邓欣一］,从而有/(0)=一］<0・

又大外在［。，"上的图象是连续不断的.

又由⑴知/(x)在［o,H上单调递增，故人X)在(0,9内有且仅有一个零点.

当兀］时，令g(x)=f(x)=sinx+xcosx.

由痣)=1>°，g5)=F<0，且g(x)在任，兀］上的图象是连续不断的，故存在机£

俘兀)，使得g(m)=0.

由g'(x)=2cosx-xsiar,知x£(去it)时，有g'(x)<0,

从而g(x)在0，兀)内单调递减.

当x唱，，。时，g(x)>g(m)=O,即/'(x)>0,从而加)在俘，”内单调递增，

故当去m时，犬外引自二气工〉。，

故危)在全m上无零点；

当x£(m,无)时，有g(x)<g(M=O,即/'(x)<0,从而应K)在(m,兀)内单调递减.

又加>0,加)<0,且-x)在［m,河上的图象是连续不断的，从而犬x)在(相，兀)内有且

仅有一个零点.

综上所述，式x)在(0,兀)内有且只有两个零点.

8.B3、B10［2012.北京卷］某棵果树前”年的总产量S,与”之间的关系如图1—6所示.从

目前记录的结果看，前〃，年的年平均产量最高，，”的值为()

+S.

olfi34567891011n

图1一6

A.5B.7

C.9D.11

8.C［解析］本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势，也就是函数增减速度的

快慢.

法一：因为随着n的增大，5.在增大，要使手取得最大值，只要让随着n的增大S,,7

-S„的值超过'*:&(平均变化)的加入即可,的值不超过1(平均变化)的舍

去，由图像可知，6,7,8,9这几年的改变量较大，所以应该加入，到第10.11年的时候，改变

量明显变小，所以不应该加入，故答案为C.

法二：假设.是中取的最大值，所以只要%*V即可，也就是7>小喋0即可

以看作点S“)与0(0,0)连线的斜率大于点Q,”，Q+1，Sm+i)与0(0,0)连线的斜率,所

以观察可知到第。9(9,59)与0(0,0)连线的斜率开始大于点Cio(lO,5Q与0(0,0)连线的斜

率.答案为C.

16.B3、B4［2012•浙江卷］设函数兀r)是定义在R上的周期为2的偶函数，当

时，J(x)=x+1,则通=.

3

16.［答案］

［解析］本题考查了函数的性质等基本知识，考查了学生的观察、变通能力，属于较易

题.

函数段)是定义在R上的周期为2的偶函数，且当x£［O,l］时，段)=》+1,那么)@=

(步*-%信H

B4函数的奇偶性与周期性

12.B4［2012・重庆卷］若J(x)=a+a)(x—4)为偶函数，则实数。=.

12.4［解析J因为Ax)=f+5-4)X-4“，所以根据/(X)为偶函数得«r)=犬-X),即/

+(a-4)x-4a=x2+(4-a)x-4a,所以a-4=4-。，解得a=4.

9.B4［2012•上海卷］已知y=/(x)是奇函数，若g*)=/U)+2且g(l)=l,则g(—1)=

9.3［解析］考查函数的奇偶性和转化思想，解此题的关键是利用y="r)为奇函数.

已知函数y=7U)为奇函数，由已知得g(l)=式1)+2=1,「.*1)=-1,

则4-1)=一犬1)=1，所以g(_1)=八_1)+2=1+2=3.

4.B4［2012•广东卷］下列函数为偶函数的是()

A.y=situB.y=x3

C.y=e"D.y—\n\jx2+1

4.D［解析］根据奇偶性的定义知A、B都为奇函数，C非奇非偶函数，D是偶函数，

所以选择D.

6.B3、B4［2012•天津卷］下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为()

A.y=cos2jf,xGR

B.y=log2lxl，xER月“WO

v—e-Jf

C.y=e,xGR

D.y=?+1,x£R

6.B［解析］法一：由偶函数的定义可排除C、D,又,ry=cos2x为偶函数，但在(1,2)

内不单调递增，故选B.

法二：由偶函数定义知y=log2kl为偶函数，以2为底的对数函数在(1,2)内单调递增.

