上海市普陀区2024届高三下学期4月质量调研数学试卷

普陀区2023学年第二学期高三数学质量调研2024.4考生注意:1.本试卷共4页，21道试题，满分150分.考试时间120分钟.2.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3.务必用钢笔或圆珠笔在答题纸相应位置正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1．已知复数，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点的坐标为.2.已知，设集合，集合，若，则.3.若，则________.4.已知，若，则.5.若实数，满足，则的最小值为_______.6.设（），若，且，则_.7.为了提高学生参加体育锻炼的积极性，某校本学期依据学生特点针对性的组建了五个特色运动社团，学校为了了解学生参与运动的情况，对每个特色运动社团的参与人数进行了统计，其中一个特色运动社团开学第周至第周参与运动的人数统计数据如表所示.周次参与运动的人数若表中数据可用回归方程（，）来预测，则本学期第周参与该特色运动社团的人数约为_______.（精确到整数）8.设等比数列的公比为（），则“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是________.9.若向量在向量上的投影为，且，则________.10.已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，过点的直线的法向量，与轴以及的左支分别相交，两点，若，则双曲线的实轴长为_______.11.设，，是正整数，是数列的前项和，，，若，且，记，则________.12.已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分.13.从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为、，白球标记为，则它的一个样本空间可以是…………（）14.若一个圆锥的体积为，用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到的截面三角形的顶角为，则该圆锥的侧面积为…………（）15.直线经过定点，且与轴正半轴、轴正半轴分别相交于，两点，为坐标原点，动圆在△的外部，且与直线及两坐标轴的正半轴均相切，则△周长的最小值是…（）16.设是数列的前项和（），若数列满足：对任意的，存在大于的整数，使得成立，则称数列是“数列”.现给出如下两个结论：①存在等差数列是“数列”；②任意等比数列都不是“数列”.则…………（）①成立②成立①成立②不成立①不成立②成立①不成立②不成立三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，、分别是、的中点.（1）求证：∥平面；（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小.第第17题18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分设函数，，，它的最小正周期为.（1）若函数是偶函数，求的值；（2）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，求的值.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分张先生每周有5个工作日，工作日出行采用自驾方式，必经之路上有一个十字路口，直行车道有三条，直行车辆可以随机选择一条车道通行，记事件为“张先生驾车从左侧直行车道通行”.（1）某日张先生驾车上班接近路口时，看到自己车前是一辆大货车，遂选择不与大货车从同一车道通行.记事件为“大货车从中间直行车道通行”，求；（2）用表示张先生每周工作日出行事件发生的次数，求的分布及期望.20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设椭圆（），的离心率是短轴长的倍，直线交于、两点，是上异于、的一点，是坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线过的右焦点，且，，求的值；（3）设直线的方程为（），且，求的取值范围.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于函数，和，，设，若，且，皆有（）成立，则称函数与“具有性质”.（1）判断函数与是否“具有性质”，并说明理由；（2）若函数与“具有性质”，求的取值范围；（3）若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证.

评分标准（参考）一、填空题123456789101112（或）二、选择题13141516三、解答题17.（1）证明：取线段、的中点分别为、，连接、、，则，，………2分又底面是正方形，即，则，即四边形为平行四边形，则，………4分又在平面外，平面，则平面.………6分备注：连接，利用的中位线性质，证明结论，仿以上步骤，相应评分.（2）取线段的中点为点，连接、，又，底面是边长为的正方形，则，且，，………4分又二面角的大小为，即平面平面，又平面，平面平面，则平面，则是直线与平面所成角，………6分在中，，即，则直线与平面所成角的大小为.………8分备注：用空间向量求解，仿以上步骤相应评分.18.（1）因为函数的最小正周期为，且，所以，即，………2分则，又函数是偶函数，则，，………4分即，又，则.………6分（2）由得，，又，，则，即，………4分由余弦定理得，，………6分即，则.………8分19.（1）方法一：依题意得，两辆车从直行车道通行这个样本空间中的基本事件共有个，事件只有个基本事件，………4分则.………6分方法二：依题意得，事件的概率为，事件基于条件的概率为，…4分则.………6分（2）依题意得，事件发生的次数可取：，则的分布为：即，………4分则，………6分则所求的的期望.………8分20.（1）由的离心率是短轴的长的倍，得，即，………2分又，则，故椭圆的方程为.………4分（2）设的左焦点为，连接，因为，所以点、关于点对称，又，则，由椭圆的对称性可得，，且三角形与三角形全等，………2分则，………4分又，化简整理得，，则.………6分（3）设，，，又，则，，由得，，，由韦达定理得，，，………2分又，则，，因为点在椭圆上，所以，化简整理得，，………4分此时，，则，………6分令，即，则，则的取值范围是.………8分21.解：（1）（1）由，且，得，即，………2分则，即，即，则函数与“具有性质”.………4分（2）由函数与“具有性质”，得，，且，即，整理得，则对恒成立，………2分又，，则，，即，………4分则，即所求的的取值范围为.………6分（3）由函数在有两个零点，得，又函数与“具有性质”，则，即，