2020-2021学年磐石一中高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年磐石一中高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.已知全集为R：=而短7的定义域为集合Ax?-2x-320的解集为集合B,则4n

(CRB)=()

A.(0,3)B.[2,3)C.(2,3)D.[3,+8)

2.用反证法证明“如果a<b,那么正〈孤”，假设的内容应是()

A.y/a=VbB.y/a<Vb

C.y/a=VK或正<VbD.Va=Vb^y/a>\[b

3.若点P在一彳的终边上，且|OP|=2,则点P的坐标为()

A.(V2,V2)B.(V2,-V2)C.(-V2.V2)D.(-V2,-V2)

5

4.=log210,4=log/,c=logy,则()

A.c>a>bB.b>c>aC.b>a>cD.a>b>c

5.函数/(为=由讥(2%+0)(|初号,4>0)部分图象如图所示，且/(砌='

f(b)=0,对不同的％i，%2e-］，若f(%i)=/。2)，有/(/+不)=8，

则()

A.f(x)在(一患，为上是减函数

BJ(x)在(一居*)上是增函数

CJ(x)在谭丹)上是减函数

JO

D.在邑争上是增函数

oO

6.设函数/(x)=sinx+acosx(a为常数)，则a"=0"是"f(x)为奇函数”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条

7.函数f(x)=(x2-l)e国+1的图象大致为()

hD.J/

8.已知函数/。-1）是偶函数，对于任意的右，工26（-1,+8）都有，（>2）-/。1）］（%2-％1）<0成

立，设a=〃—|），b=f（O），C=/（1）.则a,b,c的大小关系是（）

A.b<a<cB.a<b<cC,c<b<aD.b<c<a

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.下列各式中正确的是（）

A.若角a和/?的终边关于％轴对称，sina=sin。

B.若角a和。的终边关于y轴对称，cosa=cos。

C.若角a和0的终边关于原点对称，tana=tern/?

D.若角a和£的终边相同，cos（7i+a）=COS（TT-£）

10.若幕函数'="乃的图象经过点（27,3）,则基函数f（x）在定义域上是（）

A.奇函数B.偶函数C.增函数D.减函数

11.已知a>b>0,0<c<1,则（）

A.ac>beB.ac>bcC.abc<bacD.logc。<log2

12.设b、c均为实数，关于x的方程N+b|x|+c=0在复数集C上给出下列结论，正确的是（）

A.存在b、c,使得该方程仅有2个共规虚根

B,存在b、c,使得该方程有4个互不相等的实数根

C.存在氏c,使得该方程有5个互不相等的根

D,存在b、c,使得该方程最多有6个互不相等的根

三、单空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.圆的半径变为原来的;，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的倍.

3x—y—6<0

14.设x,y满足约束条件％-y+230,若目标函数2=。％+力/（0>0*>0）的最大值为8,则

JC>0,y>0

5+;的最小值为.

15.已知角a的终边经过点P（8,y）,且cosa=*则y的值为.

16.用一段长为30nl的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m,要求菜园的面积不小于216m2,

靠墙的一边长为xm,其中的不等关系可用不等式（组）表示为.

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

17.已知函数/Q）=HaX-L（a>0,ar1）为R上的奇函数，且/⑴号.

(I)解不等式:f(/+2x)+/(x-4)>0；

(n)若当xe[-1,1]时，产+1>a2x-i恒成立，求b的取值范围.

18.已知全集(/=/?,函数y=而菽二方的定义域为4,集合B={x|2<x<4},求:

⑴集合从

(2)4n8.

19.已知在锐角AABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,且等+学=—.

bcV3smc

(1)求b的值；

(2)若cosB+V5sinB=2，求△力BC周长的取值范围.

20.若函数”X)为奇函数，当0时，/(x)=2x2-4%,(如图所以).

(1)求函数/(x)的表达式，并补全函数的图象，指出函数y=/Q)单调递减区间.

21.求函数y=2sinGx+9,xe[—2兀,2汨的单调区间.

22.已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f(x)的全体

①函数/(x)在其定义域上是单调函数；②/(x)的定义域内存在区间口力，使得/(乃在口切上的值

域为防.

(1)判断g(x)=/是否属于M,若是，求出所有满足②的区间[a,b],若不是，说明理由;

(2)若/i(x)=V7=I+teM,求实数t的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：c

解析：解：由/'(%)=得到log2X-1>0，即log2》>1=log22,即x>2,

•••A—(2,+oo),

不等式％2-2x-320,变形得：(久-3)0+1)20,

解得：工工一1或％23,即B=(-8,-1]u[3,+8),

••3=(-1,3),

则An(CRB)=(2,3),

故选：C.

