2025届高考数学精准突破复习求质点圆周运动的三角函数解析式

试卷第=page77页，共=sectionpages77页试卷第=page66页，共=sectionpages77页2025届高考数学精准突破复习

求质点圆周运动的三角函数解析式例1．多选题。如图是半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒，经过秒后，水斗旋转到点，设点坐标为，其纵坐标满足，），则下列说法正确的是（

）A．B．当时，点到轴距离最大为C．当时，函数单调递减D．当时，点的坐标为例2．某大型商场，在气温超过时，才开放中央空调，否则关闭中央空调，如图是该市夏季一天的气温（单位：）随时间（，单位：时）的大致变化曲线，该曲线满足函数关系.(1)求函数的解析式；(2)根据（1）结论判断，该商场中央空调在本天内何时开启？何时关闭？例3．位于大连森林动物园的“大连浪漫之星”摩天轮享有“大连观光新地标，浪漫打卡新高度”的美称.如图，摩天轮的轮径（直径）为70米，座舱距离地面的最大高度可达80米，摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要18分钟.如图，想要观光的乘客需先从地面上楼梯至乘降点，在乘降点处进入座舱后开始观光，再次回到乘降点时观光结束.本题中座舱都被视为圆周上的点，每个座舱高度忽略不计.(1)甲乙两名游客分别坐在两个不同的座舱内，他们之间间隔4个座舱，求劣弧的弧长（单位：米）；(2)设游客从乘降点处进舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式；(3)若游客在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使（1）中的甲，乙两位游客都有最佳视觉效果.例4．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），若以盛水筒P装刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：min）之间的关系为．(1)求A，ω，φ，b的值；(2)盛水筒出水后至少经过多长时间就可以到达最高点？例5．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每40s转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2m，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：m)(在水面下则d为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：s)之间的关系为．(1)求的值；(2)盛水筒出水后至少经过多长时间就可到达最高点？例6．如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．(1)已知在时刻t（单位：min）时点P距离地面的高度（其中，，，求函数解析式及2023min时点P距离地面的高度；(2)当点P距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？例7．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色．某摩天轮的半径为40米，中心点距离地面50米，摩天轮上均匀设置了12个座舱．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周需要3分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．(1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），求摩天轮转动一周的解析式；(2)若游客甲乘坐摩天轮转动一周，在这一圈内有多长时间，游客距离地面的高度超过70米？(3)当你登上摩天轮分钟后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，问你的朋友登上摩天轮多少时间后，你与你的朋友与地面的距离之差最大？并求出最大值．练习1．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）.某摩天轮的最高点距离地面的高度为45米，最低点距离地面5米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要10分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.设经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知.（，，）.(1)试求的解析式.(2)求游客甲坐上摩天轮转第一圈的过程中离地面高度为15米时的时刻.2．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式；(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值及此时的时间.3．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为130米，转盘直径为120米，开启后按逆时针方向匀速旋转，每30分钟转一圈．已知游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，设游客距离地面的高度（单位：米）关于进舱时间（单位：分钟）的函数解析式为（其中）．(1)求；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间游客距离地面的高度不小于100米？4．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈．规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数）(1)求与时间之间的关系．(2)求点第一次到达最高点需要的时间为多少?在转动的一个周期内，点在水中的时间是多少?(3)若在上的值域为，求的取值范围．5．如图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点)开始计算时间.(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？6．深圳别称“鹏城”，“湾区之光”摩天轮位于深圳，是目前亚洲最大的摩天轮.游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.已知某摩天轮的直径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，摩天轮运行时按逆时针方向匀速旋转，转一周需要．

