锐角三角比教案

25.1（1）锐角三角比的意义一、教学内容分析通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都不变.二、教学目标设计1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都不变.2、能根据正切、余切概念正确进行计算.3、发展形象思维，初步形成由特殊到一般的演绎推理能力.三、教学重点及难点理解认识正切概念，引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与邻边的比值是不变的.四、教学用具准备课件.ppt巩固练习课堂小结新课讲授回家作业五、教学流程设计巩固练习课堂小结新课讲授回家作业引入新课引入新课六、教学过程设计一、情景引入操场里有一旗杆，老师让小明去测量旗杆的高度.（演示学校操场上的国旗图片）小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了.你想知道小明怎样算出的吗？1.观察(1)在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，BC=35m,求CB.(2)Rt△ABC，使∠C=90o，∠A=45o，计算∠A的对边与邻边比.2.思考通过上面的计算，你能得到什么结论？[说明]在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与邻边的比值都等于；在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与邻边的比值都等于1.3．讨论一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个定值？二、学习新课DBDBCC’A如图：Rt△ABC与Rt△A’B’C’，∠C=∠DC’A=90°，∠A=α，那么与有什么关系?结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值.如图，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c.在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作tanA.板书：tanA＝在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切.记作cotA.板书：cotA＝2．例题分析例题1.在Rt⊿ABC中，∠C=900，AC=3,BC=2,求tanA和tanB的值.ABC解：在RtABC∵AC=3,BC=2∴tanA=tanB=.例题2.在Rt⊿ABC中，∠C=900，BC=4，AB=5，求cotA和cotB的值.ABC解：在RtABCAB2=AC2+BC2∵BC=4,AB=5,∴AC=.∴cotA=cotB=.3．问题拓展在上题中，在同一个直角三角形中，∠A的正切和余切有怎样的数量关系？∠B是∠A的余角，那么它们的正切、余切值之间有怎样的数量关系？[说明]在Rt⊿ABC中，∠A+∠B=90°：则有tanA·cotA=1tanA=tanB=三、巩固练习1．如图，在直角△ABC中，∠C＝90o，若AB＝5，AC＝4，则cotA＝（）A．eq\f(3,5)B．eq\f(4,5)C．eq\f(3,4)D．eq\f(4,3)2．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，tanA=eq\f(2,3)，则边AC的长是()A．eq\r(,13)B．3C．eq\f(4,3)D．eq\r(,5)四、课堂小结在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与邻边（邻边与对边）的比是一个固定值.五、作业布置练习册25.1（1）25.1（2）锐角的三角比的意义一、教学内容分析使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实；逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.二、教学目标设计1、知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边、邻边与斜边的比值都不变；2、了解同一个锐角正弦与余弦之间的关系，正切与正弦、余弦的关系.三、教学重点及难点理解余弦、正切的概念；熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算.四、教学用具准备教具、学具、多媒体设备（宋体四号）课堂小结新课讲授回家作业巩固练习引入新课五、教学流程设计课堂小结新课讲授回家作业巩固练习引入新课六、教学过程设计一、情景引入1.