2.B3、B4［2012•陕西卷］下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()

A.y=x+1B.y=—x}

C.y—~D.y=xlxl

2.D［解析I本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，解题的突破口为单调性的定义、

奇偶性的定义与函数图像的对应关系.若函数为单调增函数，其图像为从左向右依次上升；

若函数为奇函数，其图像关于原点对称.经分析，A选项函数的图像不关于原点对称，不是

奇函数，排除；B选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；C选项函数的

图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；故选D.其实对于选项D,我们也可利用x>0、

x=O、x<0讨论其解析式，然后画出图像，经判断符合要求，故选D.

16.B3、B4［2012•浙江卷］设函数式》)是定义在R上的周期为2的偶函数，当xG［0,l］

时，f(x)=x+\,则yQ)=.

16.［答案］|

［解析］本题考查了函数的性质等基本知识，考查了学生的观察、变通能力，属于较易

题.

函数/U)是定义在R上的周期为2的偶函数，且当xE［O,l］时，/(x)=x+l,那么(D=

B5二次函数

12.B5［2012・山东卷］设函数大外=5g(x)=-f+hx.若),=人》)的图象与),=83)的图象

有且仅有两个不同的公共点A(X”力)，8(X2,y2)，则下列判断正确的是()

A.X|+x2>0>yi+>2>0

B.xi+x2>0,yi+>,2<0

C.X］+X2<O,力+丫2>0

D.X|+x2<0,yi+y2<0

12.B［祕析，本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力，偏难.

当y=./(x)的图象与y=g(x)图象有且仅有两个不同的公共点时，其图象为

作出点A关于原点的对称点C,则C(-x”-yi),由图象知-Xi<X2，-)，1>丫2,故Xi+

%2>0,Jl+j2<0>故选B.

6.B5、B6［2012•上海卷］方程4'-2户|-3=0的解是.

6.log23［解析］考查指数方程和二次方程的求解，以及函数与方程的思想和转化思想,

关键是把指数方程转化为二次方程求解.

把原方程转化为⑵)2-2-2"-3=0,化为(2,-3)(2'+1)=0,

所以2*=3,或2*=-1(舍去)，两边取对数解得x=log23.

B6指数与指数函数

4.B6［2012•四川卷］函数y=/-a(a>0,且a#1)的图象可能是()

4.C［解析］由穴1)=0可知选C.

15.B6、B8［2012・山东卷］若函数/)=，3>0,aWl)在［-1,2］上的最大值为4,最小

值为〃?，且函数g(x)=(l—4,心笈在［0,+8)上是增函数，贝ljq=.

15.1［解析］本题考查指数函数与早函数的单调性，考查分类讨论思想及推理论证能

力，中档题.

•••g(x)=(l-4团人&在(0,+8)上单调递增，

1

・・rn<^.

当〃>1时，段)的最大值为〃2=4,即〃=2,m=27=*>1,与加相矛盾，舍去；

当0<4<1时，“¥)的最大值为。7=4,即Q=；,=。)2<|成立.

08

4.B6、B7［2012•天津卷］已知Q=2L2,^~-,c=2log52,贝ij①b,c的大小关系为

()

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<a<cD.b<c<a

4.A［解析］=2'2>2,1=(5)""=0।=2,c=21ogs2=logj4<1>

■'■c<b<a.

6.B5、B6［2012•上海卷］方程4*-2"+|—3=0的解是.

6.log23［解析］考查指数方程和二次方程的求解，以及函数与方程的思想和转化思想,

关键是把指数方程转化为二次方程求解.

把原方程转化为⑵)2-2-2"-3=0,化为(2,-3)(2'+1)=0,

所以2、=3,或2*=-1(舍去)，两边取对数解得x=log23.

v

11.B6、B7［2012•课标全国卷］当时，4<log,A，则a的取值范围是()

C.(1,啦)D.m,2)

11.B［解析］当a>\时，龈所以log/<0.不满足4*vlog„x,瞧去；当0<avl

时，因为0<rW；,数形结合易得，需满足gvlog',得2<log或，则相斗解得a>坐或a<

-喙结合前提条件得坐<a<L综上，“£惇，1).故选B.

5.B6、B8、B9［2012•北京卷］函数兀0=\一的零点个数为()

A.0B.1

C.2D.3

5.B［解析］本题考查指数函数和嘉函数的图象与性质，考查数形结合的数学思想.

由外0=8—(3)=0,可得及=自。令力(x)=g,g(x)=g。所以函数段)的零点个

数就是函数〃(x)与g(x)的交点个数，如图可知交点个数只有一个，所以函数式X)的零点个数

为1,答案为B.

