2025届高考数学精准突破复习计数原理

2025届高考数学精准突破复习

计数原理一．分类加法计数原理与分步乘法计数原理【知识梳理】1、一般地，有如下分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法．2、一般地，有如下分步乘法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法．3、一般地，我们有：元集合A＝{，，…，}的不同子集有个．【针对性训练】1．从地到地要经过地，已知从地到地有三条路，从地到地有四条路，则从地到地不同的走法种数是A．7 B．9 C．12 D．162．给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用，，后两个字符用，，（允许重复），则不同编号的书共有A．8本 B．9本 C．12本 D．18本3．在如图1所示的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有种不同的方法；在如图2所示的电路中，合上两个开关可以接通电路，有种不同的方法．4．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有种．A．21 B．315 C．143 D．1535．（多选）下列说法中正确的有A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有种报名方法 B．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有种报名方法 C．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有种可能结果 D．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有种可能结果6．如图所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，且经过地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？7．立德幼儿园王老师和李老师给小朋友发水果．王老师的果篮有草莓，苹果，芒果3种水果．李老师的果篮里有苹果，樱桃，香蕉，猕猴桃4种水果．小华可以在两个老师的果篮里分别选一个水果．小华拿到两种不同的水果的情况有A．6种 B．7种 C．11种 D．12种8．某校教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，一学生由一层到五层的走法有A．10种 B．种 C．种 D．种9．用0，1，2，3，，9十个数字可组成多少个不同的．（1）三位数？（2）无重复数字的三位数？（3）小于500且没有重复数字的自然数？10．某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？二．排列与组合【知识梳理】4、一般地，从个不同元素中取出（）个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．5、我们把从个不同元素中取出（）个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．6、排列数公式：，其中，*，并且．特别地，我们把个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列．这时排列数公式中，即有．也就是说，将个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到的连乘积．正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示．于是，个元素的全排列数公式可以写成．另外，我们规定，．7、排列数公式还可以写成，它还有另一个变形．8、一般地，从个不同元素中取出（）个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．9、从个不同元素中取出（）个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．10、根据分步乘法计数原理，有．因此，组合数公式：，这里，*，并且．11、因为，所以上面的组合数公式可以写成．另外，我们规定．12、常见排列组合变形公式：（1）；（2）；（3）（4）．【针对性训练】11．从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B．甲乙丙，乙丙甲 C．甲乙，甲丙，乙丙，乙甲，丙甲，丙乙 D．甲乙，甲丙，乙丙12．下列问题中，是排列问题的为A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动 C．从，，，中选出3个字母 D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数13．下列各式中等于！的是A． B． C． D．14．从5人中选派2人去参加某个会议，则不同的选派方法的种数为A．9 B．10 C．20 D．2515．计算的值是A．72 B．102 C．5070 D．510016．两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有A．10种 B．15种 C．20种 D．30种17．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则下列说法正确的是A．恰好取到一件次品有不同取法 B．至少取到一件次品有不同取法 C．两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有不同取法 D．把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有不同种方式18．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，能得到多少个对数值？19．如图，一环形花坛分成，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为A．96 B．84 C．60 D．4820．用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是A．12 B．24 C．30 D．36三．二项式定理【知识梳理】13、二项式定理：，*．右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数（＝0，1，2，…，）叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：．