观察(1)在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，BC=35m,求AB.(2)Rt△ABC，使∠C=90o，∠A=45o，计算∠A的对边与斜边的比.2.思考通过上面的计算，你能得到什么结论？[说明]在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于；在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.3．讨论由上面的观察，我们可以得到什么结论？二、学习新课B’B’BCC’A如图：Rt△ABC与Rt△A`B`C`，∠C=∠DC`A=90o，∠A=α，那么与有什么关系?结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比是一个固定值.如图，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c.在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正弦.记作sinA.板书：sinA＝；在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余弦.记作cosA.板书：cosA＝；2．例题分析例题1（1）如图,在中，,,,求sinB，cosB的值.解：在中∵AB=，BC=∴AC==sinB==；cosB=.（2）在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,sinA=,求cosA和tanB的值.解:,.又,.例题2.在直角坐标平面中有一点P（3，4）.求OP与x轴正半轴的夹角的正切、正弦、和余弦的值.解：过点P向x轴引垂线，垂足为点Q，则0123101231234XYPQ由点P的坐标为（3，4）得OQ=3,QP=4.在Rt⊿OPQ中，OP=∴tan=,sin=cos=.3.问题拓展1.从定义可以看出与cosA有什么关系？与呢？满足这种关系的与又是什么关系呢？利用定义及勾股定理你还能发现与的关系吗？再试试看与和存在特殊关系吗？（1）若,那么=或=;（2）;（3）.三、巩固练习1.在中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（）A．B．C．D．2.在中，∠C＝90°，如果那么的值为（）A．B．C．D．3、如图：P是∠的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则sin＝_____________.四、课堂小结1、使学生了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系．2、使学生了解同一个锐角正弦与余弦之间的关系3、使学生了解正切与正弦、余弦的关系五、作业布置练习25.1（2）25.2求锐角三角比的值一、教学内容分析能推导并熟记30°、45°、60°角的三角比值，并能根据这些值说出对应的锐角度数；能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式二、教学目标设计能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数；能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式.三、教学重点及难点熟记30°、45°、60°角的三角比值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式；30°、45°、60°角的三角比值的推导过程.四、教学用具准备多媒体五、教学流程设计新课讲授回家作业巩固练习引入新课课堂小结新课讲授回家作业巩固练习引入新课课堂小结六、教学过程设计一、情景引入问题：（1）还记得我们推导正弦关系的时候所到结论吗？即sin30°=,sin45°=.（2）你还能推导出sin60°的值及30°、45°、60°角的其它三角函数值吗？3．讨论画30°、45°、60°的直角三角形,分别求sin30°、cos45°、tan60°的值.归纳结果30°45°60°sinAcosAtanA二、学习新课1．例题分析求下列各式的值：（1）(cos60°)2+(cos45°)2+sin30°sin45°；（2）.解（1）原式=

