函数的概念教学设计-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数的概念教学设计目标确立依据（一）课标分析课程标准要求①在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念（参见案例2），体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域。②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用。学业要求能够从两个变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图象的几何直观等多个角度，理解函数的意义与数学表达；理解函数符号表达与抽象定义之间的关联，知道函数抽象概念的意义。课程标准分析关于“学什么”的分析：①在“函数的概念”第一课时，学生学会用集合语言和对应关系刻画函数，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。②结合具体实例，知道对应关系可以用解析式、表格、图象等形式呈现。③从具体实例的共性抽象出函数的三要素，体会引入符号“f”表示对应法则的必要性。关于“怎么学”的分析：函数概念的学习本质是一种语言学习，因此不需要学生自创一套新的“话语方式”，采用“示范—模仿—熟练—运用”的方式是最有效的学习方式。关于“学到什么程度”的分析：①学生能从简单的实例中抽象出函数关系，并用“对应关系说”的语言描述两个变量之间的函数关系。②能识别出三种形式呈现的对应关系都是函数关系，说出三种形式各自呈现函数关系的优点和缺点。③明确函数“三要素”由定义域、值域、对应关系组成。知道定义域与集合A、值域与集合B的关系。（二）学情分析学生已有知识、生活经验及学习能力（1）已有知识分析学生在初中学习过函数，他们对函数的内涵已经有所了解。初中学习的函数概念表述为：如果在一个变化过程中有两个变量和，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，那么称是的函数。它强调的是用函数描述一个变化过程。例如，在匀速直线运动中（速度为），路程随着时间的变化而变化，因此路程是时间的函数，记为。通常把这样的表述称为函数的“变量说”。生活经验高一新生生活经验不足，从具体情境中抽象出函数模型的素材不够充足，需要借助教材和物理学习中的情境引发思考。教材不仅要求学生能从具体到抽象，还要求根据函数模型（解析式），还原具体情境。这对于学生是有较大困难的，因此需要提前准备一些生活情境、物理情境，启发学生思考、模仿。学习能力分析经过“第一章集合与常用逻辑用语”与“第二章一元二次函数、方程和不等式”的学习，学生已经体会到高中数学与初中数学学习的差别。在学习能力上较初中有所提升，也具备了一定的主动参与、合作意识和初步的观察、分析、抽象概括的能力。相比于初中，高中函数概念具有高度的抽象性，所以在教学中教师应该将重点放在概念的形成过程中，利用教材提供的案例来进行分析讲解，让学生在思考、交流中感受函数的数学模型。学生学习该内容时可能存在的思维障碍点本节课对学生而言最大的思维障碍有两个，一个是初中的函数概念强调在变化过程中两个变量的对应关系，没有强调自变量的范围。学生很难理解为什么要研究自变量的范围，所以教学中要通过恰当例子的比较必须注意自变量的取值范围。第二是学生难以理解为什么要引入新的函数概念。还用了“称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y=f(x),x∈A。”这中高度抽象的表达方式。学生的认知规律根据布鲁姆教育目标分类，可以把认知过程分为：记忆、理解、应用、分析、评价、创造六个过程。要掌握一个新的概念，需要与原有认知结构中的相关概念连接（即理解）。体会先用“变量说”判断是否有函数关系，再用两个非空数集之间元素的对应关系这种“话语方式”来描述每个情境中的函数关系（即应用）。函数的定义文字多、符号多、逻辑用语多，包含很多下位概念（如自变量、因变量、定义域、值域、对应法则、表示法等），学生能够整理新学内容的结构（及分析）。最后归纳共同特征，抽象出形式化的函数定义。能够结合已有知识，体会从“对应关系说”到“变量说”在对函数研究的内涵和应用范围方面的拓展（即评价）。质性和量化分析质性分析是了解学生存在的认知障碍有哪些，量化分析是分析学生在多大范围多大程度上存在困难。前者依托于教师的教学经验，后者依托于教学前测。围绕教学的主要内容，从具体到抽象、从简单到综合，设置教学前测练习，帮助学生发现本节内容的重点和难点，也帮助教师掌握学生的整体情况。（三）教学资源分析1、就地取材的资源（1）本节教材提供了四个具体案例，充分利用教材中的案例，一方面体会定义域对函数的影响，另一方面体会对应关系的三种表示方法，最后从中抽象出函数的概念，并明确函数的三要素。