14、二项式系数有以下性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等；这一性质可以直接由得到．直线将函数的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴．（2）增减性与最大值：因为，即，所以当＞1时，即时，随的增加而增大；由对称性知，当时，随的增加而减小．当是偶数时，中间的一项取得最大值；当是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．（3）各二项式系数的和：若令二项式的，，得．这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于．（4）奇数项和偶数项：奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．15、杨辉三角的特征：三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加．杨辉三角的第行的第个数可以表示为，第行就是的展开式的二项式系数．把上述特征用公式表示，有．【针对性训练】21．的展开式的第3项为A． B． C．60 D．22．二项式的展开式中项的系数为15，则A．4 B．5 C．6 D．723．若的展开式中，第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为A．4 B．27 C．36 D．10824．的展开式中含的项为A． B．175 C． D．25．的展开式中的系数为A．5 B．10 C．15 D．2026．在的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则A．6 B．7 C．8 D．927．已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为512，且展开式中的常数项为，则A．1 B．2 C．3 D．428．在二项式的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第4项为A． B． C． D．29．的展开式中的常数项为．30．若，则．

2024年高考数学三轮冲刺之计数原理参考答案与试题解析一．分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．从地到地要经过地，已知从地到地有三条路，从地到地有四条路，则从地到地不同的走法种数是A．7 B．9 C．12 D．16【考点】：计数原理的应用【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；：排列组合；65：数学运算；49：综合法【分析】根据题意，依次分析从到和从到的走法数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，从地到地要经过地，已知从地到地有三条路，则从到有3种不同的走法，从地到地有四条路，则从到有4种不同的走法，则从地到地不同的走法种数有种；故选：．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意分步计数原理与分类计数原理的不同，属于基础题．2．给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用，，后两个字符用，，（允许重复），则不同编号的书共有A．8本 B．9本 C．12本 D．18本【考点】：分步乘法计数原理【专题】11：计算题【分析】首先确定首字符，不重复，然后再确定第二和第三个字符，允许重复，最后利用分布乘法原理求值．【解答】解：分两步：第一步：选定首字符，有2种可能；第二步：选后两个字符，又分两小步：第二字符，有3种可能，第三个字符，也有3种可能，所以利用乘法原理，最终就有种不同的组合情况，也就是说可以编18本书．故选：．【点评】本题考查了分步乘法原理，解答的关键是明确首字符不重复，后两个字符允许重复，是基础题也是易错题．3．在如图1所示的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有5种不同的方法；在如图2所示的电路中，合上两个开关可以接通电路，有种不同的方法．【答案】5；6．【考点】排列、组合及简单计数问题【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；数学运算【分析】利用计数原理，求解结果即可．【解答】解：如图1所示的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有5种不同的方法；在如图2所示的电路中，合上两个开关可以接通电路，有种不同的方法．故答案为：5；6．【点评】本题考查分类计数原理与分步计数原理的应用，是基础题．4．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有种．A．21 B．315 C．143 D．153【考点】：计数原理的应用【专题】：排列组合【分析】根据题意，从中选出不属于同一学科的书2本，包括3种情况：①一本语文、一本数学，②一本语文、一本英语，③一本数学、一本英语，分别计算各种情况下对的取法数目，再由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，从中选出不属于同一学科的书2本，包括3种情况：①一本语文、一本数学，有种取法，②一本语文、一本英语，有种取法，③一本数学、一本英语，有种取法，则不同的选法有种；故选：．【点评】本题考查分类计数原理的运用，是简单的题目；解题时需要注意准确计算即可．5．（多选）下列说法中正确的有A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有种报名方法 B．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有种报名方法 C．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有种可能结果 D．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有种可能结果【答案】【考点】计数原理的应用【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；数学运算【分析】利用计算原理，转化求解判断选项的正误即可．【解答】解：对于、，4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每人都有3种选择，共有种报名方法，所以错误；正确；对于、，4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），每个冠军有4种可能，共有种可能结果，所以正确，错误．故选：．【点评】本题考查计数原理以及排列组合的简单应用，是中档题．