（2）原式==3．问题拓展（1）（2）[说明]本题主要考查特殊角的正弦、余弦值，解题关键是熟悉并牢记特殊角的正弦余弦值.易错点因没有记准特殊角的正弦、余弦值，造成错误.三、巩固练习求下列各式的值：(1)sin30°+cos30°；(2)sin30°·sin45°；(3)tan60°+2sin45°-2cos30°；(4)；(5).四、课堂小结通过本节课的学习，能推导并熟记30°、45°、60°角的三角比值，并能根据这些值说出对应的锐角度数；能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式.五、作业布置练习25.225.3（1）解直角三角形一、教学内容分析本课时的内容是解直角三角形，首先是了解直角三角形中的边角的关系和什么是解直角三角形，以及在解直角三角形时，选择合适的工具解，即优选关系式.从而能提高学生分析问题和解决问题的能力.二、教学目标设计1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．

2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步形成分析问题、解决问题的能力．3．渗透数形结合的数学思想，养成良好的学习习惯．三、教学重点及难点教学重点：直角三角形的解法．教学难点：锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用．四、教学用具准备三角尺、实物投影仪、多媒体设备.五、教学流程设计情景问题引入情景问题引入复习知识新课讲授巩固练习课堂小结布置作业六、教学过程设计一、情景引入1．观察引入新课：如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离数根24米处.问大树在折断之前高多少米?显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分的长度为＝26，26＋10＝36所以，大树在折断之前的高为36米.2．思考1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？3．讨论复习师白：Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系分别是什么？总结：直角三角形的边与角之间的关系(1)两锐角互余∠A＋∠B＝90°；(2)三边满足勾股定理a2＋b2＝c2；(3)边与角关系sinA＝cosB＝EQ\f(a,c)，cosA＝sinB＝EQ\f(b,c)，tanA＝cotB＝EQ\f(a,b)，cotA＝tanB＝EQ\f(b,a).二、学习新课1．概念辨析师白：我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．定义：我们把由已知元素求出所有末知元素的过程，叫做解直角三角形.2．例题分析例题1在Rt△ABC中，∠C=900，∠B=380，a=8，求这个直角三角形的其它边和角.分析：本题已知直角三角形的一个锐角和一条直角边，那么首先要搞清楚这两个元素的位置关系，再分析怎样用合适的锐角三角比解决问题，在本题中已知边是已知角的邻边，所以可以用的锐角三角比是余弦和正切.解：∵∠A+∠B=900∴∠A=900－∠B=900－380=520∵cosB=∴C==∵tanB=∴b=atanB=8tan380≈6.250例题2在Rt△ABC中，∠C=900，c=7.34，a=5.28，解这个直角三角形.分析：本题已知直角三角形的一条直角边和斜边，当然首先用勾股定理求第三边，怎样求锐角问题，要记住解决问题最好用原始数据求解，避免用间接数据求出误差较大的结论.解：在Rt△ABC中，∵∠C=900，∴a2＋b2＝c2∴b=∵sinA=∴∠A=460∴∠B=900－∠A≈900－460=440.[说明]我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．3．问题拓展2000BCA例题3如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东402000BCA分析：本题中，已知条件是什么?(AB＝2000米，∠CAB＝90°－∠CAD＝50°)，那么求AC的长是用“弦”还是用“切”呢?求BC的长呢?显然，AC是直角三角形的斜边，应该用余弦，而求BC的长可以用正切，也可以用余切.讲解后让学生思考以下问题：(1)在求出后，能否用勾股定理求得BC；(2)在这题中，是否可用正弦求AC，是否可以用余切求得BC.[说明]通过这几道例题的分析和挖掘，使学生明确在求解直角三角形时可以根据题目的具体条件选择不同的“工具”以达到目的.从上面的几道题可以看出，若知道两条边利用勾股定理就可以求出第三边，进而求出两个锐角，若知道一条边和一个锐角，可以.利用边角关系求出其他的边与角.所以，解直角三角形无非以下两种情况：(1)已知两条边，求其他边和角.(2)已知一条边和一个锐角，求其他边角三、巩固练习1、课本P73练习1、22、由下列条件解题：在Rt△ABC中，∠C=90°：（1）已知a=4，b=8，求c．(c=)（2）已知b=10，∠B=60°，求a，c．（3）已知c=20，∠A=60°，求a，b．四、课堂小结本节课我们利用直角三角形的边与边、角与角、边与角的关系，由已知元素求出未知元素，在做题目时，学生们应根据题目的具体条件，正确选择上述的“工具”，求出题目中所要求的边与角.五、作业布置练习册25.3（1）25.3（2）解直角三角形一、教学内容分析本课时其实是安排了一个解直角三角形和应用的一节过度课，它起到了承上启下的作用.先从解一般的三角形或梯形的问题，寻找转化为直角三角形的方法，然后，到下一节课的应用，使学生不会有知识过度跳跃的感觉.二、教学目标设计1．进一步运用勾股定理、锐角三角比解非直角三角形．2．