（2）初中数学所学过的一次函数、二次函数、反比例函数都可以作为从“变量说”到“对应关系说”的素材。（3）高一物理教材第一章内容为“运动的描述”，其中位移关于时间的函数关系、速度关于时间的函数关系，可以为学生理解函数的概念提供生动的模型和情境。2、教材如何体现课标和核心素养教材中的四个案例都明确了非空数集A和数集B，都准确地用集合语言和对应关系刻画函数，为学生学习函数概念的“对应关系说”，建立完整的函数概念提供了标准的示范。四个案例分别展示了对应关系的三种表示方法，学生通过对比四个具体情境，能够学会选择恰当的方法表示函数。教材的编排充分体现了课程标准对于“学什么”这一内容的确切要求。在函数概念的建立过程中，由特殊到一般的推理，体现了“逻辑推理”的核心素养；函数符号的抽象过程，体现了“数学抽象”的核心素养；通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力，培养“数学建模”的核心素养。体会抽象、推理、模型这三个数学基本思想，有利于学生基础知识和基本技能的初步掌握，为全章的学习打下基础。3、教材如何遵循学习规律：从具体到抽象，从实操到理论本单元整体内容的安排是依照“实际情境→‘变量说’判断→‘对应关系说’描述→归纳共同特征→函数的定义→函数的表示→联系与应用”的基本路径来展开研究。而本节内容覆盖了前五个环节。教材的编排体现“实践—理论—再实践”的认知规律。教学重难点教学重点：函数的概念，函数的三要素教学难点：函数的概念，对应法则的含义，符号y=f学习目标阅读教材的四个案例，在不看书的前提下，能用“变量说”的语言说出哪个变量是自变量，哪个变量是因变量，能说出两个变量之间的对应关系；能熟练地将“变量说”转化为“对应关系说”的语言，能正向说出A集合中的每一个元素在B集合中都有唯一确定的元素与之相对应，也能判断逆向的对应关系不能构成函数关系。归纳四个具体案例中的共性，抽象出函数的概念，能准确地背诵或默写出函数的概念。结合具体案例，分析说明为何定义域即非空数集A，值域为非空数集B的子集；分析说明定义域、对应法则、值域是函数的三要素；通过比较具体实例（例如教材中的案例一和案例二）说明不关注自变量范围会出现问题，能够判断即使对应关系相同，自变量范围不同，仍然不是同一个函数。能够准确说出对应法则可以用解析式、图象、表格等形式呈现，在三种形式给出的对应关系中能快速准确地计算或读取特定的函数值，能够简要分析三种表示形式各自的优势和不足。能说出y=f(x),x∈A的含义，比较初中函数表示方式与引入符号f表示对应法则之间的区别，说出符号f表示对应法则的优势。导向性评价通过阅读分析四个案例，诊断并发展学生对函数概念“对应关系说”的理解水平。通过归纳、抽象函数的概念，诊断并发展学生对函数“三要素”的认识水平。通过比较三种对应法则的表示方法，诊断并发展学生对函数对应法则的认识水平；通过评价符号f表示对应法则与初中的解析式之间的优劣，诊断并发展学生对这种高度抽象的表达方式的理解能力。教学过程设计创设情境，提出问题在客观世界中存在着各式各样的运动变化现象，例如，长征七号A遥二运载火箭在发射过程中,离发射点的距离随时间的变化而变化；一个装满水的游泳池在放水的过程中水面高度随时间的变化而不断降低；我国高铁营业里程逐年增加，已突破3.5万公里……所有些都表现为变量间的对应关系,我们可以通过函数模型来刻画,并且通过研究函数模型就能把握相应的运动变化规律。在初中,我们已经学习了函数的定义为：在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。引例(1)你能用已有的函数知识判断y=x与y=x(2)正方形的周长l与边长x的对应关系是l=4x，而且对于每一个确定的x都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数。这个函数与正比例函数y=4x相同吗？师生活动学生思考,教师指出要回答上述问题,就需要进一步学习函数的概念。设计意图带领学生复习初中“变量说”的函数概念,以问题引起认知冲突,激发学生的求知欲,体现进一步研究函数的必要性。抽象概念，内涵辨析问题1 某高速列车以350km/ℎ(1)这段时间内，列车行进的路程S（km）与运行时间t（h）的关系如何表示？(2)S是t的函数吗？请说明理由。(3)根据对应关系S＝350t，这趟列车加速到350km/ℎ后，运行１ℎ就前进了(4)如何用更精确的语言表示问题１中S与t的对应关系？师生活动教师呈现问题后等候学生思考，提醒学生在回答时不看教材。教师点评问题（1）和（2）的回答，提醒学生用初中所学的“变量说”的语言来描述这个函数。根据学生回答问题（3）的情况，邀请其他学生点评，并说明这一函数的自变量的取值范围。教师点评（4）的描述是否准确，再次重复，给出精确的表述的示范。