6．如图所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，且经过地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？【考点】计数原理的应用【专题】计算题；转化思想；数学模型法；排列组合【分析】根据题意，从经到的最短路程，只能向左、向下运动，将原问题转化为排列、组合问题，分别讨论计算从到与从到的最短路程的情况数目，由分类计数原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，从经到的最短路程，只能向左、向下运动；从到，最短的路程需要向下走3次，向左走2次，即从5次中任取2次向左，剩下3次向下，有种情况，从到，最短的路程需要向下走2次，向左走2次，即从4次中任取2次向左，剩下2次向下，有种情况，则从经到的最短路程，共有种．【点评】本题考查排列、组合的应用，解题的关键将圆问题转化为排列、组合问题，由分步计数原理计算得到答案．7．立德幼儿园王老师和李老师给小朋友发水果．王老师的果篮有草莓，苹果，芒果3种水果．李老师的果篮里有苹果，樱桃，香蕉，猕猴桃4种水果．小华可以在两个老师的果篮里分别选一个水果．小华拿到两种不同的水果的情况有A．6种 B．7种 C．11种 D．12种【答案】【考点】分类加法计数原理【专题】分类讨论；综合法；排列组合；数学运算【分析】分两种情况：①小华拿到的水果里没有苹果，②小华拿到的水果里有苹果，再结合分步乘法和分类加法计数原理，得解．【解答】解：分两种情况：①小华拿到的水果里没有苹果，则在王老师的果篮里有2种选法，在李老师的果篮里有3种选法，共有种选法；②小华拿到的水果里有苹果，再分苹果来自王老师还是李老师的果篮，共有种选法，由分类加法计数原理知，共有种选法．故选：．【点评】本题考查计数原理的应用，熟练掌握分步乘法和分类加法计数原理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8．某校教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，一学生由一层到五层的走法有A．10种 B．种 C．种 D．种【答案】【考点】分步乘法计数原理【专题】计算题【分析】通过层与层之间的走法，利用分步计数原理求解一层到五层的走法．【解答】解：共分4步：一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五层2种，一共种．故选：．【点评】本题主要考查分步计数原理的应用，理解好题意，从一层到五层共分四步．9．用0，1，2，3，，9十个数字可组成多少个不同的．（1）三位数？（2）无重复数字的三位数？（3）小于500且没有重复数字的自然数？【答案】（1）900个．（2）648个．（3）379个．【考点】分类加法计数原理【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；数学运算【分析】分别根据分步计数原理可求出（1），（2），根据分类计数原理可可求出（5）．【解答】解：（1）百位不能为0，有9种选法，十位和个位各有10种选法，故有种，．（2）百位上的数字有9种选法，十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法，个位上的数字应从剩余8个数字中选取，所以共有个无重复数字的三位数．（3）满足条件的一位自然数有10个，两位自然数有个，三位自然数有个，由加法计数原理知共有个小于500且无重复数字的自然数．【点评】本题考查排列组合以及简单计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题．10．某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？【考点】：计数原理的应用【专题】11：计算题；：排列组合【分析】首先排列3个商业广告，有种结果，再在三个商业广告形成的四个空中排列三个元素，注意最后一个位置一定要有广告共有种结果，根据乘法原理得到结果．【解答】解：由题意知，这里是元素不相邻的问题，首先排列3个商业广告，有种结果，再在三个商业广告形成的四个空中排列三个元素，注意最后一个位置一定要有广告，共有种结果，根据分步计数原理知共有种结果，【点评】本题考查分步计数原理，注意题目中对于元素要不同的限制条件，一是有不相邻，二是有一个位置不能是一种元素，并且还不能空着，注意这几种不同要求要同时满足．二．排列与组合11．从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B．甲乙丙，乙丙甲 C．甲乙，甲丙，乙丙，乙甲，丙甲，丙乙 D．甲乙，甲丙，乙丙【答案】【考点】排列、组合及简单计数问题【专题】转化思想；综合法；排列组合；逻辑推理【分析】利用排列组合的性质即可求解．【解答】解：从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法列举如下：甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙，共6种，故正确，故选：．【点评】本题考查了排列组合的简单计数问题，属于基础题．12．下列问题中，是排列问题的为A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动 C．从，，，中选出3个字母 D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数【答案】【考点】排列及排列数公式【专题】应用题；转化思想；综合法；排列组合；数学抽象【分析】根据排列组合定义分析即可．【解答】解：中3名同学不同，参加兴趣小组科目也不同，可知是排列问题，对；中从甲、乙、丙三名同学中选出两人只参加一项活动，可知和选人顺序无关，错；中从，，，中选出3个字母没说干啥，可知选字母与顺序无关，错；中从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数，可知选出的两位数在十位还是个位结果是不同的是排列问题，对．故选：．【点评】本题考查排列组合定义，考查数学抽象能力，属于基础题．13．下列各式中等于！的是A． B． C． D．【答案】【考点】排列及排列数公式【专题】对应思想；转化法；排列组合；数学运算【分析】根据排列数的公式，进行化简，逐一判断即可．【解答】解：！，故错误；！，故错误；！，故正确；！，故错误．故选：．【点评】本题考查了排列数公式的应用问题，是基础题目．14．从5人中选派2人去参加某个会议，则不同的选派方法的种数为A．9 B．10 C．20 D．25【答案】【考点】排列、组合及简单计数问题【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算【分析】利用排列组合知识求解．