解析几何专题之直线与圆锥曲线（1）-沪教版（上海）高中数学2019-2020学年高三数学二轮复习教案（教育机构专用）

沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学二轮复习解析几何专题之直线与圆锥曲线①教学目标直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点。对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。知识梳理一、解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存，（2）联立直线和曲线的方程组；（3）讨论类一元二次方程（4）一元二次方程的判别式（5）韦达定理，同类坐标变换（6）同点纵横坐标变换（7）x，y，k(斜率)的取值范围（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等二、运用的知识：（1）中点坐标公式：，其中是点的中点坐标。（2）弦长公式：若点在直线上，则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，或者。（3）两条直线垂直：则（4）韦达定理：若一元二次方程有两个不同的根，则。典例精讲例1.（★★★★）已知的三个顶点在抛物线:上运动，（1）求的焦点坐标；（2）若点在坐标原点，且，点在上，且，求点的轨迹方程；（3）试研究:是否存在一条边所在直线的斜率为的正三角形，若存在，求出这个正三角形的边长，若不存在，说明理由.解：(1)由得所以,焦点坐标为(2)设点的坐标为,边所在的方程为(显然存在的),与抛物线交于则得,又点在抛物线上,故有,或(舍)-------①又的斜率为,则有,既代入①故点轨迹为(注:没写扣1分)另解:由上式①过定点,,所以,,既【解2】设点的坐标为,方程为,由得方程为,则得,同理可得方程为恒过定点,,所以,,既(3)【解1】若存在边所在直线的斜率为的正三角形,设,(其中不妨设),则,------①令,则,即将①代入得,,-----------②线段的中点为,由①,②得的横坐标为,的纵坐标为又设由得点在抛物线上,则,即,又因为,【解2】设,的三边所在直线的斜率分别是------①若边所在直线的斜率为,边所在直线和轴的正方向所成角为,则,所以即-----②；又------③所以,将②,③代入上式得边长例2.（★★★★）设，常数，定义运算“”：，定义运算“”：；对于两点、，定义.(1)若，求动点的轨迹；(2)已知直线与(1)中轨迹交于、两点，若，试求的值；(3)在(2)中条件下，若直线不过原点且与轴交于点S，与轴交于点T，并且与(1)中轨迹交于不同两点P、Q,试求的取值范围．解：(1)设,则又由≥0可得P(,)的轨迹方程为，轨迹C为顶点在原点，焦点为的抛物线在轴上及第一象限的内的部分(2)由已知可得,整理得,由,得．∵，∴∴解得或(舍)；(3)∵∴OxyPSTQQ1P1OxyPSTQQ1P1分别过P、Q作PP1⊥y轴，QQ1⊥y轴，垂足分别为P1、Q1，则．由消去y得∴≥．∵、取不相等的正数，∴取等的条件不成立∴的取值范围是（2，+）；例3.（★★★★）给定椭圆：，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”．（1）若椭圆过点，且焦距为，求“伴随圆”的方程；（2）如果直线与椭圆的“伴随圆”有且只有一个交点，那么请你画出动点轨迹的大致图形；（3）已知椭圆的两个焦点分别是，椭圆上一动点满足．设点是椭圆的“伴随圆”上的动点，过点作直线使得与椭圆都各只有一个交点，且分别交其“伴随圆”于点．研究：线段的长度是否为定值，并证明你的结论．【解析】：（1）由题意得：，则；又由焦距为，所以焦距为故所求的“伴随圆”的方程为（2）由于椭圆的“伴随圆”与直线有且只有一个交点，则圆心到直线的距离等于半径，即故动点轨迹方程为即动点的轨迹是：以原点为圆心半径为３的圆上八分之一弧（除去两端点）如图（3）由题意得：得，半焦距则椭圆的方程为“伴随圆”的方程为①当，中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个交点，则其方程为或，当方程为时，此时与“伴随圆”交于点，，此时经过点（或）且与椭圆只有一个公点的直线（或），即为（或）显然直线，垂直；同理可证方程为时，直线，垂直，所以②当，都有斜时，设点，其中。设经过点与椭圆为只有一共点的直线为，则消去，得即经过化简得到：因为，所以有设，的斜率分为，因为，与椭圆都有只有一个交点，所以满足方程。所以，即，垂直．综合①②知：因为，经过点，又分别交其“伴随圆”于点，且，垂直，所以线段为“伴随圆”的直径，所以回顾