山东省泰安市新矿集团第二中学高三数学文下学期摸底试题含解析

山东省泰安市新矿集团第二中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知f（x）是定义在R上的减函数，其导函数f′（x）满足+x＜1，则下列结论正确的是（）A．对于任意x∈R，f（x）＜0 B．对于任意x∈R，f（x）＞0C．当且仅当x∈（﹣∞，1），f（x）＜0 D．当且仅当x∈（1，+∞），f（x）＞0参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意可得[（x﹣1）f（x）]′＞0，结合函数的单调性，从而可判断当x＞1时，f（x）＞0，结合f（x）为减函数可得结论．【解答】解：∵+x＜1，f（x）是定义在R上的减函数，f′（x）＜0，∴f（x）+f′（x）x＞f′（x），∴f（x）+f′（x）（x﹣1）＞0，∴[（x﹣1）f（x）]′＞0，∴函数y=（x﹣1）f（x）在R上单调递增，而x=1时，y=0，则x＜1时，y＜0，当x∈（1，+∞）时，x﹣1＞0，故f（x）＞0，又f（x）是定义在R上的减函数，∴x≤1时，f（x）＞0也成立，∴f（x）＞0对任意x∈R成立，故选：B．2.已知集合，则等于（）

A．

B.

C．

D.参考答案：C3.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如上图所示，该四棱锥侧面积和体积分别是（

）A.

8,8

B.

C.

D.参考答案：D4.双曲线x2﹣2y2=2的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，由渐近线方程为y=±x，即可得到所求．【解答】解：双曲线x2﹣2y2=2即为：﹣y2=1，即有a=，b=1，则渐近线方程为y=±x，即有y=±x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．5.已知函数y=﹣xf′（x）的图象如图（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象可能是（）A． B． C． D．参考答案：B6.cos80°cos35°＋sin80°cos55°的值是()A．

B．－C．

D．－参考答案：A7.若实数满足，则函数的零点所在的区间是()A．(－2,－1)

B．(－1,0)

C．(0,1) D．(1,2)参考答案：B8.已知和，若，则||=（）A．5 B．8 C． D．64参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得x+2﹣2x=0，解方程可得x，即可求出||．【解答】解：∵和，，∴x+2﹣2x=0，解得x=2，∴||=|（5，0）|=5．故选：A．9.已知函数（，）,其图像与直线相邻两个交点的距离为π,若对于任意的恒成立,则的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D10.的展开式中的系数是

A．18

B．14

C．10

D．6参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.德国数学家莱布尼兹发现了右面的单位分数三角形，单位分数是分子为1，分母为正整数的分数称为莱布尼兹三角形：根据前6行的规律，写出第7行的第3个数是．参考答案：【考点】F1：归纳推理．【分析】认真观察图形的组成，规律：任意一个小三角形里，底角两数相加=顶角的数，整个三角形的两条侧边是自然数的倒数列．【解答】解：第7行第一个数和最后一个数都是，第2个数加要等于，所以求出第二个数是，同理第三个数加等于，求出第三个数是，故答案为：．12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，A＝60°，c＝，则△ABC的面积为

．参考答案：13.圆关于直线y=x对称的圆的标准方程是

。参考答案：(x-4)2+(y+1)2=1略14.

．参考答案：15.已知数列｛｝满足a1＝2，＝3一2，求＝＿＿＿＿．参考答案：16.在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1、2、3、4、5，若从袋中任意取两个，则编号的和是奇数的概率为

（结果用最简分数表示）.参考答案：从袋中任意取两个球，共有种。若编号为奇数，则有种，所以编号的和是奇数的概率为。17.已知函数，，则f(x)的最小值是

．参考答案：化简：当时，函数取得最小值，最小值是

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）（2015?济宁一模）现有甲、乙、丙三人参加某电视的一档应聘节目，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为（0＜t＜2），且三人是否应聘成功是相互独立的．（Ⅰ）若乙、丙有且只有一人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求t的值；（Ⅱ）若t=，求三人中恰有两人应聘成功的概率；（Ⅲ）记应聘成功的人数为ξ，若当且仅当ξ=2时对应的概率最大，求E（ξ）的取值范围．参考答案：【考点】：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）由题意得，由此能求出t的值．（Ⅱ）t=时，甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，由此利用相互独立事件乘法公式能求出三人中恰有两人应聘成功的概率．（Ⅲ）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出E（ξ）的取值范围．解：（Ⅰ）∵甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为（0＜t＜2），且三人是否应聘成功是相互独立的．乙、丙有且只有一人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，∴由题意得，解得t=1．（Ⅱ）t=时，甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，∴三人中恰有两人应聘成功的概率：P=+=．（Ⅲ）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，P（ξ=1）=+=，P（ξ=2）=++（1﹣）×=，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：ξ

0

1

2

3PEξ=+=t+，由题意知P（ξ=2）﹣P（ξ=1）=＞0，P（ξ=2）﹣P（ξ=0）=＞0，P（ξ=2）﹣P（ξ=3）=，又0＜t＜2，∴1＜t＜2，∴（ξ）＜．【点评】：本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．19.（本小题满分12分）已知点，，直线与直线相交于点，直线与直线的斜率分别记为与，且．（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）过定点作直线与曲线交于两点，的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）．

（Ⅰ）设，则，

所以所以（未写出范围扣一分）............4分

（Ⅱ）由已知当直线的斜率存在，设直线的方程是，........5分联立，消去得，.....................6分因为，所以，...............7分设，

......................8分

........10分当且仅当时取等号，

面积的最大值为．

.......................................12分

考点：1、求曲线的方程；2、椭圆的方程；3、利用基本不等式求最值．20.如图，A，B，C是⊙O上的3个不同的点，半径OA交弦BC于点D．求证：．参考答案：证明：延长交⊙O于点E，

则．……5分

因为，

所以．

所以．

……10分21.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，A为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线与椭圆C相交于点A，B两点，问y轴上是否存在点M，使得是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）；（2）见解析【分析】（1）由面积最大值可得，又，以及，解得，即可得到椭圆的方程，（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，设，，线段的中点为，根据韦达定理求出点的坐标，再根据，，即可求出的值，可得点的坐标.【详解】（1）面积的最大值为，则：又，，解得：，椭圆C的方程为：（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形设，，线段AB的中点为由，消去可得：，解得：∴，，

依题意有，由可得：，可得：由可得：，代入上式化简可得：则：，解得：当时，点满足题意；当时，点满足题意故轴上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形

22.(本题满分13分)已知数列满足.（1）当时，求数列的前项和；（2）若对任意