通过综合运用锐角三角比解三角形，逐步形成分析问题、解决问题的能力．三、教学重点及难点教学重点：学会把一般三角形转化为直角三角形解决．教学难点：如何转化为直角三角形的辅助线的做法．四、教学用具准备三角尺、实物投影仪、多媒体设备.五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入1．复习1、求下列各直角三角形中字母的值．

2、在△ABC中，∠C为直角，b=，a=，解这个三角形．3、在△ABC中，∠C为直角，且b=20，=35，解这个三角形（精确到0.1）．2．思考在一般的三角形中，如果已知适当的元素能否能求出其余相关的元素呢？3．讨论在一般的三角形中，已知几个元素能求出其余相关的元素呢？二、学习新课1．例题分析例题1在等腰三角形ABC中，已知AB=AC,∠A=45°,BC=6,求它的腰长和底角.ACBD分析：根据三角形内角和定理，可求得底角的大小．如图，作底边上的高，由等腰三角形“ACBD解：在△ABC中，∠B=∠C=(1800-∠A)=（1800-450）=67.50=670过点A作AD⊥BC，垂足为点D∵AB＝AC，∴BD=BC=×6=3在Rt△ABD中∵cosB=∴AB=所以，这个等腰三角形的腰长约为7．839，底角为670思考：本题如果作腰上的高，能解△ABC吗？试一试：在等腰三角形中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，求它的顶角和底角．例题2在△ABC中，AC=9，AB=8.5，∠A=38°,求AC边上的高及△ABC的面积．分析：为了利用∠A的三角比，所以作出AC或AB边上的高，构造直角三角形，可求出一条高，再求出三角形的面积.解：过点B作BD⊥AC，垂足为D.在Rt△ABD中，∵sinA=，∴BD＝AB·sinA=8.5×sin38°≈5.233S△ABC=AC·BD=×9×5.233≈23.55所以，AC边上的高约为5．233，△ABC的面积约为23．55.2．问题拓展ACB例题3如图，在⊿ABC中,∠A=30°,tanB=,AC=2,求ABACB分析：本题可以过点C作AB边的垂线，把∠A和∠B作在直角三角形中，再利用锐角三角比解决问题.教师引导学生解答.[说明]通过这几道例题的分析和挖掘，使学生明确可以用解直角三角形的知识解决一般三角形中的计算问题.就是要把握好转化的技巧.三、巩固练习1、课本25.3（2）2、已知等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求顶角∠A的四个三角比值．3、已知在直角梯形ABCD中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=，则底角∠B=；4、如图所示，已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8.求：△ABC的面积(结果可保留根号).四、课堂小结本节课我们利用直角三角形的知识将某些一般三角形问题或梯形问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．今后，我们还要善于用数学知识解决实际问题．五、作业布置练习册25.3（2）25.4（1）解直角三角形的应用一、教学内容分析本节列举了解直角三角形的一类典型问题：仰角、俯角问题.让学生感受数学与生活的紧密联系，提高数学问题实际化的能力，领会数学思想.二、教学目标设计1．掌握仰角、俯角概念；2．在用解直角三角形的知识解决实际问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，增强学数学、用数学的意识和能力.三、教学重点及难点将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素间关系进行解题.四、教学用具准备计算器、多媒体新课讲授回家作业巩固练习引入新课课堂小结五、教学流程设计新课讲授回家作业巩固练习引入新课课堂小结六、教学过程设计一、引入让学生从仰视和俯视两种神态亲身体验,再利用投影仪显示一些有关仰角和俯角的实例，从而引出仰角、俯角的定义.[说明]从学生的实际生活背景出发，创设问题情境，这样的情景创设，体现了浓厚的生活气息，充分调动学生思维的积极性.二、学习新课1．概念辨析在测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.