3.3.2 二次函数y=ax2的图像与性质 课件

第3章二次函数3.3二次函数y=ax2的图像与性质第2课时二次函数y=ax2的图像与性质二次函数y=ax2的图像二次函数y=ax2的性质回顾与思考1.抛物线y=x2与y=－x2的顶点是原点，对称轴是y轴.抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外)，它的开口向上，并且向上无限伸展；抛物线y=－x2在x轴的下方(除顶点外)，它的开口向

下，并且向下无限伸展.想一想在图中画出y=x2的图象.它与y=x2，y=2x2的图象有什么相同和不同？知识点二次函数y＝ax2的图像1xy-1-2-3O123321654987y=x2在同一直角坐标系中画出函数y=x2和y=2x2的图像x…-4-3-2-101

234…y=x2x…-2-1.5-1-0.500.511.52…y=2x28…20.500.524.58…4.58…20.500.524.58…4.5(1)列表(2)描点(3)连线12345x12345678910yo-1-2-3-4-5当a＜0时，它的图象又如何呢？函数y=x2,y=2x2的图像与函数y=x2(图中虚线图形)的图像相比,有什么共同点和不同点?归纳相同点：一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.不同点：当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大.例1

在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝－2x2和y3＝

x2的图象，正确的是图中的()

当x＝1时,y1,y2,y3的图象上的对应点分别是(1,2),(1,－2),(1，),可知,其中有两点在第一象限,

一点在第四象限,排除B,C；在第一象限内,y1的对应点(1,2)在上,y3的对应点(1，)在下,排除A.导引：答案：D1.若二次函数y＝ax2的图象过点P(－2，4)，则该图象必经过点(

)A．(2，4)

B．(－2，－4)

C．(－4，2)

D．(4，－2)A2.函数y＝ax－2与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(

)A3.函数y＝k(x－k)与y＝kx2，y＝(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(

)C如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y＝x2(x≥0)和抛物线C2：y＝(x≥0)交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则

的值为(

)B.C.D.D4.1．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质如下表：函数y＝ax2图象开口方向开口大小顶点坐标对称轴a＞0向上|a|越大，开口越小(0，0)y轴(直线x＝0)a＜0向下|a|越小，开口越大(0，0)y轴(直线x＝0)知识点二次函数y＝ax2的性质1函数y＝ax2增减性最值a＞0当x＞0时，y随x的增大而增大当x＜0时，y随x的增大而减小当x＝0时，y最小值＝0a＜0当x＞0时，y随x的增大而减小当x＜0时，y随x的增大而增大当x＝0时，y最大值＝0续表：特别提醒1.判断二次函数的增减性的技巧：以抛物线的对称轴为界，自左向右看，“上坡路”就是y随x的增大而增大，“下坡路”就是y

随x的增大而减小.特别提醒2.在二次函数y=ax2(a≠0)中，a的正负性决定开口方向，|a|决定开口的大小.|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线开口越大．3.二次函数y=－ax2(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象关于x轴对称.如图所示，四个二次函数的图象分别对应的是：①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx

2.①与③，②与④分别关于x轴对称.(1)比较a，b，c，d

的大小关系；(2)说明a

与c，b

与d

的数量关系.例2解：(1)由抛物线的开口方向，知a＞0，b＞0，c＜0，d＜0.由抛物线的开口大小，知|a|＞|b|，|c|＞|d|，因此a＞b，c＜d.∴a＞b＞d＞c.(2)∵①与③，②与④分别关于x

轴对称，∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反.∴a+c=0，b+d=0.2特别提醒a与抛物线开口方向、开口大小之间的关系：1.a>0开口向上，a<0开口向下.2.|a|越大开口越小，|a|相等开口大小相同.特别提醒用特殊值法：当x=1时，四个函数值分别等于二次项系数，∴直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为(1，a)，(1，b)，(1，d)，(1，c)，∴a>b>d>c.归纳用特殊值法：当x=1时，四个函数值分别等于二次项系数，∴直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为(1，a)，(1，b)，(1，d)，(1，c)，∴a>b>d>c.根据下列条件分别求a的取值范围：(1)函数y＝(a－2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；导引：由增减性可知a－2＜0，从而可求a的取值范围；解：由题意得a－2＜0，解得a＜2.(2)函数y＝(3a－2)x2有最大值；导引：由于函数有最大值，所以其图象的开口方向向下，从而得到3a－2＜0；解：由题意得3a－2＜0，解得a＜.(3)抛物线y＝(a＋2)x2与抛物线y＝－

x2的形状相同；导引：由两抛物线的形状相同可知|a＋2|＝

，进而求出a的值；

解：由题意得|a＋2|＝

，解得a1＝－

，a2＝－.(4)函数y＝axa2＋a的图象是开口向上的抛物线．导引：由其图象是开口向上的抛物线，可进而可求出a的值．解：由题意得a2＋a＝2，解得a1＝－2，a2＝1，由题知a＞0，∴a＝1.归纳

二次函数y＝ax2的图象和性质都是考查a的正负性，可以直接记性质也可以画草图.1.抛物线y＝

x2，y＝x2，y＝－x2的共同性质是：①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称．其中正确的有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个B知识点2.对于二次函数：①y＝3x2；②y＝

x2；③y＝

x2，它们的图象在同一坐标系中，开口大小的顺序用序号来表示应是(

)A．②>③>①B．②>①>③C．③>①>②D．③>②>①A3.若二次函数y＝－ax2，当x＝2时，y＝

；则当x＝－2时，y＝________．C1.关于二次函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是(

)A．它是一条抛物线B．它的开口向上，且关于y轴对称C．它的顶点是抛物线的最高点D．它与y＝－3x2的图象关于x轴对称2.已知二次函数y＝(a－1)x2，当x＞0时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是(

)