2021年中考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷（河南专用）1月卷（解析版）

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备战2021年中考数学【名校、地市好题必刷】全真模拟卷•1月卷

第一模拟

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.（2020年河南省洛阳市第二外国语学校中考数学二模试题）1.■的相反数是（）

52八52

A.--B.--C.一D.-

2525

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意根据只有符号不同的两个数互为相反数，以此进行分析可得一个数的相反数.

22

【详解】解：的相反数是二.

故选：D.

【点睛】本题考查相反数，注意掌握在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.

2.（2020年河南省平顶山市九年级中招二模数学试题）2019年9月6日，华为发布了麒麟990世界首款5G

芯片，在指甲盖大小的中央处理器上集成了103亿个晶体管，将数据103亿用科学计数法表示为（）

A.103x10sB.10.3xlO9C.1.03x10'°D.1.03x10"

【答案】C

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为aXIO”的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a

时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时，n是正数；当原数

的绝对值VI时，n是负数.

【详解1103亿=10300000000=1.03x101,,，

故选：C.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中n

为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

3.（2020年河南省濮阳市九年级下学期6月模拟数学试题）如图所示的几何体的主视图是（）

C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据三视图的知识判定即可.

【详解】解：题中几何体的主视图如下,

主视图

故选：A

【点睛】本题考查了三视图的有关知识，熟练掌握三视图是解题的关键.

4.（2020年1月河南省郑州市一摸数学试题）下表是某校合唱团成员的年龄分布.

年龄/岁13141516

频数515X10-x

对于不同的x,下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）

A.众数、中位数B.平均数、中位数C.平均数、方差D.中位数、方差

【答案】A

【解析】

【分析】

由频数分布表可知后两组的频数和为10,即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第

15、16个数据的平均数，可得答案.

5.（2020年河南省濮阳市九年级下学期6月模拟数学试题）若二次函数y=f一4%+3的图像经过

A（-1,凶）,6（2,%）,。（4,%）三点，则X，%，%的大小关系是（）

A.弘<%<%B.%<%<XC.%<y3V必D.%<%<当

【答案】C

【解析】

【分析】

山抛物线的对称轴及其开口方向得出离抛物线对称轴的水平距离越远，对应函数值越大，据此求解可得答

案.

【详解】解•..抛物线y=——4x+3的对称轴为直线x=2,且抛物线的开口向上，

二离抛物线对称轴的水平距离越远，对应函数值越大，

V-U2、4到对称轴的水平距离分别为3、0、2,

•*.yz<y3<y).

故选：C.

【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质等知识点，能熟练地运用二次函

数的性质进行推理是解本题的关键.

6.(2020年河南省洛阳市第二外国语学校中考数学二模试题)在下列的计算中，正确的是()

A.m'+2m'=3irrB.Sm4-rn2—3m3

C.(2m)3=6m;lD.(m+2)2=m"+4

【答案】B

【解析】

【分析】

利用合并同类项法则、单项式除以单项式法则、积乘方、完全平方公式分别进行计算即可.

【详解】A、nf和2m-不是同类项，不能合并，故此原题计算错误；

B、3m5-j-m2=3m;,,故原题计算正确；

C、(2m)3=8m3,故此原题计算错误；

D、(m+2)”=|/+4m+4,故此原题计算错误:

故选：B.

【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握整式的计算的各运算法则.

7.（2020年河南省平顶山市九年级中招二模数学试题）我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：

“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱

去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱：如果每人出7钱，则差4钱.问有多少人，物品的价格是多

少？设有x人，物品的价格为y元，可列方程（组）为（）

8x-3=y8x+3=yx+3x-4y-3_y+4

A.\B.,C.----=-----D.--=

7尤+4=y7x-4=y8787

【答案】A

【解析】

【分析】

设有x人，物品的价格为y元，根据所花总钱数不变列出方程即可.

【详解】设有x人，物品的价格为y元，

根据题意，可列方程：L”，

7x+4=y

故选A.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数,

找出合适的等量关系.