7.El、B6、B7Q012・湖南卷］设c<0,给出下列三个结论：

cc

®^>1:®a<b；®logi(a—c)>loga(Z>—c).

其中所有的正确结论的序号是()

A.①B.①②

C.②③D.@@③

7.D［解析J本题考查不等式性质、指数式和对数式的大小比较，意在考查考生对不

等式性质、幕函数和对数函数的性质的运用能力；解题思路：转化为基函数比较大小，利用

换底公式比较对数式的大小.由不等式的基本性质可知①对；寡函数y=/(c<0)在(0,+8)

上单调递减，又。〉方〉1,所以②对；由对数函数的单调性可得log%(a-c)>log&S-c),又

由对数的换底公式可知lo&,(Z>-c)>loga(fe-c).所以log/,(a-c)>loga(b-c),故选项D正

确.

［易错点］本题易错一：不等式基本性质不了解，以为①错；易错二：指数式大小比较,

利用指数函数的性质比较，容易出错；易错三：对换底公式不了解，无法比较，错以为③错.

10.Al、E3、B6［2012・重庆卷］设函数兀0=*2—4*+3,g(x)=3*—2,集合

Rlf(g(x))>0l,则7="61118。)<2},则〃。可为()

A.(1,+8)B.(0,1)

C.(-1,1)D.(一8,1)

10.D［解析］因为J(g(x))=［g(x)］2-4g(x)+3,所以解关于g(x)不等式［g(x)『-4g(x)+3

>0,得g(x)<l或g(x)>3,即3*-2<1或3*-2>3,解得x<1或x>k>g35,所以M=(-

l)U(log35,+8),又由g(x)<2,即3、-2<2,3*<4,解得x<k)g34,所以N=(-8,

log34),故MCN=(-8,1),选D.

B7对数与对数函数

7.B7［2012,重庆卷］已知a=log,3+log,小，b=log,9—log/,c=log32,则a,b,c

的大小关系是()

A.a=b<cB.a=b>c

C.a<b<cD.a>b>c

l9p-

7.B［解析］因为a=log23V3>1,♦=log^=log23小>LX*-*0=log3l<log32<log33

=1,-,-a=b>c,选B.

11.B7［2012•全国卷］已知x=ln7t,j=log52,z=e-g,则()

A.x<y<zB.z<x<y

C.z<y<xD.y<z<x

11.D［解析］本小题主要考查对数与指数的大小比较，解题的突破口为寻找中间量作

比较.

1,o111

x=Inline=1,0<log52<log42=了l=e>e-厂7>亚=-'-y<z<x,故选D.

12.87［2012・北京卷］已知函数於)=lgx,若加份=1,则加2)+他2)=

12.2］解析］本题考查函数解析式与对数运算性质.因为/(ab)=lg(ab)=l,所以大/)

+f(b2)=Iga2+lg/?2=lg(ab)2=21g(ah)=2.

3.B7［2012・安徽卷］(Iog29)«og34)=()

11

A-4B2

C.2D.4

3.D［解析］(解法一)由换底公式，得(1唯9)«吗4)=僵备翟酱=4.

22

(解法二)(log29).(log34)=(log23)(log32)=2(log23)-2(log32)=4.

4.B6、B7［2012・天津卷］已知a=2R6c=21og$2,则a,h,c的大小关系为

：)

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<a<cD.b<c<a

4.A［解析］..七=21~>2,1=(5)°”=0。"<(/)।=2,c=21ogs2=logj4<1>

■'■c<b<a.

1.ELB6、B7［2012糊南卷］设c<0,给出下列三个结论:

cc

①^琮；®a<bt®log*(a-c)>\oga(b-c).

其中所有的正确结论的序号是()

A.①B.①②

C.②③D.©©③

7.D［解析］本题考查不等式性质、指数式和对数式的大小比较，意在考查考生对不

等式性质、寡函数和对数函数的性质的运用能力；解题思路：转化为霖函数比较大小，利用

换底公式比较对数式的大小.由不等式的基本性质可知①对；黑函数y=x,(c<0)在(0,+8)

上单调递减，又a>b〉1,所以②对；由对数函数的单调性可得log"(a-c)>log/>S-c),又

由对数的换底公式可知log/,3-c)>loga(i>-c),所以log从a-c)〉log,0-c),故选项D正

确.

［易错点］本题易错一：不等式基本性质不了解，以为①错；易错二：指数式大小比较,

利用指数函数的性质比较，容易出错；易错三：对换底公式不了解，无法比较，错以为③错.