[说明]在仰角和俯角这两个概念中，必须强调是视线与水平线所夹的角，而不是视线与铅垂线所成的角.2．例题分析例题1如图，在地面上离旗杆BC底部10米的A处，用测角仪测得旗杆顶端C的仰角为52°，已知测角仪AD的高为1.5米，求旗杆BC的高（精确到0.1米）.分析结合图形已知旗杆与地面是垂直的，从测角仪D处作DE∥AB，可以得到一个Rt△DCE，利用直角三角形中的已知元素,可以求出CE，从而求得BC.解从测角仪D处作DE∥AB，交BC于点E.根据题意，可知DE=AB=10（米），BE=AD=1.5（米），∠CDE=52°.在Rt△DCE中,tan∠CDE=，得CE=DE·tan∠CDE=10·tan52°≈12.80(米).则BC=BE+CE≈1.5+12.80≈14.3(米).答:旗杆BC的高约为14.3米.例题2如图,甲乙两幢楼之间的距离CD等于40米,现在要测乙楼的高BC(BC⊥CD),所选观察点A在甲楼一窗口处,AD∥BC.从A处测得乙楼顶端B的仰角为32°,底部C的俯角为25°.求乙楼的高度(精确到1米).解从观察点A处作AE∥CD,交BC于点E.根据题意,可知AE=CD=40(米),∠BAE=32°,∠CAE=25°.在Rt△ABE中,tan∠BAE=，得BE=AE·tan∠BAE=40·tan32°≈25.0(米).在Rt△ACE中,tan∠CAE=，得CE=AE·tan∠CAE=40·tan25°≈18.7(米).则BC=BE+CE≈25.0+18.7=43.7≈44(米).答:乙楼的高度约为44米.[说明]在实际问题数学化，运用仰角、俯角概念解直角三角形时，要首先找出它们所在的直角三角形，表示时注意“水平线”，再结合图形中的已知元素，解出要求的未知元素.同时在学生审题时，强调注意题后对结果精确度的要求，培养严谨的学习态度.三、巩固练习ABCD1.在离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如果测角仪高为1.5米ABCD2.在距地面100米高的平台上，测得地面上一塔顶与塔基的俯角分别为30°和60°，则塔高为__________米;ABCD3.已知：如图，建筑物AB高为200米，从它的顶部A看另外一建筑物CD的顶部C和底部D，俯角分别为30°和45°ABCD36ABD45°30°C(第5题图)4．36ABD45°30°C(第5题图)5．如图，AB和CD是同一地面上的两座相距36米的楼房，在楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角为45°，楼底D的俯角为30°．求楼CD的高(结果保留根号).四、课堂小结1．知道仰角、俯角的意义，明确概念强调的是视线与水平线的夹角；2．认真分析题意，在原有的图形中寻找或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题；3．按照题目中的精确度进行计算，五、作业布置练习册：习题25.4（1）25.4（2）解直角三角形一、教学内容分析本节梳理了在直角三角形中，除直角外五个元素之间的关系，然后分析了满足什么条件的直角三角形是可以求解的.二、教学目标设计进一步学习如何把某些实际问题的数量关系归结为直角三角形各元素之间的关系，将实际问题转化为数学问题的方法，提高分析问题、解决问题的能力，体验数学在实际生活中的应用，增强数学应用的意识.三、教学重点及难点正确理解题意，利用解直角三角形的知识将实际问题转化为数学问题.四、教学用具准备三角板、计算器、多媒体设备五、教学流程设计回家作业巩固练习引入新课课堂小结新课讲授回家作业巩固练习引入新课课堂小结新课讲授六、教学过程设计10°10°东南西ABCE15°45°北D30°1．30°请学生以自己为观察点，尝试运用较为准确的说法说说班级中其他一些同学所处的位置.30°2．30°如图，以A为观测中心，分别指出点B、C、D、E各点所处的方向.[说明]通过创设问题情境激发学生的求知欲望，感悟“数学源于生活又作用于生活”，体验数学的价值.二、学习新课1．概念辨析回顾方位角ACACB北南52°例题1如图，在港口A的南偏东52°方向有一小岛B，一艘船以每小时24千米的速度从港口A出发，沿正东方向航行，20分钟后，这艘船在C处且测得小岛B在船的正南方向.小岛B与港口A相距多少千米（精确到0.1千米）？解:根据题意,可知∠CAB=90°-52°=38°,∠ACB=90°,AC=24×=8(千米).在Rt△ABC中,cos∠CAB=，得AB==≈10.2(千米).答:小岛B与港口A相距约10.2千米.例题2如图,为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头A.在△ABC中,测得∠C=62°,∠B=49°,BC=33.5米,求河宽(精确到0.1米).解:过点A作AD⊥BC,垂足为点D,河宽就是AD的长.