求出的定义域确定出4求出已知不等式的解集确定出B,找出4与B补集的交集即可.

此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

2.答案：D

解析：

本题主要考查了不等式证明中的反证法，属于基础题.反证法是假设命题的结论不成立，即结论的

否定成立，所以只要考虑正<超的否定是什么即可.

解：:，〈好的否定是孤之孤，

即孤=孤或,〉孤.

故选D.

3.答案：B

解析：解：设点P(x,y)

由任意角三角函数定义,sin(-=7=2>cos(-4^=r=2

解得：x=V2,y=—V2

故选民

根据任意角三角函数定义，若角的终边上不同于原点的任意一点的坐标为(％y),则此角的正弦值为

瑜，余弦值为今其中r为点到原点的距离，列方程即可得所求.

本题考察了任意角三角函数的定义，熟记概念并能理解运用是解决本题的关键.

4.答案：D

解析：解由对数的性质可得a=log21。>logz8=3,log39=2Vb=log/Vlog327,

5

c—log^<log749=2,

­•a>b>c,

故选：D.

由对数的运算性质可得a=log210>3,2cb<3,c=log充<2,从而得到a、b、c的大小关系.

本题主要考查对数的运算性质、对数函数的单调性，属于基础题.

5.答案：B

解析：解：••"(x)=Asin(2x+。)，.•.函数最小正周期为7=兀；

由图象得A=2,且/(a)=f(b)=0,

6-a,解得b-a=M

za)4

又xi，x2e[a,b],且/'(%i)=f(%2)时，有了Qi+%2)=6，

:.sin[2(%1+%2)+<p]=y>即2(/+x2)+3=竽,

且sin(2•臂+s)=1,即2•华+*=今

解得3=最

-/(x)=2sin(2x+^)；

令一彳+2卜兀〈2x+gw3+2k7r,fcez,

--6+2kn<2%6<-+2kn,k&Z,

解得一工+WxW卷+k兀，kG.Z,

••・函数在区间[一管+5看+k扪，k6Z上是单调增函数，

二,(久)在区间(一居*)上是单调增函数.

故选：B.

根据题意，得出函数f(x)的最小正周期，且b-a为半周期，再根据f(Xi)=/(X2)时八小+犯)的值

求出9的值，从而写出f(x)的解析式，判断/'(%)的单调性.

本题考查了正弦型三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目.

6.答案：C

解析：解：若a=0,则/(x)=s)x,为奇函数，充分性成立；

若/(%)为奇函数，则/(0)=0,所以0+a=0,a=0,必要性成立；

故"a=0”是"/(x)为奇函数”的充要条件.

故选：C.

根据充要条件的定义分充分性和必要性分别判断即可.

本题考查了充要条件的判断，借助三角函数的奇偶性及奇偶性的性质是解题关键，本题属于基础题.

7.答案：D

解析：解：/(-%)=[(-x)2-l]el-x|+1=(——l)e|x|+1=f(x),则/'(x)为偶函数，图象关于y轴

对称，排除4，C,

当x>0时，f(x)=(x2—l)ex+1,函数的导数/''(%)=2xe*+(%2-1)靖=蜡(％2+2x-1),

当x>0时，由/'(x)>0得%2+2%-1>0,即x>-1+&或x<-1一四，此时x>-l+&，

由/'(x)<0得好+2%一1<0,即0<x<—1+鱼，此时为减函数，即当x>0时只有一个极小值

点，排除B,

故选：D.

判断函数的奇偶性和对称性，求当x20时，函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用排除法进

行判断即可.

本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及利用导数研究函数的单调

性是解决本题的关键，是中档题.

8.答案：C

解析：

本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，关键是分析函数的对称性.根据题意，分析可得函数/(x)

的图象关于直线久=-1对称，进而有函数/(x)在区间(-1,+8)为减函数，结合函数的对称性可得Q=

/'(-5=/(—)，b=/(0),c=f(l),结合函数的单调性分析可得答案.

解：根据题意，函数/Xx-l)是偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x=-1对称，

又由对于任意的Xl，x2G(-1,+8)都有-巧)<0成立，

则函数f(x)在区间(-1,+8)为减函数，

则。=/(一|)=/(一》b=f(0),c=/⑴.

则有c<b<a；

故选：C.