(1)游客甲从最低点坐上摩天轮的座舱，转动后距离地面的高度为，求在转动过程中，关于的函数解析式；(2)已知游客在距离地面时的高度能够获得最佳视觉效果，记某游客从坐上摩天轮后达到最佳视觉效果的时刻依次为，求．答案第=page1313页，共=sectionpages1313页答案第=page1212页，共=sectionpages1313页参考答案：例1．ABD【思路】求出的解析式，判断的单调性和最值，从而可判断各选项是否正确.【详解】水车的半径，函数的最小正周期，所以，由，解得，且，所以，故A正确；，当时，，所以当，即时，取得最小值，故此时点到轴的距离为6，故B正确；当时，，所以在上先增后减，故C错误；当时，，此时点坐标为，故D正确.故选：ABD.例2．(1)(2)10时开，18时关【思路】（1）根据函数图象可知周期，进而根据求得的值；结合函数的最大值和最小值，可求得，代入最低点坐标，即可求得，进而得函数的解析式．（2）根据题意，令，解不等式，结合的取值范围即可求得开启和关闭中央空调时间．【详解】（1）由图知，，所以，解得：.由图知，，，所以：，将点代入函数解析式得：，得，即：，又因为，得，所以：.（2）依题意，令，可得，所以：，解得：令，得，，故中央空调应在上午10时开启，下午18时关闭．3．(1)米；(2)；(3)3分钟【思路】（1）根据给定条件，求出相邻两个座舱所对的圆心角，结合弧长公式即可计算得解.（2）以为原点建立坐标系，设函数，由已知求出参数得解.（3）由（2）的函数关系解不等式，求出最佳视觉效果时间，再求出甲乙时间间隔即可得解.【详解】（1）依题意，摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱，则两个相邻座舱所对的圆心角为，由甲､乙之间间隔4个座舱，得劣弧所对的圆心角为，弧长，所以劣弧的弧长为米.（2）以摩天轮转轮中心为坐标原点，分别以过的水平线和竖直线为轴，建立平面直角坐标系，如图，不妨设开始转动分钟后距离地面的高度，依题意，，则，，由转一周需要18分钟，得周期，解得，则，由，得，解得，因此，所以.（3）由在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果，得，即，则，即，解得，则分钟，于是有6分钟的时间使游客甲有最佳视觉效果，而劣弧所对的圆心角为，则甲乙相隔的时间，有，解得分钟，因此当甲刚开始有最佳视觉效果时，乙需3分钟后才有视觉效果，所以甲乙都有最佳视觉效果的时间为分钟.例4．(1)，，(2)．【思路】（1）由题可得，结合条件可得，即得；（2）由函数最大值为，可得，即，取得答案.【详解】（1）由图可知，风车水面以下最低点离水面深度为，所以可知，解得，．由题知，得，∴，∴，，∴．∴，，，．（2）由，得，∴，，即，．∴当时，盛水筒出水后第一次到达最高点，此时,即盛水简出水后至少经过就可以到达最高点.例5．(1)，，，；(2).【思路】（1）根据题意可确定的值，根据周期确定，由时，即可求得，即得答案；（2）由（1）可得，令其等于6，结合正弦函数性质，即可求得答案.【详解】（1）由图知，d的最大值为6，最小值为，即，解得，由每转1圈，得函数的最小正周期，解得，则，又当时，，即，则，由，得，所以，，，.（2）由（1）得，令，即，得，则，，当时,，所以至少经过后盛水筒P出水后就可到达最高点．例6．(1)，70m(2)0.5min【思路】（1）根据函数模型各个量的几何意义，与实际问题相联系可依次读出A，，h和的值，的值也可以通过起始位置对应的量代入函数模型求解，从而得出的解析式.（2）将实际问题转化成解三角不等式问题即可求解.【详解】（1）依题意，，，，则，所以，由可得，，，因为，所以,故在时刻时点距离地面的离度,因此，故2023min时点P距离地面的高度为70m.（2）由（1）知，其中,依题意，令，即，所以，解得，,则，,由，可知转一圈中有0.5min时间可以看到公园全貌.【点评】关键点评：本题为模型的实际运用，关键在于读懂题意，抓住模型中各个字母在实际情境中代表的意义.例7．(1)，.(2)一圈内有分钟，游客距离地面的高度超过70米.(3)朋友登上摩天轮后分钟或分钟后两者与地面的距离差最大且最大值为米.【思路】（1）根据题设可求，再根据最低点可求，故可求解析式；（2）求出不等式在上的解后可求时间长；（3）两者与地面的距离之差为，结合三角变换公式及正弦函数的性质可求最值及何时取最值.【详解】（1）因为摩天轮转一周需3分钟，故，，而时，取最小值，即，而时，取最大值即，所以，故，又，所以，而，故，故，.（2）令，故，而，故即，所以一圈内有分钟，游客距离地面的高度超过70米.（3）设两者之间的高度差为，，则化简得到，当时即时，,,故朋友登上摩天轮后或分钟后两者与地面的距离差最大且最大值为米.练习1．(1)（）(2)分钟和分钟.【思路】（1）根据题意由的最大值和最小值可求的,根据的值可求得的值，根据周期可求得的值；（2）根据题意，列出方程，解出即可.【详解】（1）且∴，由得∵，∴，又∴（）（2）令，∵，∴∴或∴或答：游客甲坐上摩天轮转第一圈的过程中离地面高度为15米的时刻为第分钟和分钟.2．(1)，(2)5分钟或25分钟(3)40米，或25分钟【思路】（1）设，根据所给条件求出、、、，即可得到函数解析式；（2）令，由余弦函数的性质及的范围计算可得；（3）设经过分钟后甲距离地面的高度为，则乙距离地面的高度为，，表示出，再由三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得.【详解】（1）设，由题意知，又，故，∵，∴，可取，∴，故解析式为，.（2）令，则，即.因为，则，所以或，解得或，故游客甲坐上摩天轮分钟或分钟时，距离地面的高度恰好为米.（3）经过分钟后甲距离地面的高度为，乙与甲间隔的时间为分钟，所以乙距离地面的高度为，，则两人离地高度差，，令，解得，又，所以当或分钟时，取得最大值米.3．(1)(2)10分钟【思路】（1）结合题意，结合三角函数性质计算即可得；（2）令，计算即可得.【详解】（1）由题意知，，有，解得，由时，，解得，又，；（2）由（1）知，，令，则．故，解得，又，，在摩天轮转动的一圈内，有分钟游客距离地面的高度不小于100米．12．(1)；(2)，；(3).【思路】（1）根据给定信息，设出，再求出参数即可.（2）由（1）的信息，结合周期性，求出点在对应条件下，点转动的圆心角弧度即可计算得解.（3）利用正弦函数的性质，列出不等式求解即得.【详解】（