在Rt△ABD中,cotB=，得BD=AD·cotB=AD·cot49°.Rt△ACD中,cotC=，得CD=AD·cotC=AD·cot62°,因为BD+CD=BC，所以AD·cot49°+AD·cot62°=33.5则AD=≈23.9(米).答:河宽约为23.9米.3．问题拓展1.某海防哨所发现距离它400海里的北偏西30°A处有一艘船，该船正向东方向航行，经过3分钟到达哨所东北方向的B处.求这船的速度是多少？2.某条道路上通行车辆限速为60千米/时,在离道路50米的点P处建一个监测点,道路的AB段为监测区.在△ABC中,已知∠A=45°,∠B=30°,车辆通过AB段的时间在多少秒以内时,可认定为超速(精确到0.1秒)?[说明]在例题分析讲解的基础上进行问题的拓展,可以增强对知识点的理解,起到巩固作用.三、巩固练习1．一艘轮船向正东方向航行，上午9时测得它在灯塔P的南偏西30°方向，距离灯塔120海里的M处，上午11时到达这座灯塔的正南方向的N处，则这艘轮船在这段时间内航行的平均速度是多少？北东ABF2.由于过度采伐森林和破坏植被，我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭.北东ABF(1)通过计算说明A市必然会受到这次沙尘暴的影响；(2)计算A市受沙尘暴影响的时间.四、课堂小结今天学习了什么,你有什么收获？五、作业布置练习册：习题25.4（2）25.4（3）解直角三角形的应用一、教学内容分析本节教材内容主要是坡度有关概念，以及利用直角三角形边角关系，解决生产及生活中有关坡度的实际应用问题.二、教学目标设计1．理解坡度有关的概念，学会利用已学过的知识解决有关坡度的实际问题；2．形成分析问题、解决问题的能力和运用数学的意识，感悟数学来源于实践又作用于实践．体验数学的价值.三、教学重点及难点1、学会将某些实际问题中的数量关系归结为解直角三角形中的元素之间的关系，从而解决问题；2、掌握坡度的意义，强调坡度i的表示形式1∶m．四、教学用具准备多媒体引入新课课堂小结新课讲授回家作业巩固练习五、教学流程设计引入新课课堂小结新课讲授回家作业巩固练习六、教学过程设计一、情景引入1．观察同学们，你们有没有观察到在我们教学楼的东侧有一条残疾人通道？2．思考我们知道，残疾人通道是斜坡，若用AB表示，沿着通道走3.2米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高0.4米，那么你知道该通道的坡角吗？[说明]从学生身边的实际生活背景出发，创设问题情境，这样的情景创设，体现了浓厚的生活气息，充分调动学生思维的积极性.二、学习新课1．概念辨析如图，坡面的铅垂高度（h）和水平宽度（L）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i=.坡度通常写成1:m的形式，如i=1∶1.5．坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.坡度i与坡角α之间的关系:i==tanα.2．例题分析例题1大楼前残疾人通道是斜坡，若用AB表示，沿着通道走3.2米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高0.4米，那么你知道该通道的坡度与坡角吗？（角度精确到1’提问：AB表示什么？题中数据3.2米、0.4米各表示什么量？如何求i？解过点A作水平线l，再作BC⊥l,垂足为点C.根据题意,可知AB=3.2米,BC=0.4米.在Rt△ABC中,AC==≈3.175(米).∴i=≈1:7.938.∴tanA=≈0.1260，∴∠A≈7°11’答:残疾人通道的坡度约为1：7.938，坡角约为7°11’实际生活中,在修路、挖河、开渠等设计图纸上,都需要注明斜坡的倾斜程度,使用着坡度.例题2如图(图中单位:米),一段铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD,路基顶宽BC为2.8米,路基高为1.2米,斜坡AB的坡度i=1:1.2AB2.81.2ABCDEF(2)求坡角(精确到1°)解分别过点B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，垂足分别为点E、F.根据题意，可知BE=1.29(米),AE=DF,EF=BC=2.8(米).在Rt△ABE中,∵，∴AE=1.6BE=1.6×1.2=1.92（米）.(1)AD=AE+EF+DF=2AE+EF=2×1.92+2.8=6.64≈6.6(米)(2)设坡角为α,则i=tanα==0.625,∴α≈32°.答:路基下底宽约为6.6米,坡角约为32°.3．问题拓展有一段防洪大堤,其横断面为梯形ABCD,AB∥CD,斜坡AD的坡度i1=1∶1.2,斜坡BC的坡度i2=1∶0.8,大堤顶宽DC为6米,为了增强抗洪能力,现将大堤加高,加高部分的横断面为梯形DCFE,EF∥DC,点E、F分别在AD、BC的延长线上（如图）.当新大堤顶宽EF为3.8米时,大堤加高了几米?