9.答案：CD

解析：解：由角a和夕的终边关于％轴对称，可知夕=-a+2k7r(k€Z),故s讥a=-si印，故A错误；

角a和/?的终边关于y轴对称，可知/?=兀—a+2kzr(kWZ),cosa=—cosfi,故B错误；

角a和3的终边关于原点对称，可知口=兀+a+21兀(卜eZ),得tana=tan/?,故C正确；

角a和£的终边相同，可知夕=a+2k兀(k6Z),得cosa=cos。,

Xcos(TT+a)=—cosa,cos(;r—^)=—cosp,cos(7r+a)=cos(jr—p),故。正确.

故选：CD.

分别写出关于坐标原点及坐标轴对称角的关系，然后求三角函数值进行判断.

本题考查关于坐标原点及坐标轴对称角的表示方法，考查诱导公式的应用，是基础题.

10.答案：AC

解析：解：设基函数f(X)=xa,

•••嘉函数/(X)=严的图象经过点(27,3),

••"(27)=27。=3,解得a=±

在定义域是单调递增的函数，故C正确，。不正确；

/(—X)=(~x)3=—=—/(x)>则/'(x)为奇函数,故A正确，B不正确,

故选：AC.

设幕函数f(x)=xa,由基函数/。)的图象经过点(27,3),得到/(》)=舅，由此能求出函数的单

调性和奇偶性.

本题考查募函数的概念，函数奇偶性及单调性，属于基础题.

11.答案：ABD

解析：解：由a>£>>0,0<c<1,可得ac>be,故A正确；

由0<c<l,可得函数/。)=产为增函数，由a>b>0,所以f(a)>/(b),BPac>bc,故B正确；

由0<c<l,可得c—l<0,所以函数g(x)=x'T在(0,+8)上单调递减，

因为a>b>0,所以g(a)<g(b),即淤一】<bf即ba，<ab。故C错误；

由0<c<1,可得/i(x)=logcX在(0,+8)上单调递减，

因为a>b>0,所以/i(a)<h(b),即logc。<log/,故。正确.

故选：ABD.

由不等式的基本性质可判断选项A；由基函数的性质可判断选项8,C；由对数函数的性质可判断选

项D.

本题主要考查不等式的基本性质，考查函数思想与逻辑推理能力，属于基础题.

12.答案：ABD

解析：解：对于4令b=0,c为正实数，则该方程仅有2个共辗的虚根，正确；

对于B,若x为实数，则方程可看做+b|x|+c=0,只需保证|用有2个不同的正解即可，如b=-3,

c=2,此时方程有4个互不相等的实数根，正确；

对于CD,若x为虚数，设x=M+ni(m,neR),则原方程等价于m?一标+2加球+^m2+n2+c=

0,贝lj2?nn=0,

又x为虚数，故n#0,则有7n=0,即一n2+b|n|+c=0,即M—b|n|—c=0最多有2个根，所以

方程最多有6个根，只需收：;丫二［，

SZ+4c>0

如b=-3,c=2,方程有一1,-2,1,2四个实根，有电旦i,号且i两个虚根；

故选：ABD.

令b=0,c为正实数，容易判断A正确；b=-3,c=2,此时方程有4个互不相等的实数根，则8

正确；对于CD,6=-3,c=2,方程有一1,一2,1,2四个实根，有卓亘i,土产i两个虚根，由

此C错误。正确.

本题考查函数零点与方程根的关系以及复数相关知识，考查运算求解能力，属于中档题.

13.答案：2

解析：解：设圆的半径为r,弧长为1,圆心角为a(a>0),

则a=;,

改变后的半径为》,弧长/不变，

则弧所对的圆心角2：=2a.

该弧所对的圆心角是原来的2倍.

故答案为：2.

设出圆的半径和弧长，求出圆心角，再求出改变后的圆的半径，再由圆心角公式求出圆心角，则由

改变前后的圆心角的关系得答案.

本题考查了弧度制，考查了圆心角公式，是基础题.

14.答案：7

解析：

本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方

法.

作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a,b的关系，然后利用基本不等式求则5+;

的最小值.

解：由2=ax+by(a>0,b>0)得y=+会

二直线y=-£x+j的斜率为负，且截距最大时，z也最大.

平移直线，由图象可知当直线经过点4时，

直线的截距最大，此时z也最大.

由巴IM。,解得忧即4(4,6).

此时z=4a+6b=12,

BPf+1=1,

则那=©+》《+》

1.0.^,2a10.b2a16

=-+3+—+—>—+2Q—•—=—.

32ab32bb3

当且仅当9=平时取=号,

2ab

故答案为：y.

15.答案：±6

48

解析：解：••・角a的终边经过点P(8,y),且cosa=g=而于，则、=±6,

故答案为：±6.

由题意利用任意角的三角函数的定义，求出y的值.

本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.