8.（2020年河南省濮阳市九年级下学期6月模拟数学试题）如图，正方形。钻。的一个顶点。恰好落在平

面直角坐标系的原点处，边。4与x轴负方向的夹角是60，连接AC，若AC=6,则点。的坐标是（）

」（逑，鸣B.（一述，鸣

「.3763应、n.3x/63夜、

22222222

【答案】C

【解析】

【分析】

在直角AAOC中利用勾股定理求得0C的长，然后在直角^COD中利用边角关系即可求得01）和CD的长，则C

的坐标即可求得.

【详解】解：过点C作CD，x轴于点D

在正方形OABC中,

VAC=6,

06=372

:边（）A与x轴负方向的夹角是60°,且/A0C=90°

，ZC0D=30°

在RtZXOCD中,

CD=sinZC0DX0C=-X35/2=—

22

0D=cosZC0DX0C=

二点c的坐标为（巫,迪）,

22

故选：C.

【点睛】本题考查了正方形的性质以及勾股定理和三角函数，正确求得0C的长是关键.

9.（2020年河南省郑州市省实验中学九年级第三次模拟考试数学试题）如图，在矩形/四中，/斤3,做

外的垂直平分线反F,分别与比1交于点氏F,连接跖DF,若E产AE+FC,则边比1的长为（）

9r-

A.273B.373c.6百D.5J3

【答案】B

【解析】

【分析】

根据矩形的性质和菱形的性质得/ABE=NEBD=NDBC=30°,AB=B0=3,因为四边形BEDF是菱形，所以可求

出BE,AE,进而可求出BC的长.

【详解】解：•••四边形ABCD是矩形,

：.DEHBF,

NDEO=NBFO,AEDO=ZFBO,

ER垂直平分3。，

OB=OD-

\BOF=M)OE,

/.OE=OF,

四边形BEDF是菱形，

•••四边形ABCD是矩形，四边形BEDF是菱形，

/.ZA=90°,AD=BC,DE=BF,OE=OF,EF1BD,ZEBO=FBO,

.*.AE=FC.又EF=AE+FC,

/.EF=2AE=2CF,

又EF=20E=20F,AE=OE,

二AABE^OBE,二ZABE-ZOBE,

二ZABE=ZEBD=ZDBC=30°,

；.BF=BE=2百,

.*.CF=AE=V3，

；.BC=BF+CF=3石，

故选B.

【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及在直角三角形中30°角所对的直角边时斜边的一半，解

题的关键是求出/ABE=NEBD-NDBC=30°.

10.（2020年1月河南省郑州市一摸数学试题）在RtZXABC中，D为斜边AB的中点，ZB=60°,BC=2cm,

动点E从点A出发沿AB向点B运动，动点F从点D出发，沿折线D-C-B运动，两点的速度均为lcm/s,

到达终点均停止运动，设AE的长为x,4AEF的面积为y,则y与x的图象大致为（）

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意找到临界点，E、F分别同时到达D、C,画出一般图形利用锐角三角函数表示y即可.

【详解】在RtZXABC中，D为斜边AB的中点，ZB=60°,BC=2cm,

.\AD=DC=DB=2,/CDB=60°,

：EF两点的速度均为lcm/s,

i/3

当QWxW2时，y=—•DE«DF«sinZCDB=—x2,

24

।n

当2WxW4时，y=-«AE«BF»sinZB=--x2+J3x,

24'

由图象可知A正确，

故选A.

【点睛】本题为动点问题可函数图象探究题，考查了二次函数图象和锐角三角函数函数的应用，解答关键

是分析动点到达临界点前后图形的变化.

填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.（2020年河南省濮阳市九年级下学期6月模拟数学试题）卜3|+（；12=.

【答案】7

【解析】

【分析】

直接根据绝对值的代数意义和负整数指数累的运算法则进行计算即可.

