第三章函数概念与性质 检测题（综合卷）【新教材】2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章函数概念与性质检测卷（综合版）一、单选题1．函数的定义域是（）A． B．C． D．2．已知函数则（）A．0 B． C． D．23．已知定义在R上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（）A． B．C． D．4．设二次函数，如果，则等于（）A． B． C． D．5．已知偶函数在区间内单调递减，则使得成立的取值范围是（）A． B．C． D．6．我们把函数称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数给出下列结论：①；②D（x+1）=D（x）；③，④，其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．点在幂函数的图象上，则函数的值域为（）A． B． C． D．8．已知函数，则（）A． B．C． D．二、多选题9．在区间上是单调递增函数的是（）A． B． C． D．10．已知函数为偶函数，且，则下列结论一定正确的是（）A．的图象关于点中心对称 B．是周期为的周期函数C．的图象关于直线轴对称 D．为偶函数11．已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数在上是增函数B．函数的图象关于点中心对称C．函数的图象上存在两点，，使得直线轴D．函数的图象关于直线对称12．定义在上的函数満足，且当时，，则有（）A．为奇函数B．为增函数C．D．存在非零实数a，b，使得三、填空题13．已知幂函数y=xa的图像经过点（3，9），则a=________.14．已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则_________15．已知函数，，是奇函数，且当时，，则时，______．16．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为_________．四、解答题17．定义在R上的奇函数在[0，＋∞)上的图像如图所示.（1）补全的图像；（2）解不等式.18．已知函数．（1）若不等式的解集为，求实数k的值；（2）若函数在区间上不单调，求实数k的取值范围．19．若函数为偶函数，当时，．（1）求函数的表达式，画出函数的图象；（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．20．已知函数，.（1）求方程的解集；（2）定义：.已知定义在上的函数.求函数的解析式，在平面直角坐标系中，画出函数的简图；并写出函数的单调区间和最小值.21．上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为.（1）求的解析式；（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？22．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，（1）求函数的解析式；（2）若函数，求函数的最小值.参考答案1．C【分析】根据函数成立的条件，列出不等式关系计算即可.【详解】要使函数有意义，则，即，所以且，即函数的定义域为.故选：C2．D【分析】根据分段函数解析式，代入即可求解.【详解】由，.故选：D3．C【分析】根据导函数的图象，求出函数的单调区间，根据，，的大小以及函数的单调性判断函数值的大小即可．【详解】解：显然在递增，在递减，而，故（a）（b）（c）.故选：C．4．C【分析】由二次函数性质可知，代入解析式可求得结果.【详解】，关于的对称轴对称，，.故选：C.5．D【分析】结合偶函数的性质判断出函数在的单调性，从而结合函数的单调性得，解不等式即可得出结果.【详解】因为偶函数在区间内单调递减，所以在区间内单调递增，又因为，所以，即，故选：D.6．C【分析】按照狄利克雷函数的定义，对①②③④一一验证即可.对于①：分x为无理数和有理数，验证；对于②：分x为无理数和有理数，验证；对于③：取x为无理数，得到；即可判断；对于④：直接由定义求出值域即可.【详解】对于①：若x为无理数，则也是无理数，所以；若x为有理数，则也是有理数，所以；故①正确.对于②：若x为无理数，则也是无理数，所以；若x为有理数，则也是有理数，所以；故②正确.对于③：若x为无理数，则，所以；故③错误.对于④：由定义知：若x为无理数，则；若x为有理数，则，故.