【解答】解：由题意可知，不同的选派方法的种数为，故选：．【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．15．计算的值是A．72 B．102 C．5070 D．5100【考点】：组合及组合数公式；：排列及排列数公式【专题】11：计算题；49：综合法；35：转化思想；：排列组合【分析】利用排列以及组合数公式求解即可．【解答】解：．故选：．【点评】本题考查排列数以及组合式公式的应用，是基本知识的考查．16．两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有A．10种 B．15种 C．20种 D．30种【答案】【考点】计数原理的应用；排列、组合及简单计数问题【专题】计算题【分析】根据分类计数原理，所有可能情形可分为三类，在每一类中可利用组合数公式计数，最后三类求和即可得结果【解答】解：第一类：三局为止，共有2种情形；第二类：四局为止，共有种情形；第三类：五局为止，共有种情形；故所有可能出现的情形共有种情形故选：．【点评】本题主要考查了分类和分步计数原理的运用，组合数公式的运用，分类讨论的思想方法，属基础题17．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则下列说法正确的是A．恰好取到一件次品有不同取法 B．至少取到一件次品有不同取法 C．两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有不同取法 D．把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有不同种方式【答案】【考点】排列、组合及简单计数问题【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；数学运算【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于：在含有3件次品的10件产品中，任取2件，恰好取到1件次品包含的基本事件个数为，正确，对于：至少取到1件次品包括两种情况：只抽到一件次品，抽到两件次品，所以共有至少取到一件次品有，错误，对于：两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有不同取法，正确，对于：有次品即可，所以把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有，错误，故选：．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．18．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，能得到多少个对数值？【考点】排列、组合及简单计数问题【专题】分类讨论；定义法；排列组合；数据分析【分析】根据对数的定义，分别讨论真数为1时，以及排除对数值相同的两个对数值即可．【解答】解：若真数为1，此时对数值为0，此时有一个，2，3，4，7，9，任取两个不同的数有个对数值，其中，，，，对数重复4个，故总共有个不同的对数值．【点评】本题主要考查简单的计数问题，对应要进行分类讨论，去掉重复的是解决本题的关键．比较基础．19．如图，一环形花坛分成，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为A．96 B．84 C．60 D．48【答案】【考点】等可能事件和等可能事件的概率【专题】压轴题【分析】这道题比起前几年出的高考题要简单些，只要分类清楚没有问题，分为三类：分别种两种花、三种花、四种花，分这三类来列出结果．【解答】解：分三类：种两种花有种种法；种三种花有种种法；种四种花有种种法．共有．故选：．【点评】本题也可以这样解：按顺序种花，可分、同色与不同色有．20．用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是A．12 B．24 C．30 D．36【考点】：排列、组合及简单计数问题【专题】：排列组合【分析】先涂前三个圆，再涂后三个圆．若涂前三个圆用3种颜色，求出不同的涂法种数．若涂前三个圆用2种颜色，再求出涂法种数，把这两类涂法的种数相加，即得所求．【解答】解：先涂前三个圆，再涂后三个圆．因为每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，分两类，第一类，前三个圆用3种颜色，后三个圆也用3种颜色，若涂前三个圆用3种颜色，有种方法；则涂后三个圆也用3种颜色，有种方法，此时，故不同的涂法有种．第二类，前三个圆用2种颜色，后三个圆也用2种颜色，若涂前三个圆用2种颜色，则涂后三个圆也用2种颜色，共有种方法．综上可得，所有的涂法共有种．故选：．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．三．二项式定理21．的展开式的第3项为A． B． C．60 D．【答案】【考点】二项式定理【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算【分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，求出的展开式的第3项．【解答】解：的展开式的第3项为，故选：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．22．二项式的展开式中项的系数为15，则A．4 B．5 C．6 D．7【考点】：二项式定理【专题】34：方程思想；：定义法；：二项式定理【分析】根据二项式展开式的通项公式，列出方程求出的值．【解答】解：二项式的展开式中项的系数为15，，即，解得或（不合题意，舍去），的值是6．故选：．【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题．23．若的展开式中，第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为A．4 B．27 C．36 D．108【答案】【考点】二项式定理【专题】方程思想；分析法；计算题；二项式定理；数学运算【分析】利用求出，再利用展开式求出第四项．【解答】解：展开式的第项为，因为第三项的二项式系数为6，所以，解得．所以第四项为．故选：．【点评】本题考查二项式定理的展开式，属于基础题．24．的展开式中含的项为A． B．175 C． D．【答案】【考点】二项式定理【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；数学运算【分析】将条件式子变形为，求出的展开式，进一步计算可得含有的项．【解答】解：，又，所以含的项为．故选：．【点评】本题考查了二项式定理中求指定项的问题，属于基础题．25．的展开式中的系数为A．5 B．10 C．15 D．20【答案】【考点】二项式定理【专题】