【详解】解：卜3|+§）-2

=3+2?

=7

故答案为：7.

【点睛】本题考查了绝对值和负整数指数基的运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键.

12.（2020年河南省平顶山市九年级中招二模数学试题）如图，在A3CZ）中，于点B,交对角

线AC于点E,若Nl=20。，则N2为度.

【答案】110

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质得出AB〃C£>,从而得到Nl=NC4B=20°,由推出Z4BE=90。，再

根据外角定理即可得到结果.

【详解】解：•••四边形ABCD是平行四边形，

AB//CD.

：.Nl=NC4B=20。，

•­,BELAB，

,ZABE=9O°,

，Z2=ZABE+ZEAB=900+20°=110°.

故答案为：110.

【点睛】本题考查平行四边形的性质，垂线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用

所学知识解决问题，属于基础题.

-541

13.（2020年河南省洛阳市第二外国语学校中考数学二模试题）不等式组，2一的所有整数解的和为

5-x>3

【答案】-5

【解析】

【分析】

首先解不等式组，再从不等式组的解集中找出适合条件的整数即可.

-四W1①

【详解】解：〈2

5-x>3(2)

由①得X2-3,

由②得x<2,

原不等式组的解集是—3Kx<2,

原不等式组的所有整数解为—3、-2、-1、0、1，

它们的和为一3—2—1+0+1=-5.

故答案为-5.

【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，正确解不等式组并求出解集是解题的关键.

14.（2020年1月河南省郑州市一摸数学试题）如图，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AC=,

分别以点A,B为圆心，AC,BC的长为半径画弧，交AB于点D,E,则图中阴影部分的面积是

【答案】---

122

【解析】

【分析】

通过分析可知阴影部分的面积为扇形ACD的面积加上扇形BCE的面积减去三角形ABC的面积，分别求出扇

形ACD的面积，扇形BCE的面积，三角形ABC的面积即可.

【详解】在RtZXABC中，ZACB=90°,NA=30°

N3=90°—ZA=90°-30°=60°

BC=/ICltanA=6昱=1

3

AC6n

AD=--------=—j=-=Z

cosAJ3

T

•••S阳影=S困形狂D+S扇形HCE-SZSABC

=-----------------f-----------------yj1

3603602

_5TTG

故答案为红一正

122

【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键.

15.（2020年河南省郑州市省实验中学九年级第三次模拟考试数学试题）如图，在矩形ABCD中，AT>=13,

A3=24,点E是边AB上的一个动点，将ACBE沿CE折叠，得到ACB'E.连接AB'、DB'，若AACH'

为等腰三角形，则况的长为________.

【解析】

【分析】

当的B'在矩形的内部时，分三种情形考虑：①DA=DB'.②AD=AB'.③B'A=BZD.当点B'落在矩形

的外部时，有一种情形DA=DB',分别求解即可.

【详解】解：如图，过点B'作\1NJ_CD于M,交AB于N,

•.•四边形ABCD是矩形，

.*.AD=BC=13,CD=AB=24,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°,

又,.•MN_LCD,

四边形ANMl）是矩形，四边形BCMN是矩形，

.*.AD=MN=13,AN=DM,MC=BN,

若AD=DB'=13,

•将ACBE沿CE折叠，得到△CB'E连接AB',

.*.BC=B,C=13,BE=B,E,

.♦.B'C=B'D,

；.CM=DM=12,

•••B，M=^B'C2-CM2=V169-144=5-

.♦.B'N=13-5=8,

VB,E2=NE2+B,N2,

ABE2=64+(12H3E)2,

..26

..BE=—:

3

VAB(的最小值=45€8'=>/745-13>13.