设计意图通过问题思考引导学生感受思维和认知冲突，发现原有概念的不足之处,尝试用更为精确的语言来描述,为新概念的生成作铺垫。问题2 某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资。那么：（1）一个工人的工资ω和他工作天数d有什么关系？（2）一个工人的工资ω是他工作天数d的函数吗？（3）仿照问题1中对S与t的对应关系的精准刻画，如何用更精确的语言表示问题2中ω与d的对应关系？（符号语言到文字语言）（4）问题１和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？影响函数的要素有哪些呢？师生活动学生阅读题目后自主在学案上完成解答，对于问题（1）学生给出的答案大部分可能都是ω=350d工作天数/天123456所得工资/元3507001050140017502100问题（2）为判断题，可由学生举手呈现答案。问题（3）提醒学生不看教材回答，教师点评学生回答，再给出严谨规范的表述。通过问题（4）引导学生如何区分两个函数是否为同一个函数。设计意图问题（1）仍然是从“变量说”的角度判断ω与d是否具有函数关系；问题（2）是为了引导学生尝试用不同的方式表示函数，为学习抽象的对应关系f做准备；问题（3）让学生模仿问题1的方法给出表述，目的是让学生熟练用集合的语言和对应关系这种表述方式，同时训练学生的抽象概况能力。再通过问题（4）让学生聚焦关注函数的定义域问题和值域问题。问题3下图是某市某日的空气质量指数I随时间t的变化图。（1）你能根据图找到中午12：00的AQI的值吗？这个值是否唯一存在？（2）你能根据图象找到这一天任一时刻t的AQI值吗？（3）I是t的函数吗？（4）该函数有解析式吗？如何用更精确的语言表示问题3中I与t的对应关系？师生活动给学生阅读题目和思考问题的时间，对于问题（1）学生给出的答案后询问其他学生的意见。问题（2）询问学生读取数值的方法，顺便说明不同的t值可能对应相同的I值。对于问题（3）教师介绍人们对于函数概念的第一和第二次抽象认识。第一次抽象认识，主要代表人物为欧拉、伽利略、笛卡儿、约翰·伯努利，主要观点是：函数就是解析式。但新的问题出现了：并不是所有的函数关系都能用解析式表示。后来欧拉在《微分学原理》的序言中给出的函数定义是：如果某个量依赖于另一个量，当后面这个量变化时，前面这个量也随之变化，则前面这个量称为后面这个量的函数。这个时期是人们对于函数概念的第二次抽象认识。主要代表人物为欧拉，主要观点是：函数是指两个变量之间具有依赖关系。问题（4）中学生在描述集合B3时，容易将值域等价于B3={I|0<I<150}。在肯定学生的观察能力的同时，要提醒学生AQI的最小值I1>0,最大值I2<0。从而可以判定，若I的取值集合为C设计意图学生根据图象判断函数概念存在认知困难，特别是函数值所在的范围是不精确的，事实上从映射的角度来看，这时的映射就是非满射。所以通过问题（1）先让学生找到具体某个时刻的函数值，再通过问题（2）和（3）引导学生思考这样的对应关系是否可以表示一种函数，通过介绍函数概念的第一和第二次抽象认识，让学生体会函数概念的提出、修正，感受数学思维的一次突破。问题（4）进一步聚焦函数三要素中的值域，让学生充分体会在实际情况下，要获得精准的值域是十分困难的，但获得函数值的大致范围是相对容易的。问题4国际上常用恩格尔系数r（r＝食物支出金额总支出金额）反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。年份y2012201320142015201620172018201920202021恩格尔系数r（%）32.030.130.029.729.328.627.727.629.228.6（1）按表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？说明理由。（2）你能仿照前面的表示方法描述y与r的对应关系吗？（对应关系是什么呢？）（3）根据实际情况和恩格尔系数的定义，你认为r的取值范围是什么？师生活动给学生思考时间，对于问题（1）用举手投票的方式判断“恩格尔系数r是否是年份y的函数”，教师根据投票情况，分别请答案“是”和“不是”的同学说明理由，再交给学生继续讨论，最后教师强调要从函数的定义进行判断。对于问题（2）让学生在不看书的前提下，分组练习用集合语言和对应关系说来描述这个函数，然后让学生代表发言。对于问题（3）大部分同学给出的函数值的取值范围可能是表中的r的10个值，教师在此基础上引导：还有很多年份的恩格尔系数没有给出，应该根据恩格尔系数的定义给出r的变化范围为B4=r|0<r追问：在表中的任意一个年份y，都有唯一的r∈B4与之相对应，那反过来，B4中的每个值r一定都有唯一的师生活动学生思考后部分同学不能肯定答案，在此基础上可以小组讨论，最后教师点评学生的回答，并指出可以通过函数的定义判断，例如r=1时就没有年份y与之相对应，这个问题与问题3中的C3⊆B3={I设计意图学生对用表格表示的对应关系是否为函数关系的判断存在困难，通过问题和追问，引导学生思考，教师再加以解释，使学生更好的理解对应关系，为后面抽象出函数的对应关系f做好铺垫，同时进一步明确函数概念的三要素。