2.Al、B7［2012•安徽卷］设集合A={x|—3W2x—1W3},集合B为函数y=lg(x—1)的

定义域，贝IJ4C8=()

A.(1,2)B.［1,2］

C.［1,2)D.(1,2］

2.D［解析］根据已知条件，可求得4=［-1,2］,8=(1,+8),所以An8=［-1，2］

n(1,+°°)=(1>2］,

r

11.B6、B7［2012•课标全国卷］当Oowg时，4<log,1x,则。的取值范围是()

A(0,坐)B停1)

C.(1,也)D.(^2,2)

11.B［解析］当a>\时，龈0<xwg,所以10即<0.不满足4"<log』,脑去；当0<。<1

时，因为04只，数形结合易得，需满足4分0以3，得2vlogq,则心>3，解得a>当或a<

-坐结合前提条件得唳a<l.综上，a£惇，I)故选B.

B8基函数与函数的图像象

15.B6、B8［2012•山东卷］若函数7(x)=，(a>0,aWl)在［-1,2］上的最大值为4,最小

值为"?，且函数g(x)=(l—4〃?立在［0,+8)上是增函数，贝.

15.；［解析］本题考查指数函数与嘉函数的单调性，考查分类讨论思想及推理论证能

力，中档题.

・••g(x)=(l-4〃7m在(0,+8)上单调递增，

1

呷・

当”>1时，段)的最大值为/=4,即a=2,/〃=2T=|>；,与加相矛盾，舍去；

当0<a<l时，4x)的最大值为a"=4,即4=(,m=自制成立.

5.B6、B8、B9［2012•北京卷］函数_/(x)=g—(；下的零点个数为()

A.0B.I

C.2D.3

5.B［解析］本题考查指数函数和嘉函数的图象与性质，考查数形结合的数学思想.

由於)=或一0=0,可得及=(；)二令人(尤)=+g(x)=G>,所以函数於)的零点个

数就是函数人。)与g(x)的交点个数，如图可知交点个数只有一个，所以函数人X)的零点个数

6.B

［解析］y=_/U)fy=/(-x)fy=/f-(x-2)］-y=-f(,2-x),即将y=/(x)的图象关于y轴对

称，再向右平移2个单位长度，然后关于x轴对称，即为B图象.

B9函数与方程

21.B9、B12、E5Q012•陕西卷］设函数式x)=x"+bx+c(〃GN+,b,cSR).

(1)设“22,b=l,c=-1,证明：Ax)在区间6，1)内存在唯一零点；

(2)设〃为偶数，叭火求b+3c•的最小值和最大值；

(3)设〃=2,若对任意和工2引一1,1］有纲)一/2)忘4,求b的取值范围.

21.解：(1)当b=l,c=-1,时，/(x)=x"+R-1.

•♦•伽)=&《卜l<0.

在6，1)内存在零点.

又当x£g,1)时，f'(x)=nxn1+1>0>

1)上是单调递增的,

1)内存在唯一零点.

7W卜1)W1,|0W"c<2,

(2)解法一:由题意知,即

-1W川)W1,[-2Wb+cW0.

由图像知，b+3c在点(0,-2)取到最小值-6,

在点(0,0)取到最大值0,

.•・b+3c的最小值为-6,最大值为0.

解法二：由题意知

-I勺⑴=1+b+cWl,即-2Wb+cW0,①

-1^/(-1)=1-b+c^l,即一2W-6+c<0,②

①X2+②得

-6W2(b+c')+(-b+c)=b+3cW0,

当b=0,c=-2时，b+3c=-6;当6=c=0时，b+3c=0,

所以b+3c的最小值为-6,最大值为0.

X-1)=1-Z>+c.

解法三:由题意知，

川)=1+Z?+c,

川)一卜1)川)+卜1)-2

解得。

22

/.fe+3c=2/(1)+/(-1)-3.

又-1力-1)<1,

*1•-6W-+3cW0,

所以/?+3c的最小值为-6,最大值为0.

(3)当n=2时，f(x)=x2+bx+c.

对任意小.-1,1］都有Kn)-於2)IW4等价于段)在［-1,1］上的最大值与最小值之差

MW4.据此分类讨论如下：

①当偿>1,即的>2时，M=1/(1)-/(-1)1=21/?1>4,与题设矛盾.