AB'>AD,

当B'A=B'D时,

'：B'M=B'N,

.\CB,=2B'M,

/.ZB,CM=30°,

.*.ZECB=ZECB(=30",

，BE=CB・tan30°=1^1,

3

如图当点B'在直线CD的上方，AD=DB'时，

AENB

同法可知DM=CM=12,MB'=5,

在RtZ^ENB'中，则有BE"=(BE-12)2+182,

解得BE==39,

2

综上所述，满足条件的BE的值为身叵或尊或”,

故答案为：电i2639

T'T

3

【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形，等腰上角形的判定和性质等知识，解题的关键

是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题.

三.解答题（本大题共8个小题，共75分）

16.（2020年河南省洛阳市第二外国语学校中考数学二模试题）（8分）先化简，再求值：

X21-Qv

q.+（L^_x+l）,其中X满足X2+7X=0.

x2-lx-1

【答案】一一二，7

x+16

【解析】

【分析】

由x满足x07x=O,可得到尸0或-7；先将括号内通分，合并；再将除法问题转化为乘法问题；约分化筒后，

在原式有意义的条件下，代入计算即可.

l-2x(X—1)2

【详解】原式=；~~--

（x+l）（x-l）x-1x-1

f]2X，2X+1)

(x+l)(x-l)x-1

x2x-\

—___________x____

(X+1)(X—1)-A??

1

x+1

又x2+7x=0,

户7)=0,

玉=0,x2=-7；

当产0时，原式0做除数无意义；

故当下-7时，原式=-----=—.

—7+16

17.(2020年河南省平顶山市九年级中招二模数学试题)(9分)某校举行汉字听写大赛，学习对参赛者获

奖情况进行统计，根据比赛成绩列出统计表，并绘制了扇形统计图

(1)参加此次比赛的学生共人.

(2)m=;n—;t—

(3)若从一等奖中随机抽取两名学生，参加市级汉字听写大赛，请用树状图或列表的方法，求出所选的两

名学生正好为一男一女的概率.

等次男生女生

一等奖3m

二等奖612

三等奖89

鼓励奖6n

获奖情况扇形统计图

3

【答案】(1)50；(2)2,4,34；(3)-

【解析】

【分析】

(1)用获得二等奖的人数除以二等奖所占百分比即得答案；

(2)用总人数X10%减去获得一等奖的男生人数即为的值，获得三等奖的百分比=(8+9)+总人数，进

而可得t的值，用总人数X鼓励奖所占百分比一获得鼓励奖的男生人数即为〃的值；

(3)先列出表格求出所有可能的结果数，再找出所选的两名学生正好为一男•女的结果数，然后根据概率

公式计算即可.

【详解】解：⑴(6+12)+36%=50；

故答案为：50；

(2)ZZF50X10%-3=2,

t%=(8+9)4-50=34%,.•.片34,

n=50X(1-36%-34%-10%)-6=4,

故答案为：2,4,34；

（3）一等奖共有5人，三男二女，分别设三男为A,B,C；两女为M,N,列表如下:

Ac印CM-N-

AB^1AOAMQAN「

加BAGBOBMPBN/

CA^CB「CMPCNP

MA「MBeMC-NINQ

N-NAPNBNONM「

由表可知，共有20种等可能的结果，其中一男一女的结果有12种,

所以所选的两名学生正好为一男一女的概率为=1&2=33.

205

答：所选的两名学生正好为一男一女的概率是13.

【点睛】本题考查了统计表、扇形统计图和求两次事件的概率等知识，属于常考题型，熟练掌握上述

基本知识是解题的关键.

18.（2020年河南省濮阳市九年级下学期6月模拟数学试题）（9分）如图，A8为。。的直径，AC为。。

的弦，Q4为。。的的切线，NAPC=2N1.

（1）求证：PC是。。的切线;

（2）点。是优弧ABC上一动点

①连接8、OC.BD，当Nl=时，四边形BC。。为菱形；

②连接AD，CD,当AC=用,ZADC=60时，则MCD周长最大值为.

【答案】（1）详见解析；（2）①30°；②3#.