问题5上述问题1∽4中的函数由哪些共同特征？你能根据这些特征得出函数概念吗？师生活动学生思考，教师可以呈现以下表格帮助学生理解问题情境自变量的集合对应关系函数值所在的集合函数值的集合案例1A1={t|S＝350tB1={S|0≤B案例2A2={ωB2={350B案例3A3={t|图3.1-2B3={I|0<C案例4A4={2012表3.1-2BC4={学生先独立思考再小组交流，教师做好总结和引导，归纳四个案例的共同特点：都包含两个非空数集，可以用A和B来表示；都有一个对应关系，可以有多种表示方法；对于数集A中的任意一个数，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数和它相对应。教师讲解：通过上述归纳，表示对应关系的形式，除了解析式、图象、表格之外，还有其他表示方法，为了表示方便，我们引进符号统一表示对应关系，然后我们可以给出函数的一般性定义：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。追问： （1）定义域就是集合A，为什么值域不是集合B呢？若函数的值域为C，则集合C与集合B有什么关系？请问y=fx是指y等于f与x的乘积吗？fa与师生活动学生思考并作出判断，教师肯定答案并补充，对于问题（1）让学生再次体会在实际情况下，要获得精准的值域是十分困难的，但获得函数值的大致范围是相对容易的。对于问题（2）函数符号y=f(x)是由德国数学家莱布尼兹在18世纪引入的．函数名称由中国清代数学家李善兰翻译引入，取“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”之意；即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，“函”是包含的意思，“函数”是指公式里含有变量的意思。y=f(x)为“y是x的函数”的数学表示，仅是一个函数符号，f(x)不是f与x相乘。“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如：“y=g(x)”，“y=ℎ(x)”；强调fa与fx的区别和联系，即fa表示当自变量x=a时函数fx的取值，是一个确定的函数值，而fx其实是变量通过本节的四个案例，我们依然认为函数是指两个变量之间具有依赖关系。但新的问题出现了：并不是所有的函数关系中的变量间都具有依赖关系。比如计程车路程与费用关系，当路程在起步价范围内，收取费用完全相同，即此段中两个变量之间不具有依赖关系。从而引发了人们对函数概念的第三次抽象认识。1837年狄利克雷认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数．”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受．至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。设计意图学生通过归纳四个典型案例中的共同特征，体会数学抽象的过程，概括出用集合语言与对应关系语言描述函数概念的定义。学以致用，巩固练习问题6：如果让你用函数的定义重新认识一次函数、二次函数与反比例函数，那么你能从函数的定义域、对应关系和值域去表述这些函数吗？师生活动给学生足够的时间去思考，然后选择三个小组，每个小组派出一名代表对一个函数进行总结，其他学生进行补充，教师进行点评。三个函数的表述如下表所示：设计意图：用函数的定义重新认识已经学过的函数，熟悉函数定义的语言，并与原来的表达方式相比较，通过辨析加强函数定义的理解，聚焦函数的三要素这个整体。问题7例题练习：函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个变量之间的对应关系，可以广泛的用于刻画一类事物中的变量关系和规律。例如，正比例函数y=kx(k≠师生活动学生尝试构建一些问题情景，然后相互交流、讨论，教师针对学生的回答进行点评。如果学生在构建过程中存在问题，可以给出提示：已知长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么y=x(10−x)。设计意图完成课本例题的过程中，进一步理解可以用来刻画现实世界中同类事物的变化规律，体会应用的广泛性，“回到实际中去”加深对函数概念、函数三要素的理解。归纳总结，提升理解回顾本节所学内容，回答以