14 微专题：平面向量中的优美结论与三角形面积交汇 讲义-2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】微专题：平面向量中的优美结论与三角形的四心交汇新定义：“奔驰定理”：设是内一点，的面积分别记作则.由于这个定理的几何表示和奔驰的logo很相似，所以，人们把其称为“奔驰定理”；但是，这只是坊间约定与戏说；所以，正式、正规考试的解答题，若用到此结论，必须加以证明；新定义：“奔驰定理”如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝；【证明】推论：已知P为△ABC内一点，且xeq\o(PA,\s\up6(→))＋yeq\o(PB,\s\up6(→))＋zeq\o(PC,\s\up6(→))＝．(x，y，z∈R，xyz≠0，x＋y＋z≠0)．则有（1）S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝|x|∶|y|∶|z|．（2）eq\f(S△PBC,S△ABC)＝|eq\f(x,x＋y＋z)|，eq\f(S△PAC,S△ABC)＝|eq\f(y,x＋y＋z)|，eq\f(S△PAB,S△ABC)＝|eq\f(z,x＋y＋z)|．【典例】例1、设点在所在平面内，若，则QUOTE∆𝑂𝐵𝐶与QUOTE∆𝐴𝐵𝐶的面积比为【说明】通过以上两种方法的解答说明：数形结合地应用好向量的线性运算与三点共线的结论就是基本方法，“奔驰定理”只是适合填充、选择题的在“符合前提”下的快捷解法；例2、新定义：奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则；“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”；设为内一点，且满足：，则（）A．B．C．D．例3、已知为内一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（）A．B．C．D．例4、设点在内且为的外心，，如图：若，，的面积分别为：，，，则的最大值是【即时练习】1、已知，点是内一点且，则的面积为（）A．B．C．D．2、已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积之比为3，则（）A．B．C．D．3、已知为所在平面内一点，且，若，则__________.4、设点在内部，且，则与的面积之比为________.5、设QUOTE𝑃为QUOTE∆𝐴𝐵𝐶所在平面上一点，且满足；若QUOTE∆𝐴𝐵𝑃的面积为，则QUOTE∆𝐴𝐵𝐶的面积为___________．6、已知点是所在平面内一点，满足，求：与面积之比；【教师版】微专题：平面向量中的优美结论与三角形的四心交汇新定义：“奔驰定理”：设是内一点，的面积分别记作则.由于这个定理的几何表示和奔驰的logo很相似，所以，人们把其称为“奔驰定理”；但是，这只是坊间约定与戏说；所以，正式、正规考试的解答题，若用到此结论，必须加以证明；新定义：“奔驰定理”如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝；【证明】如图，延长AP与BC边相交于点则D，eq\f(BD,DC)＝eq\f(S△ABD,S△ACD)＝eq\f(S△BPD,S△CPD)＝eq\f(S△ABD－S△BPD,S△ACD－S△CPD)＝eq\f(S△PAB,S△PAC)，因为，eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\f(DC,BC)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(BD,BC)eq\o(PC,\s\up6(→))，所以，eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\f(S△PAC,S△PAC＋S△PAB)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(S△PAB,S△PAC＋S△PAB)eq\o(PC,\s\up6(→))，又因为，eq\f(PD,PA)＝eq\f(S△BPD,S△BPA)＝eq\f(S△CPD,S△CPA)eq\f(S△BPD＋S△CPD,S△BPA＋S△CPA)＝eq\f(S△PBC,S△PAC＋S△PAB)，所以，eq\o(PD,\s\up6(→))＝－eq\f(S△PBC,S△PAC＋S△PAB)eq\o(PA,\s\up6(→))，即－eq\f(S△PBC,S△PAC＋S△PAB)eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(S△PAC,S△PAC＋S△PAB)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(S△PAB,S△PAC＋S△PAB)eq\o(PC,\s\up6(→))，所以，S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝；推论：已知P为△ABC内一点，且xeq\o(PA,\s\up6(→))＋yeq\o(PB,\s\up6(→))＋zeq\o(PC,\s\up6(→))＝．(x，y，z∈R，xyz≠0，x＋y＋z≠0)．则有（1）S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝|x|∶|y|∶|z|．（2）eq\f(S△PBC,S△ABC)＝|eq\f(x,x＋y＋z)|，eq\f(S△PAC,S△ABC)＝|eq\f(y,x＋y＋z)|，eq\f(S△PAB,S△ABC)＝|eq\f(z,x＋y＋z)|．【典例】例1、设点在所在平面内，若，则QUOTE∆𝑂𝐵𝐶与QUOTE∆𝐴𝐵𝐶的面积比为【提示】注意：构建与“奔驰定理”的关联；【答案】QUOTE16；【解析】方法1：由“奔驰定理”可得：；方法2：如图，设直线QUOTE𝐴𝑂与直线QUOTE𝐵𝐶的交点为点QUOTE𝑀，则QUOTE∆𝑂𝐵𝐶和QUOTE∆𝐴𝐵𝐶面积比为：QUOTE𝑂𝑀:𝐴𝑀，设QUOTE𝑂𝑀=𝑥𝑂𝐴，因为，，所以，由平面向量的基本定理得，QUOTE−2𝑥−3𝑥=1，解得QUOTE𝑥=−15，QUOTE∆𝑂𝐵𝐶与QUOTE∆𝐴𝐵𝐶的面积比为：；【说明】通过以上两种方法的解答说明：数形结合地应用好向量的线性运算与三点共线的结论就是基本方法，“奔驰定理”只是适合填充、选择题的在“符合前提”下的快捷解法；例2、新定义：奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则；“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”；设为内一点，且满足：，则（）A．B．C．D．【答案】D；【解析】因为，为内一点，且满足，所以，，因为，，所以，，故选：D；【说明】本题考查“奔驰定理”的推论或变形求三角形面积比；例3、已知为内一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A；【解析】由奔驰定理可得，，故选A；【说明】本题通过借助“奔驰定理”的三角形面积反求向量式系数；例4、设点在内且为的外心，，如图：若，，的面积分别为：，，，则的最大值是【答案】eq\f(\r(3),3)【解析】根据“奔驰定理”得，，即：，平方得：，又因为点是的外心，所以，且，所以，，则，解得，当且仅当时取等号；所以，；【说明】本题通过“奔驰定理”构建了与基本不等式与解不等式的联系，然后，用不等式性质解之；【即时练习】1、已知，点是内一点且，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由可得，根据奔驰定理可得：，又，所以；2、已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积之比为3，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由“奔驰定理”可得：QUOTE𝑆?𝑂𝐴𝐵𝑆?𝑂𝐴𝐶=1+??=3，解得QUOTE𝜆=13、已知为所在平面内一点，且，若，则__________.【答案】8；【解析】因为，为所在平面内一点，且，所以，根据奔驰定理可知：所以，又，所以；4、设点在内部，且，则与的面积之比为________.【答案】【解析】因为点在内部，满足奔驰定理，且，所以与的面积之比为，故答案为：.5、设QUOTE𝑃为QUOTE∆𝐴𝐵𝐶所在平面上一点，且满足；若QUOTE∆𝐴𝐵𝑃的面积为，则QUOT