【解析】

【分析】

（1）连结0C,根据圆周角定理得到NB0C=2/l=NAPC,NB0C+NA0C=180°,根据切线的性质得到N0AP

=90°根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）①若四边形BC0D为菱形，则BC=0C,从而证得0C=0B=BC,得出/B0C=60°,即可求得Nl=，ZB0C=30°；

2

②若4ACD的周长取得最大值，则AD+CD应取最大值，转折为直，将CD绕点D顺时针旋转120。得到DC',

则点A、D、C'三点共线.当AC'最大时，4ACD的周长取得最大值.

【详解】（1）证明：连结0C,

D,----^4

在圆0中，0A=0C,

，/B0C=2Nl=NAPC,/B0C+/A0C=180°,

：PA为。。的切线,

/.Z0AP=90°,

又二四边形内角和为360°,

...20CP=90°,即0C_LPC,

又：0C为。。的半径，

.♦.PC为。。的切线；

(2)①如图：

•.•四边形BC0I）为菱形,

ABC=0C,

又；0C=0B,

.*.0C=0B=BC,

/.ZB0C=60°,

.*.Z1=—ZB0C=30°,

2

故答案为：30°；

②当4ACD的周长取得最大值，则AD+CD应取最大值，将CD绕点D顺时针旋转120°得到DC',

VZADC=60°,

:.点A、D、C'三点共线，

ZACC=30°,AD+CD=AD+DC=AC',

又•.,点D在优弧ABC上,

...点C'在以优弧ABC中点E为圆心的圆上.且点A、C也在。E上，

当点D与点E重合时AC最长，此时4ACD为等边三角形，周长为3指，

故答案：.

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，菱形的判定及性质，线段的最值，结合题意灵活运用知识点是解

题关键.

19.（2020年河南省濮阳市九年级下学期6月模拟数学试题）（9分）2019年12月17日，我国第一艘国产

航母“山东舰”在海南三亚交付海军如图，“山东舰”在一次试水测试中，航行至位于灯塔P的南偏东30方

向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正比方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45方向上的3处.问3

处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里，血=1.414,6*1.732）

北

I

B

k.

3!叭\

A

【答案】B处距离灯塔P约70.7海里

【解析】

【分析】

作PD_LAB于点D,由PA=100,NAPD=60。，/BPD=45。，知/A=30。，从而得PD=50,再由BD=PD

=50即可求得PB.

【详解】解：过点P作PDLAB于点D,

依题意可知，PA=100,ZAPD=60°,NBPD=45°,

.,.ZA=30°,

；.PD=50,

在△PBD中，BD=PD=50,

BDr-

；.PB=------=50V2270.7,

sin45

答：B处距离灯塔P约70.7海里.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造出直角三角形是解题关键.

20.(2020年1月河南省郑州市一摸数学试题)(9分)如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，AABO

的边AB垂直于x轴，垂足为点B,反比例，函数y=与(x<0)的图象经过A0的中点C,交AB于点D.若点

X

D的坐标为(-4,n),且AD=3.

(1)求反比例函数y=七的表达式；

X

(2)求经过C、D两点的直线所对应的函数解析式;

(3)设点E是线段CD上的动点(不与点C、D重合)，过点E且平行y轴的直线1与反比例函数的图象交

于点F,求aOEF面积的最大值.

411

【答案】(1)y----；y=-x+3；(3)如m=-3时，5—即最大，最大值为一

x24

【解析】

【分析】

(1)先确定出点A坐标，进而得出点C坐标，将点C,1)坐标代入反比例函数中即可得出结论;

(2)由n=l,求出点C,D坐标，利用待定系数法即可得出结论；

(3)设出点E坐标，进而表示出点F坐标，即可建立面积与m的函数关系式即可得出结论.

