广东省湛江市徐闻县曲界第二中学高三数学文模拟试卷含解析

广东省湛江市徐闻县曲界第二中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（） A．[） B．[） C．[） D．[）参考答案：D【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点． 【专题】创新题型；导数的综合应用． 【分析】设g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解关于a的不等式组可得． 【解答】解：设g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a， 由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方， ∵g′（x）=ex（2x﹣1）+2ex=ex（2x+1）， ∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0， ∴当x=﹣时，g（x）取最小值﹣2， 当x=0时，g（0）=﹣1，当x=1时，g（1）=e＞0， 直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a， 故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1 故选：D 【点评】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题． 2.已知向量，满足|+|=||=||，则向量与+夹角的余弦值为（）A． B．﹣ C．0 D．1参考答案：A【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得，即，再由已知||=||，可得向量与+夹角为，夹角的余弦值为．【解答】解：由|+|=||=||，得：，即，解得：，∵||=||，且，∴向量与+夹角为，夹角的余弦值为．故选：A．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，关键是对数量积公式的记忆与运用，是基础题．3.设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为A．

B．

C．

D．

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

参考答案：C4.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的离心率为 A．6 B． C． D．参考答案：B因为抛物线的焦点为（3,0），所以，所以m=4，所以双曲线的离心率为。5.已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为（

）

A．

B．C．D．参考答案：D6.记曲线f（x）＝x﹣e﹣x上任意一点处的切线为直线l：y＝kx+b，则k+b的值不可能为（）A. B.1 C.2 D.3参考答案：A【分析】设切点为（m，n），求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得k，b的方程，即有k+b关于m的函数式，求得导数和单调性，可得最小值，即可得到结论．【详解】解：设切点为（m，n），由f（x）＝x﹣e﹣x的导数为f′（x）＝1+e﹣x，可得切线的斜率为k＝1+e﹣m，km+b＝m﹣e﹣m，即有k+b＝1﹣me﹣m，由g（m）＝1﹣me﹣m的导数为g′（m）＝（m﹣1）e﹣m，即有m＞1时g（m）递增，m＜1时，g（m）递减，即m＝1处g（m）取得最小值，且为1﹣，显然＜1﹣，故选：A．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查方程思想和运算能力．7.给出定义:若(其中为整数),则叫做离实数最近的整数,记作,即.在此基础上给出下列关于函数的四个命题:①的定义域是,值域是;②点是的图像的对称中心,其中;③函数的最小正周期为1;④函数在上是增函数.则上述命题中真命题的序号是

（

）A．①④

B．①③

C．②③

D．②④参考答案：B略8.已知集合，，，则A.{0,1,7} B.{－1,0,7} C.{0,1,3,7} D.{－1,0,2,7}参考答案：D【分析】求得不等式的解集，得到集合，求得，再根据集合的并集运算，即可求解，得到答案．【详解】由题意，不等式，解得，所以，所以，所以．故选D．【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合M，再根据集合的运算，准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．9.若复数其中是实数，则复数在复平面内所对应的点位于（

）（A）第一象限

（B）第二象限

（C）第三象限

（D）第四象限参考答案：C10.如图的几何体是长方体的一部分，其中则该几何体的外接球的表面积为(A

(B)(C)

(D)参考答案：【知识点】几何体的结构.

G1B

解析：该几何体的外接球即长方体的外接球，而若长方体的外接球半径为R，则长方体的体对角线为2R，所以，所以该几何体的外接球的表面积，故选B.

【思路点拨】分析该几何体的外接球与长方体的外接球的关系，进而得结论.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．参考答案：【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．12.某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有30种、10种、35种、25种不同的品牌．现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本进行三聚氰胺安全检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是7，则n=

．参考答案：20略13.设x，y满足约束条件，向量，且a∥b，则m的最小值为__

参考答案：-6略14.已知，则二阶矩阵X=

．参考答案：设，则由题意知，根据矩阵乘法法则可，解得，即.15.已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，若经过的直线与椭圆相交于、两点，则△的周长等于

.参考答案：8略16.已知首项与公比相等的等比数列{an}中，若m，n∈N*，满足，则的最小值为______．参考答案：1【分析】将写成等比数列基本量和的形式，由可得；从而利用，根据基本不等式求得结果.【详解】设等比数列公比为，则首项由得：则：

则（当且仅当，即时取等号）本题正确结果：1

17.已知函数f（x）=sin2x+mcos2x的图象关于直线x=对称，则f（x）在区间[0，π]的单调递增区间为参考答案：[0，]和[，π]【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】依题意，f（0）=f（），可求得m=1，利用辅助角公式可得f（x）=sin（2x+），从而可求得f（x）的单调递增区间．【解答】解：∵函数f（x）=sin2x+mcos2x的图象关于直线x=对称，∴f（0）=f（），∴m=1，∴f（x）=sin（2x+），由2kπ﹣≤2x+≤+2kπ，k∈Z得：kπ﹣≤x≤+kπ，k∈Z．又x∈[0，π]，∴f（x）在区间[0，π]的单调递增区间为[0，]和[，π]故答案为：[0，]和[，π]．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）给定函数（1）求在时的最小值；（2）为何值时，方程有唯一解。参考答案：解析：（1）

①若上连续,上是单调递增函数.

②若当上是单调递减函数；当上是单调递增函数.则时，取得最小值.

5分

（2）记

若方程

当上是单调递减函数；

当上是单调递增函数.

∴当x=x2时，

9分

设函数

至多有一解.

故时，方程有唯一解。

14分19.已知等差数列{an}中，，，，顺次成等比数列.（1）求数列{an}的通项公式；（2）记，{bn}的前n项和Sn，求.参考答案：(1)；（2）【分析】（1）利用三项成等比数列可得，利用和来表示该等式，可求得；利用等差数列通项公式求得结果；（2）由（1）可得，则可利用裂项相消的方法来进行求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，，顺次成等比数列

，又，化简得：，解得：（2）由（1）得：【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、裂项相消法求数列的前项和的问题，关键是熟练掌握关于通项中涉及到的裂项方法.20.已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求a，b的值；（2）若，求证：对于任意，.参考答案：（1），（2）见解析【分析】（1）根据导数的运算法则，求出函数的导数，利用切线方程求出切线的斜率及切点，利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出，值；（2）首先将不等式转化为函数，即将不等式右边式子左移，得，构造函数并判断其符号，这里应注意的取值范围，从而证明不等式.【详解】解：（1）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，.（2）由（1）知，所以.考虑函数，，则.而，故当时，，所以，即.【点睛】本题考查了利用导数求切线的斜率，利用函数的导数研究函数的单调性、和最值问题，以及不等式证明问题，考查了分析及解决问题的能力，其中，不等式问题中结合构造函数实现正确转换为最大值和最小值问题是关键.

21.（本小题满分13分）已知圆C的方程为：（1）求的取值范围；（2）若圆C与直线交于M、N两点，且，求的值.（3）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系H4（1）m<5（2）m=1（3）（1）由D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0，得m<5．

（2），即，所以圆心C（1,2），半径，

圆心C（1,2）到直线的距离

又，，即，．

（3）假设存在实数使得以为直径的圆过原点，则，设，则，由得，

，即，又由（1）知，故