湖北省黄冈市洗马中学高三数学理摸底试卷含解析

湖北省黄冈市洗马中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在区间(0,3)上任取一个实数x，则的概率是(

)A. B. C. D.参考答案：C在区间(0,3)上任取一个实数x，若，则.∵(0,3)的区间长度为3，(0,1)的区间长度为1∴在区间(0,3)上任取一个实数x，则的概率是故选C.

2.若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B．﹣ C． D．4参考答案：C【考点】复数求模；复数的基本概念．【分析】根据复数的有关概念进行运算即可．【解答】解：由（3﹣4i）z=|4+3i|，得（3﹣4i）z=5，即z===+i，故z的虚部为，故选：C3.已知命题p、q，则“p∧q是真命题”是“￢p为假命题”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据复合命题之间的关系结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若p∧q是真命题，则p，q都是真命题，则￢p是假命题，即充分性成立，若￢p是假命题，则p是真命题，此时p∧q是真命题，不一定成立，即必要性不成立，故“p∧q是真命题”是“￢p是假命题”的充分不必要条件，故选：B．4.若a，b均为实数，且方程无实根，则函数是增函数的概率是A．

B．

C．

D．参考答案：A5.函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致图象是参考答案：C略6.复数=【

】

(A)2

(B)-2

(C)2i

（D）-2i参考答案：.【解析】.

7.已知函数（，且）的图象恒过定点A，若点A在函数的图象上，其中，则的最小值为A．1

B．4

C．

D．2参考答案：B略8.为研究需要，统计了两个变量x，y的数据·情况如下表:

其中数据x1、x2、x3…xn，和数据y1、y2、y3，…yn的平均数分别为和，并且计算相关系数r＝-0.8，回归方程为，有如下几个结论：①点(，)必在回归直线上，即＝b+；②变量x，y的相关性强；③当x＝x1，则必有；④b＜0．其中正确的结论个数为A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：C【分析】根据回归方程的性质和相关系数的性质求解.【详解】回归直线经过样本中心点，故①正确；变量的相关系数的绝对值越接近与1，则两个变量的相关性越强，故②正确；根据回归方程的性质，当时，不一定有，故③错误；由相关系数知负相关，所以，故④正确；故选C.【点睛】本题考查回归直线和相关系数，注意根据回归方程得出的是估计值不是准确值.9.若a∈（0，），且sin2a+cos2a=，则tana的值等于A.

B.

C.

D.参考答案：D

本题主要考查三角函数的平方和公式以及倍角公式，属容易题。，，则，故选D10.函数的图象如下图所示，则函数的图象大致是参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

复平面上，非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，·z2的实部为零，z1的辐角主值为，则z2=_______．参考答案：－+i解：z1满足|z－i|=1；argz1=，得z1=+i，=cos(－)+isin(－)．设z2的辐角为θ(0<θ<π)，则z2=2sinθ(cosθ+isinθ)．·z2=2sinθ[cos(θ－)+isin(θ－)]，若其实部为0，则θ－=，于是θ=．z2=－+i．12.曲线在点处的切线方程是，若+=0，则实数a=

。参考答案：a=-213.若曲线f（x）=在点（a，f（a））处的切线与两坐标轴围成的图形的面积为，则a的值为．参考答案：1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求导数可得切线的斜率，由点斜式方程进而可得切线的方程，可得其截距，运用三角形的面积公式可得a的方程，解方程可得．【解答】解：对y=求导数可得y′=，∴曲线在P（a，）处的切线斜率为k=，∴切线方程为：y﹣=（x﹣a），令x=0，可得y=，即直线的纵截距为，令y=0，可得x=﹣a，即直线的横截距为﹣a，∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为：S=||?|﹣a|=，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查三角形的面积公式，考查运算能力，属基础题．14.在平行四边形ABCD中，已知，点E是BC的中点，则=﹣3参考答案：考点：平面向量数量积的运算．分析：利用向量的运算法则将用已知向量表示，利用向量的运算律将用已知的向量表示出，求出的值解答：解：∵∴===﹣3故答案为﹣3点评：本题考查利用向量的运算法则将未知向量用已知的向量表示；从而将未知向量的数量积用已知向量的数量积表示．15.关于x的方程g（x）=t（t∈R）的实根个数记为f（t）．若g（x）=lnx，则f（t）=；若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则a的取值范围是

．参考答案：1，a＞1【考点】分段函数的应用．【分析】若g（x）=lnx，则函数的值域为R，且函数为单调函数，故方程g（x）=t有且只有一个根，故f（t）=1，若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则x＞0时，函数的最大值大于2，且对称轴位于y轴右侧，解得答案．【解答】解：若g（x）=lnx，则函数的值域为R，且函数为单调函数，故方程g（x）=t有且只有一个根，故f（t）=1，g（x）=，当t≤0时，f（t）=1恒成立，若存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则x＞0时，函数的最大值大于2，且对称轴位于y轴右侧，即，解得：a＞1，故答案为：1，a＞116.曲线在点处的切线方程是

．参考答案：17.已知，则.参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知，数列满足：，，.

(Ⅰ)求证：数列是等差数列；数列是等比数列；（其中；

(Ⅱ)记，对任意的正整数，不等式恒成立，求的取值范围.参考答案：

，…………2分

当时，＝，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，…………4分当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，…………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：故数列的通项公式为…………7分当为奇数时，令所以为单调递减函数，…………10分当为偶数时，令,显然为单调递增函数，综上：的取值围是…………12分19.如图，是半圆周上的两个三等分点，直径，垂足为与相交于点，求的长。

参考答案：连接CE,AO,AB根据A,E是半圆的圆周上的两个三等分点，BC为直径，可得故三角形AOB瓦诶等边三角形，20.（本题满分13分）已知函数＝。（1）求的单调区间；（2）若≥在[1，＋∞上恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：参考答案：解：（1）的定义域为，

，-----------------------------1分当时，恒成立，此时，在上是增函数；-----2分当时，令得，列表如下：__增减减增此时，的递增区间是，；递减区间是，。-------4分（2）＝＋，则g（1）=0，g’（x）=a－－==-----6分1）当0<a<时，﹥1。若1<x<，则g’（x）<0，g（x）是减函数，所以g（x）<g（1）=0，即f（x）﹥㏑x,故f（x）≧㏑x在[1，+∞）上不恒成立。----------------------7分2）当a时，若，则g’（x）>0,g(x)是增函数，所以g(x)>g(1)=0,即f(x)>lnx.故当x≧1时，f(x)lnx.综上所述，所求a的取值范围是+∞）。------------------9分（3）

在（2）中，令，可得不等式：（当且仅当时等号成立），进而可得当

（）---------------10分令，代入不等式（）得：故不等式得证。--------------------------------13分21.（1）已知、都是正实数，求证：；（2）若不等式对满足的一切正实数

恒成立，求实数的取值范围.参考答案：（1）证明：由。。。。。。3分又、都是正实数，所以、，即所以。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分（2）根据柯西不等式有…………………3分又恒成立，，或，即或，所以的取值范围是

………5分略22.已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（0，）上无零点，求a最小值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用．【分析】（1）先求导函数f′（x），然后令f′（x）＞0即可求出函数的单调增区间，令f′（x）＜0可求出函数单调减区间，注意与定义域求交集；（2）因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，然后利用参变量分离，利用导数研究不等式另一侧的最值即可求出a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，则f′（x）=1﹣，由f′（x）＞0，得x＞2，由f′（x）＜0，得0＜x＜2，故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）．（Ⅱ）因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立．令l（x）=2﹣，x∈（0，），则l′（x）=，再令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），则m