【详解】(1)VAD=3,D(-4,n),

AA(-4,n+3),

•.•点C是OA的中点,

k

•点C,D(-4,n)在双曲线丫=一上,

k=-An

k=-4

，〈，

[k=l

4

・••反比例函数解析式为安--：

x

②由①知，n=l,

AC(-2,2),D(-4,1),

设直线CD的解析式为y=ax+b,

[-2a+b=2

，

-4a+b=1

.1

a=—

・・.J2,

b=3

直线CD的解析式为y--x+3；

2

(3)如图，由(2)知，直线CD的解析式为yj,x+3,

2

设点E(m,-m+3),

2

由(2)知，C(-2,2),D(-4,1),

，-4<m<-2,

4

VEFZ/y轴交双曲线y二■一于F,

x

4

AF(m,-—),

m

14

・・・EF=一m+3+—,

2m

114

+

*••SAOEI^一(—m+3+—)X(-m)一(-nr+3in4)=--(m+3)+一

22m2244

V-4<m<-2,

，m=-3时，SZXOEF最大，最大值为一.

4

【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式，解本题的关键是建立S

△OEF与m的函数关系式.

21.（2020年河南省郑州市省实验中学九年级第三次模拟考试数学试题）（10分）某企业接到了一批零件加

工任务，要求在20天内完成，这批零件的出厂价为每个6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人.6

天的培训期内，新工人小李第x天能加工80x个零件；培训后小李第x天加工的零件数量为（50X+200）个.

（1）小李第几天加工零件数量为650个？

（2）如图，设第x天每个零件的加工成本是P元，P与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若小李

第x天创造的利润为w元，求w与x的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少？（利润=

出厂价一成本价）

【答案XI）小李第9天加工零件数量为650个;（2）0WxW6时，w=64x；6<xW12时，w=40x+160；

12<xW20时，w=-5x2+80^+400：第12天的利润最大，最大利润是640元.

【解析】

【分析】

(1)设小李第〃天加工零件数量为650个，根据题意列方程，解方程即可求得；

(2)先根据图象求得成本P与x之间的关系式，再根据利润等于出厂价减去成本价，整理即可得到w与x

之间的函数表达式；再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性分别求出w的最大值，比较即可.

【详解】解：(1)设小李第〃天加工零件数量为650个，

山题意可知：5()〃+200=65(),解得〃=9.

答：小李第9天加工零件数量为650个.

(2)由图象得，当0«x«12时，P=5.2；

当12K20时,设P=kx+b,

把点(12,5.2),(20,6)代入得，

’12女+3=5.2[>=0.1

120女+匕=6'解得%=4，

所以尸=0.5+4.

①0«无«6时，vv=(6-5.2)x80x=64x；

当x=6时，卬最大=384(元)；

②6<xW12时，w=(6-5.2)x(50x+200)=40x+160:

当x=12时，卬最大=640(兀)；

③12<xW20时，w=(6-0.1x-4)x(50x+200)=-5x2+80x+400=-5(x-8)2+720,

•••。=-5<0,x是整数,

，当x=13时，卬最大=599（元）

综上，当x=12时，w有最大值，最大值为640.

答：第12天的利润最大，最大利润是640元.

【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，一次函数的应用，二次函数在实际生活中的应用，主要是利

用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函

数关系式.

22.（2020年河南省郑州市省实验中学九年级第三次模拟考试数学试题）（10分）如图1,在正方形A8CO

中，A8=8,点七在AC上，且AE=2&，过E点作石尸_LAC于点£,交45于点尸，连接CF，DE.

ADAD

B,_.CAB图2c

图1

【问题发现】

（1）线段OE与CF的数量关系是，直线OE与CF所夹锐角的度数是；

【拓展探究】

（2）当A4EF绕点A顺时针旋转时,上述结论是否成立？若成立，请写出结论并结合图2给出证明；若不

成立，请说明理由；

【解决问题】

（3）在（2）的条件下，当点E到直线AO的距离为2时，请直接写出的长.

【答案】（1）CF=®E，45°；（2）结论仍然成立，证明详见解析；（3）。尸的长为4括或4日.