(0<x<18,

16.答案:[x(15>216

解析：由于矩形菜园靠墙的一边长为xm,而墙长为18m,所以0<xW18,

这时菜园的另一条边长为小F=(15-^)m.

因此菜园面积S=x(15—》机2,

依题意有S岂216,即％(15勺2216,

故该题中的不等关系可用不等式组表示为

0<x<18,

x(15——)>216.

17.答案：解：由函数f(x)为R上的奇函数，则"0)=0,得k—l=0,解得k1,

则f。)=ax-a-,

又•••《)=/即a-a-'g,解得a=一式舍去)或a=3,

f(x)=3X-3-x,

函数y=3丫和y=-3-x都是R上的增函数，则f(x)=3丫-3r为R上的增函数,

(I)不等式/(/+2x)+f(x-4)>0

移项得f(/+2x)>-f(x-4),

,・,函数f(%)=3X-3T在R上为奇函数，

・•・f(%2+2x)>/(4—%),

,・,函数/(%)=3X-3r在R上为增函数，

:.x2+2%>4-%,

解之得%>1,或％<-4.

(n)由题意得，当工£[-1,1]时，厅+I>32%T恒成立，

即b>3第恒成立，

令y=3*=32-^»

由复合函数性质可知％6[-1,1]时，函数单调递增，则％=1时，函数取得最大值方,

故b的取值范围是b>遮.

解析：（I）函数/'（X）为R上的奇函数，则/（0）=。与/（I）=?联立方程组解出函数的解析式/Q）=

3，-3T,然后判断出函数的单调性，综合利用奇偶性和单调性去函数符号求解；（II）先解出b,然

后将恒成立问题转化为最值问题求解.

本题考察函数的单调性和奇偶性求解不等式，和恒成立问题，解题的难点是在（n）中解出6,然后转

化.

18.答案：解：(1)要使函数丫=hsinx一6有意义，则2sinx—620,

••・sinx>——，

2

:.A=[2kit+2kit+~]kGZ-

(2)vB={x\2<x<4),k=0时，4=号，等,

.♦.4CB=[2,等.

解析：（D可看出，要使得原函数有意义，则需满足2sinx—620,从而可解出x的范围，得出4=

[2kn+^,2kn+^-],kGZ；

（2）进行交集的运算即可.

本题考查了描述法、区间的定义，函数定义域的定义及求法，正弦函数的图象，交集的定义及运算,

考查了计算能力，属于基础题.

/T、一b/osB,cosCsinA

19.答案:解:(1)已1知丁+丁=丽？

由正弦定理和余弦定理，可得直片士+贮产了=含,

2abc2abcy/3c

化简可得：b=V3.

（2）vcosB+巡sinB=2,

A-cosB+—sinB=1,即：sin（B+，）=l,

226

・•・由B为锐角，可得

,•,a■，.c,.b,——-6,1c9

sin4sinCsinB昱9

2

：•a=2sinA,c=2sinC,

又•••在锐角△ABC中，O<A<9,0<C<7,C=^-A,

二月6（分）,

，周长L=a+b+c=g+2(sinA+sinC)

=\/3+2sinA+sin(牛—A)

=V3+2遮(字sin4+geos/)

=6+2次sin(4+»

・•,。是)i+R冷)，

/.am(A+1)6隹1.

则Le(3+V3,3V3],

即△ABC周长的取值范围为(3+6,3遮].

解析：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用及正弦函数的图象和性质在

解三角形中的应用，考查了计算能力，属于中档题.

(1)由已知应用正弦定理和余弦定理，即可解得b的值.

(2)由已知利用两角和的正弦函数公式可求B的值，利用正弦定理可得a=2sim4,c=2sinC,进而

可求范围AeOZ利用三角函数恒等变换的应用及正弦函数的图象和性质即可得解周长的取值范

围.

20.答案：解：(1)根据题意，设％<0,则一式>0,

/(-%)=2(-%)2—(-%)=2x2+4x,

又由函数为奇函数，则/'(x)=-/(%)=-2/一4%,

则/'(%)=仁2,二4x,x：0,其图象如图；

(2产-4x,x>0

其递减区间为(一1,1);

(2)x/(x)>0«>0或1/(无)<0，

解可得：工<一2或刀>2,

即不等式X/(x)>0的解集为｛x|x<-2或x>2].

解析：(1)根据题意，设x<0,则-x>0,由函数的解析式可得〃-x)的解析式，结合函数的奇偶

性可得f(x)的解析式，综合可得函数f(x)的解析式，据此作出函数的图象，结合图象可得其单调区

I-HJ；