安徽省合肥市长丰县下塘镇实验中学高三数学理期末试卷含解析

安徽省合肥市长丰县下塘镇实验中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数的定义域为，如果对于任意的，存在唯一的，使得成立（其中为常数），则称函数在上的均值为，现在给出下列4个函数：①

②

③

④，则在其定义域上的均值为2的所有函数是下面的

（

▲

）A.①②

B.

③④

C.①③④ D.①③参考答案：D略2.已知向量⊥，|﹣|=2，定义：=λ+（1﹣λ），其中0≤λ≤1．若?=，则||的最大值为(

) A． B． C．1 D．参考答案：C考点：平面向量数量积的运算；函数的最值及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：画出草图，通过⊥、|﹣|=2可得||=1，利用=λ+（1﹣λ）可得B、P、D、C四点共线，结合=||cosα，可得当B、P两点重合时||最大，计算即可．解答： 解：如图，记=，=，=，=，＜，＞=α．∵⊥，|﹣|=2，∴||=1，∵=λ+（1﹣λ），∴B、P、D、C四点共线，∵=?=||?||cosα=1?||cosα，∴在上的投影为，∴当B、P两点重合时，||最大，此时α=，||=||=1，故选：C．点评：本题考查平面向量的几何意义，涉及到向量的加、减法运算法则，三点共线的向量表示，向量的投影等知识，注意解题方法的积累，属于难题．3.设a，b∈R，则“a>0，b>0，，是“”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：D4.设向量,,则下列结论中正确的是

（

）

A．

B．

C．

D．与垂直参考答案：D5.已知函数，（m，a为实数），若存在实数a，使得对任意恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．参考答案：A，则，若，可得，函数为增函数，当时，，不满足对任意恒成立；若，由，得，则，∴当时，，当时，，∴，若对任意恒成立，则恒成立，若存在实数，使得成立，则，∴，令，则．∴当时，，当时，，则．∴．则实数的取值范围是．6.函数，,则

（

）A．为偶函数，且在上单调递减

B．为偶函数，且在上单调递增C．为奇函数，且在上单调递增

D．为奇函数，且在上单调递减参考答案：A7.某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加视力测试，则一班和二班分别被抽取的人数是（

）（A）8，8

（B）9，7

（C）10，6

（D）12，4参考答案：B略8.若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(

) A．﹣＞0 B．﹣＜0 C．＞ D．＜参考答案：D考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用不等式的性质即可得出．解答： 解：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴．故选：D．点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．9.设是定义在上的函数，且对任意实数，恒有．当时，.则(A)

()()

()参考答案：D略10.已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为

（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：C因为由题意，函数的定义域是[-3，1]y=由于-x2-2x+3在[-3，1]的最大值是4，最小值是0,因此可知m,和M的值分别是2，，因此可知比值为，选C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若为方程的两个实数解，则