故④正确.故选：C7．B【分析】根据点在幂函数的图象上，求出，求出函数的定义域，结合基本不等式即可得出所求.【详解】解：因为点在幂函数的图象上，所以，即，，所以，故，，，因为，所以，所以，所以函数的值域为.故选：B.8．C【分析】先用导数法研究的单调性，再由单调性比较大小即可【详解】根据题意，函数的定义域为，，令，∴；；即得函数在上单调递增，在上单调递减，所以可得，又因为，，∵，∴，即得.故选：C.9．AC【分析】利用基本函数的图像和性质逐个判断即可【详解】解：对于A，由于，所以在上单调递增，所以A符合题意，对于B，由于，可知此函数在上不是单调函数，所以B不符合题意，对于C，由于，所以反比例函数在上是单调递增函数，所以C符合题意，对于D，的对称轴为直线，所以此函数在上不是单调函数，所以D，不符合题意，故选：AC10．AD【分析】由，可知的图象关于点中心对称；结合函数为偶函数可得是周期为以及关于直线轴对称，结合周期，对称中心和对称轴可判断出为偶函数【详解】因为，所以的图象关于点中心对称，又因为函数为偶函数，所以是周期为的周期函数，且它的图象关于点中心对称和关于直线轴对称，所以为偶函数.故选：AD.11．AC【分析】，然后画出其图象可得答案.【详解】，其大致图象如下，结合函数图象可得AC正确，BD错误.故选：AC12．ABD【分析】令，得到，再令得，从而得出为奇函数可判断选项A;设，则，所以,可得出单调性，从而可判断选项B；由，由单调性可判断选项C；由，由单调性可得，从而可判断选项D.【详解】由，令得，得.令得，即所以为奇函数，故选项A正确.设，则，所以由条件可得，即所以为上的增函数，故选项B正确.由为上的增函数，则，所以，故选项C不正确.由为上的增函数,则，即也即设，由，则，所以在有解.例如取，则，所以存在非零实数a，b，使得，故选项D正确.故选：ABD13．2【分析】将点的坐标代入函数解析式计算即可.【详解】由题意知，点在图像上，所以，所以.故答案为：214．6【分析】利用给定函数等式的结构特征借助奇函数和偶函数的性质即可得解.【详解】因分别是定义在上的偶函数和奇函数，则有，又，于是有，所以6.故答案为：615．.【分析】当时，，求出的表达式，再结合函数的奇偶性即可求出时函数的解析式.【详解】当时，，所以，因为是奇函数，所以.故答案为：.16．【分析】由已知得函数是减函数，由减函数的定义可解不等式．【详解】设，由已知式变形为，所以在上是减函数，又．所以不等式化为，又，所以．故答案为：，17．（1）作图见解析；（2）(－2，0)∪(0，2).【分析】（1）根据奇函数图象关于原点对称，即可得答案；（2）结合函数的图像，可得不等式的解集；【详解】解：（1）描出点(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2，0)，则可得f(x)的图像如图所示.（2）结合函数的图像，可知不等式的解集是(－2，0)∪(0，2).【点睛】本题考查奇函数图象的特点及解不等式，考查数形结合思想，属于基础题.18．（1）；（2）.【分析】（1）先根据不等式的解集确定对应二次方程的根，再根据韦达定理解出参数即可；（2）根据题意知对称轴在区间内，列不等式即解得答案.【详解】解：（1）由已知得方程的两根为1和3，故由，解得，再由韦达定理有，得，符合要求，故实数k的值为；（2）∵函数在区间上不单调，二次函数对称轴为，∴，解得，所以实数k的取值范围为．19．（1）；作图见解析；（2）．【分析】（1）根据题意，利用函数的奇偶性求出函数的解析式，作出函数的图象即可，（2）结合函数的图象可得关于的不等式，解可得的取值范围，即可得答案．【详解】解：（1）当时，，．由是偶函数，得．所以．函数的图象，如图．（2）由图象可知，函数的单调递减区间是和．要使在上单调递减，则，解得，所以实数a的取值范围是．20．（1）或；（2）图象答案见解析，单调递减区间是，单调递增区间是，其最小值为1.【分析】（1）平方去根号，转化为二次方程求解即得；（2）利用条件将写成分段函数的形式，根据一次函数和幂函数的图像分段画出图像，得到整体图像，从而得到单调区间和最小值.【详解】解：（1）由，得，；（2）由已知得，函数的图象如图实线所示：函数的单调递减区间是，单调递增区间是，其最小值为1.21．（1）；（2）分钟.【分析】(1)时，求出正比例系数k，写出函数式即可得解；(2)求出每一段上的最大值，再比较大小即可得解.【详解】（1）由题意知，（k为常数），因，则，所以；（2）由得，即，①当时，，当且仅当等号成立；②当时，在[10，20]上递减，当时Q取最大值24，由①②可知，当发车时间间