30680250 微专题：有关充要条件的证明 -2021-2022学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册

微专题：有关充要条件的证明【主题】有关充要条件的证明，要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”；【典例】例1、设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0；例2、若实数a，b满足，，且，则称a与b互补记，那么“”是“a与b互补”的条件；（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）例3、求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0；【即时练习】1、求证：ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0。2、已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c∈R，且a≠0)．证明方程f(x)＝0有两个不相等的实数根的充要条件是：存在x0∈R，使af(x0)＜0．3、探求：关于x的方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个大于1的实数根的充要条件。【教师版】微专题：有关充要条件的证明【主题】有关充要条件的证明，要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”；【典例】例1、设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0；【提示】注意认真审题；在本题中“条件”是：xy≥0；“结论”是：|x＋y|＝|x|＋|y|；【证明】①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以，等式成立；当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时，又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以，等式成立；当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，所以，等式成立；总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立；②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，所以，|xy|＝xy，即xy≥0；综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件；【说明】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题；判断命题的充要关系有三种方法：（1）定义法；（2）等价法，即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法；（3）利用集合间的包含关系判断，若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。例2、若实数a，b满足，，且，则称a与b互补记，那么“”是“a与b互补”的条件；（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）【提示】紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚；判断“a与b互补”和“a与b互补”的真假；【答案】充要；【解析】若，则，平方得，当时，，所以；当时，，所以，故a与b互补；若a与b互补，易得，故“”是“a与b互补”的充要条件；故答案为：充要条件；【说明】本题属于新定义问题；考查充分必要条件的判断，在确定了和的真假后可给出正确选择．例3、求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0；【提示】注意审题“一元二次”隐含条件“a≠0”；【证明】充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)因为ac<0，所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，所以方程一定有两不等实根，设两根为x1，x2，则x1x2＝eq\f(c,a)<0，所以方程的两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根；必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0)因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝eq\f(c,a)<0，即ac<0，综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0；【说明】充要条件的证明策略（1）要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真；（2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论；【归纳】充要条件的证明：要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）；要点解读：对于命题“若，则”①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题；②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题；③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题.拓展到：探求充要条件的两种方法：①先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明；②将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证。【即时练习】1、求证：ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0。【证明】①充分性：由a＋b＋c＝0得a＝－b－c，代入ax2＋bx＋c＝0，得(－b－c)x2＋bx＋c＝0，即(1－x)(bx＋cx＋c)＝0，所以，ax2＋bx＋c＝0有一根为1；②必要性：由ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，把它代入方程即有a＋b＋c＝0，综上可知，ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0；2、已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c∈R，且a≠0)．证明方程f(x)＝0有两个不相等的实数根的充要条件是：存在x0∈R，使af(x0)＜0．【证明】①充分性：若存在x0∈R，使af(x0)＜0，则b2－4ac＝b2－4a[f(x0)－axeq\o\al(2,0)－bx0]＝b2＋4abx0＋4a2xeq\o\al(2,0)－4af(x0)＝(b＋2ax0)2－4af(x0)＞0，所以方程f(x)＝0有两个不等实数根；②必要性：若方程f(x)＝0有两个不等实数根，则b2－4ac＞0，设x0＝－eq\f(b,2a)，a·f(x0)＝aeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))\s\up12(2)＋b\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))＋c))＝eq\f(b2,4)－eq\f(b2,2)＋ac＝eq\f(4ac－b2,4)＜0，所以存在x0∈R，使af(x0)＜0。3、探求：关于x的方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个大于1的实数根的充要条件。【解析】方法1：利用一元二次方程根与系数的关系．设方程的两根为x1，x2，使x1，x2都大于1的充要条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,x1＞1，,x2＞1.))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2m－1）2－4m2≥0，,（x1－1）＋（x2－1）＞0，,（x1－1）（x2－1）＞0))⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2m－1）2－4m2≥0，,（x1＋x2）－2＞0，,x1x2－（x1＋x2）＋1＞0))⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2m－1）2－4m2≥0，,－（2m－1）－2＞0，,m2＋（2m－1）＋1＞0))⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≤\f(1,4)，,m＜－\f(1,2)，,m＜－2或m＞0，))解得m＜－2为所求；所以，充要条件为：（—∞，－2）方法2：利用函数思想．令f(x)＝x2＋(2m－1)x＋m2，依题意，函数的两个零点都大于1的充要条件为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,－\f(2m－1,2)＞1，,f（1）＞0))⇔eq\b