．参考答案：12.（几何证明选讲选做题）极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为

．参考答案：13.已知向量，则____________．参考答案：5略14.已知集合，则

▲

。参考答案：略15.α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF．其中能成为增加条件的序号是．参考答案：①或③【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】将每一个条件作为已知条件进行分析证明，得出结论．【解答】解：①因为AC⊥α，且EF?α，所以AC⊥EF．又AB⊥α且EF?α，所以EF⊥AB．因为AC∩AB=A，AC?平面ACBD，AB?平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，因为BD?平面ACBD，所以BD⊥EF．所以①可以成为增加的条件．②AC与α，β所成的角相等，AC与EF不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不垂直，所以就推不出EF与BD垂直．所以②不可以成为增加的条件．③AC与CD在β内的射影在同一条直线上因为CD⊥α且EF?α所以EF⊥CD．所以EF与CD在β内的射影垂直，AC与CD在β内的射影在同一条直线上所以EF⊥AC，因为AC∩CD=C，AC?平面ACBD，CD?平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，因为BD?平面ACBD所以BD⊥EF．所以③可以成为增加的条件．④若AC∥EF，则AC∥平面α，所以BD∥AC，所以BD∥EF．所以④不可以成为增加的条件．故答案为：①③．16.已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的取值范围为．参考答案：[4，12]【考点】三角函数的最值．【专题】三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用．【分析】x2+2xy+4y2=6变形为=6，设，，θ∈[0，2π）．代入z=x2+4y2，利用同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式化简整理即可得出．【解答】解：x2+2xy+4y2=6变形为=6，设，，θ∈[0，2π）．∴y=sinθ，x=，∴z=x2+4y2==+6=2×（1﹣cos2θ）﹣+6=，∵∈[﹣1，1]．∴z∈[4，12]．故答案为：[4，12]．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.参考答案：设数学书为A，B，语文书为C，则不同的排法共有（A，B，C），（A，C，B），（B，C，A），（B，A，C），（C，A，B），（C，B，A）共6种排列方法，其中2本数学书相邻的情况有4种情况，故所求概率为.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知f(x)＝x2－2x＋1，g(x)是一次函数，且f[g(x)]＝4x2，求g(x)的解析式．参考答案：解设g(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[g(x)]＝(ax＋b)2－2(ax＋b)＋1＝a2x2＋(2ab－2a)x＋b2－2b＋1＝4x2.∴解得a＝±2，b＝1.∴g(x)＝2x＋1或g(x)＝－2x＋1.19.（2014?濮阳二模）已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：．参考答案：【考点】不等式的证明；绝对值不等式；绝对值不等式的解法．【专题】不等式．【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6即可；（Ⅱ）利用分析法进行证明不等式．【解答】解：（I）∵f（x）=|x﹣1|．∴不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6等价|x﹣2|+|x+2|≥6，若当x≥2时，不等式等价为x﹣2+x+2≥6，即2x≥6，解得x≥3．当﹣2＜x＜2时，不等式等价为2﹣x+x+2≥6，即4≥6，此时不成立．当x≤﹣2时，不等式等价为2﹣x﹣x﹣2≥6，即2x≤﹣6，即x≤﹣3．综上不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．（II）要证，只需证|ab﹣1|＞|b﹣a|，只需证（ab﹣1）2＞（b﹣a）2而（ab﹣1）2﹣（b﹣a）2=a2b2﹣a2﹣b2+1=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，∵|a|＜1，|b|＜1，∴a2＜1，b2＜1，即a2﹣1＜0，b2﹣1＜0，即（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，成立，从而原不等式成立．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，要注意进行分段讨论．20.（本小题满分12分）在中，边a,b,c的对角分别为A,B,C；且，面积.（I）求a的值；（II）设，将图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到的图象，求的单调增区间.参考答案：又∵∴……6分

∴，…………8分将图象上所有点的横坐标变为原来的，得到，…………9分所以的单调增区间为…………10分即…………11分的单调区间为…………12分21.已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥2；（2）若存在实数x，使得成立，试求a的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）若a=﹣1，则f（x）=|x+1|﹣|x﹣3|，运用函数的零点分区间，讨论当x≥3时，当﹣1≤x＜3时，当x＜﹣1时，化简不等式求解，最后求并集即可；（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于，即可解出实数a的取值范围．【解答】解：（1）若a=﹣1，则f（x）=|x+1|﹣|x﹣3|，若x≥3，由f（x）≥2，得（x+1）﹣（x﹣3）≥2不等式显然成立，若﹣1≤x＜3，由f（x）≥2，得（x+1）+（x﹣3）≥2，解得x≥2．又﹣1≤x＜3，∴2≤x＜3．若x＜﹣1，由f（x）≥2，得﹣（x+1）+（x﹣3）≥2不等式不成立．∴不等式f（x）≥2的解集为{x|x≥2}．综上所述，不等式f（x）≥2的解集为{x|x≥2}；（2）不等式即|x﹣a|﹣|x﹣3|．|x﹣a|﹣|x﹣3|≥﹣|（x﹣a）﹣（x﹣3）|=﹣|a﹣3|，若a＞3，等号成立当且仅当x≥3，若a=3，等号成立当且仅当x∈R，若a＜3，等号成立当且仅当x≤3．∴﹣|a﹣3|，即|a﹣3|，若a≥3，则（a﹣3），解得a≥6．若a＜3，则﹣（a﹣3），解得a≤2．∴a的取值范围是（﹣∞，2]∪[6，+∞）．综上所述，a的取值范围是（﹣∞，2]∪[6，+∞）．22.已知函数f（x）=﹣alnx+（a+1）x﹣x2（a＞0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥﹣x2+ax+b恒成立，求实数ab的最大值．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f（x）的导数，通过a=1，0＜a＜1，a＞1的讨论，从而求出函数的单调区间；（2）由题意可得alnx﹣x+b≤0恒成立，令g（x）=alnx﹣x+b，求出导数，确定函数的单调性，可得函数的最值，即可得到结论．【解答】解：（1）f′（x）=﹣+a+1﹣x=﹣，（a＞0，x＞0），①a=1时，f′（x）=﹣≤0，∴f（x）在（0，+∞）递减；②0＜a＜1时，由f′（x）＞0，解得：a＜x＜1，∴f（x）在（a，1）递增，在（0，a），（1，+∞）递减；③a＞1时，同理f（x）在（1，a）递