②当一1W-?<O,即0—时，

A/=Xl)-/(-1)=(1+收4恒成立.

③当OW-^Wl,即-2W&W0时，

M=/(T)_4_］=伊1卜4恒成立.

综上可知，-2W6W2.

注：②，③也可合并证明如下：

用max{a,/“表示。，》中的较大者.

当即-2WSW2时，

Af=max{/(1),X-1))-X-2)

_--1)+川)+心1)-*)1_(_号

Cb2\

=0+^02^4恒成立.

3.B9、Cl［2012,湖北卷］函数/U)=RCOS2R在区间［0,2兀］上的零点的个数为()

A.2B.3C.4D.5

3.D

、71

［解析］要使/U)=RCOS2T=0,则x=0或COS2R=0,而cos2x=0(尤6［0,2兀］)的解有工=不

a，T'所以零点的个数为5.故选D-

22.B3、B9、B12［2012・福建卷］已知函数犬x)=axsinx-,(°eR),且在［0,或上的最大

值为写3

(1)求函数兀0的解析式；

(2)判断函数ZU)在(0,兀)内的零点个数，并加以证明.

22.解：(1)由已知/'a)=o(sinx+xcosx),

对于任意x£(0,有sinji+xcosx>0.

3

当〃=0时，段)=-］,不合题意；

当〃<0,犬£(0,习时，f(x)<0,从而於)在(0,刍内单调递减，

又危)在［o,T上的图象是连续不断的，故段)在［o,小的最大值为则)=-|,不合

题意；

当a>0,x£(0,号时，f(x)>0,从而汽X)在(0,号内单调递增，又於)在［o,手上的

图象是连续不断的，故於)在［。，外上的最大值为局，即为-|=号2，

解得。=1.

3

综上所述，得f(x)=xsinx-

(2次x)在(0,兀)内有且只有两个零点.

证明如下：

33

由(1)知，於)=xsinx-］,从而有/(0)=一］<0・

又由⑴知人x)在［o,I上单调递增，故,危0在(0,m内有且仅有一个零点.

当x£［宗兀］时，令g(x)=/'(x)=sinx+xcosx.

由g③=1>。，g5)=-兀<0，且g(x)在任，兀］上的图象是连续不断的，故存在me

71兀)，使得g(，〃)=0.

由g'(x)=2cosx-xsiar,知x€仁，兀)时，有g'(x)<0,

从而g(x)在(看兀)内单调递减.

当x陪，机)时，g(x)>g(m)=O,即/(x)>0,从而加)在停相)内单调递增，

故当x£5'm时，危)》府)="°>0，

JI

故危:)在岳叫上无零点;

当工£(加,兀)时，有g(x)<g(〃2)=0,即(x)<0,从而/(X)在(〃2,兀)内单调递减.

又/(兀)<0,且外)在［%兀］上的图象是连续不断的，从而yu)在(加，兀)内有且

仅有一个零点.

综上所述，大x)在(0,兀)内有且只有两个零点.

5.B6、B8、B9［2012•北京卷］函数兀0=3一(，’的零点个数为(

)

A.0B.1

C.2D.3

5.B［解析］本题考查指数函数和嘉函数的图象与性质，考查数形结合的数学思想.

由外0=8-&=0,可得皮=&，令力(X)=g,g(x)=&。所以函数加)的零点个

数就是函数/?(x)与g(x)的交点个数，如图可知交点个数只有一个，所以函数式x)的零点个数

为1,答案为B.

虱/A(x)

B10函数模型及其应用

21.BIO、B11、812(2012・浙江卷］已知0GR,函数式的=4/-2ax+a.

(1)求兀0的单调区间；

(2)证明：当OWxWl时,1Ax)+12—H>0.

21.解：⑴由题意得了'(力=12?-"

当aWO时，/'(x)》0恒成立，此时兀0的单调递增区间为(-8,+oo).

当a>0时，f(x)=12^r-+此时

函数/U)的单调递增区间为'

(…，_耒］和［由+8),

单调递减区间为-、yi，-

(2)由于OWxWl,故

当aW2时,fix)+\a-2\=4x3-2ax+224x)-4x+2.

当a〉2时，/(x)+la-21=4?+2a(l-x)-2>4x3+4(1-x)-2=4x3-4x+2.

设g(x)=2?-2x+IQWxWl,则

g，(幻=6犬2-2=61-半)"田，

于是

卜，9惇」)

X0亚1

3

g'(x)——0+

g(x)1