【解析】

分析】

（1）延长DE交CF的延长线于点由正方形的性质可得及A4EE和HAADC均为等腰直角三角形，因

4/7ACI—

此一=—=72,易证AE4C~AE4D，由相似三角形的性质即可得到CF=0OE，由三角形的内角

AEAD

和即可得到NOVE=45°；

（2）延长OE交CF于点G，由旋转的性质可知HA4EV和&AA0C均为等腰直角三角形，因此

——=—=及，易证同（1）易证结论仍成立；

AEAD

（3）由点E到宜线AD的距离为2,AE=20，可知点F在宜线AD或AB上，分两种情况讨论：（i）当点

F在DA的延长线或BA延长线上时，由勾股定理可得CF的长,（ii）当点F在AD或AB上时，过点E作AAEF

的高，由勾股定理可得。尸的长.

【详解】解：（1）如图①，延长DE交CF的延长线于点N,

VAC是正方形ABCD的对角线,

NE4E=NZMC=45"，

AAEF是直角三角形，

Rt^AEF和用AADC均为等腰宜角三角形,

.•・更=.=0,

AEAD

又；ZFAC^ZEAD,

：.AFAC-AEAD.

CFAFr-

：.—=——=J2,ZADE^ZACF,

DEAE

二CF=叵DE;

又ZCAD+NADE+NAED=180°，4CNE+NCEN+ZECN=180°，ZAED=NCEN.

NCNE=/CAD=45。

故答案为：CF=6DE，45°

（2）结论仍然成立.

理由如下：如图②，延长OE交CF于点G.

•.•AC是正方形ABC。的对角线，且用AAEF是由原题中图1的位置旋转得来,

二ZFAE=ZDAC=45°,即RtAAEF和&AADC均为等腰直角三角形.

.•."*=0.

AEAD

又•；NE4C=NE4£+/E4C,ZEAD=ZDAC+ZEAC.

/.ZFAC=ZEAD.

：.AE4csA£4£）.

rpApl

A—=——=氏,ZADE=ZACF.

DEAE

；•CF=&DE.

XVZCAD+ZADE+ZAHD=180°,ZCGD+ZACG+ZGHC=180°，ZAHD=/GHC,

二NCGO=NC4D=45。.

，结论成立.

(3)CF的长为46或

理由如下：

•.•点E到直线AD的距离为2,AE=2日

二点F在直线AD或AB上

分两种情况讨论：

(i)如图③，当点F在DA的延长线上时，过点E作EGLAD交延长线于点G,

图③

AE=2&

：.AF=4,

二DF^DA+AF=12,

在Rt\CDF中，山勾股定理得CF=yJCD2+DF2=782+122=4屈:

如图④，当点F在BA延长线上时，过点E作EKLAD交DA的延长线于点K,在等腰心AA所中，过点E作

EH1AF于点H,

VAH=EK=2=—AF,

2

/.BF=AB+AF=12,

•*-CF=y]BC2+BF2=A/82+122=4A/13；

(ii)如图⑤，当点F在AD上时，过点E作EIJ_AD于点I,

VAF=4,AD=8,

，DF=AD-AF=4,

在Rt\CDF中，由勾股定理得CF=>JCD2+DF2=782+42=4后：

如图⑥，当点F在AB上时，过点E作EMLAD交AD于点M,在等腰RQAE户中，过点E作E\」AF于点N,

I)

,.,AN=EM=2=—AF,

2

/.M=AB—AF=4,

­■•CF=y/BC2+BF2=A/82+42=4石，

综上所述，CF的长为4屈或4jL

【点睛】本题考查相似三角形和图形旋转的性质，属于综合题，需要分类讨论，熟练掌握等腰直角三角形

的性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识是解题关键.

23.(2020年河南省濮阳市九年级下学期6月模拟数学试题)(11分)已知抛物线与x轴交于A(2,0)、B(-3,O)

两点，与>轴交于点。(0,-6).

(1)求此抛物线的表达式及顶点的坐标;

(2)若点。是x轴