[说明]对例题进行变式练习,有助于学生对坡度的真正理解，更好地巩固所学的知识，掌握添加适当的辅助线构造直角三角形解决问题的方法.由于坡度问题计算过程很繁琐，可以通过展示学生解题过程,师生共同点评分析,然后教师再示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生运算能力.三、巩固练习1．如图，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC等于6米，背水坡AB的坡度i=1：2，则斜坡AB的长为_______米（精确到0.1米）．2．如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一高压输电的铁架，小山的斜坡的坡度i=1：，斜坡BD的长是50米，在山坡的坡底处测得铁架顶端A的仰角为45°，在山坡的坡项D处测得铁架顶端A的仰角为60°．（1）求小山的高度；（2）求铁架的高度．（≈1.73，精确到0.1米）四、课堂小结今天学习了什么,你有什么收获？五、作业布置练习册：习题25.4（3）25.4（4）解直角三角形的应用一、教学内容分析本课时内容是利用解直角三角形解决求有关工件如燕尾槽问题、摆动问题、测量物高问题等，表面看问题好象比较杂乱，实质上不管哪一类问题，都是通过添加辅助线把问题转化为直角三角形去解决.二、教学目标设计1.理解什么是横断面图，能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题．2.逐步形成用数学的意识；渗透转化思想；渗透数学来源于实践又作用于实践的观点．三、教学重点及难点教学重点：把等腰梯形转化为解直角三角形问题；教学难点：如何添作适当的辅助线．四、教学用具准备燕尾槽模型、三角尺、实物投影仪、多媒体设备.五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入1．观察出示已准备的燕尾槽模型，让学生有感视印象，将其横向垂直于燕尾槽的平面切割，得横截面，请学生通过观察，认识到这是一个等腰梯形，并结合图形，向学生介绍一些专用术语，使学生知道，图中燕尾角对应哪一个角，外口、内口和深度对应哪一条线段．2．思考怎么解决等腰梯形中的问题？[说明]这一介绍，使学生对本节课内容很感兴趣，激发了学生的学习热情．二、学习新课1．例题分析例题1如图所示的工件叫做燕尾槽，它的横断面是一个等腰梯形，∠B叫做燕尾角，AD叫做外口，BC叫做里口，AE叫做燕尾槽深度．已知AD长180毫米，BC长300毫米，AE长70毫米，那么燕尾角B的大小是多少(精确到1，)?解:根据题意，可知BE=(BC—AD)=(300-180)=60(毫米),在Rt△ABE中，∵tanA==≈1.167,∴∠B≈490答：燕尾角B的大小约为490例题2如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角为400．求小球在最高位置和最低位置时的高度差(精确到0.1厘米)．解：过点E作EH上OG，垂足为点H．小球在最高位置和最低位置时的高度差就是GH的长．根据题意，可知∠EOH=∠EOF=200,在Rt△EOH中，∵cos∠EOH=，∴OH＝OE·cos∠EOH＝50cos200≈46．98(厘米).∴GH=OG-OH=50-46.98=3.02≈3.0.答：小球在最高位置和最低位置时的高度差约为3.0厘米.例题3如图，小明想测量塔CD的高度．塔在围墙内，小明只能在围墙外测量，这时无法测得观察点到塔的底部的距离，于是小明在A处仰望塔顶，测得仰角为29025’，再往塔的方向前进50米至B处，测得塔顶的仰角为61042分析：设CD＝x，用x的代数式分别表示BC、AC，然后列出方程求解．解：设CD＝x，在Rt△ADC中,∵cotA=,∴AC＝CD·cotA=xcot290在Rt△BDC中，∵cot∠DBC=,∴BC＝CD·cot∠DBC＝xcot610∵AB＝AC—BC，∴xcot29025’x=.答：塔的高度约为40．5米．[说明]这三道例题，例题1是工件问题，例题2是摆动问题，例题3是测量物高问题，它们不是同一类问题但我们要看到实质：都能通过添加辅助线转化为解直角三角形的问题.三、巩固练习1、课本25.4（4）2、燕尾槽的横断面是等腰梯形，图6-26是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B是55°，外口宽AD是180mm，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口宽BC(精确到1mm)．

分析：(1)引导学生将上述问题转化为数学问题；等腰梯形ABCD中，上底AD=180mm，高AE=70mm，∠B=55°，求下底BC．(2)让学生展开讨论，因为上节课通过做等腰三角形的高把其分割为直角三角形，从而利用解直角三角形的知识来求解．学生对这一转化有所了解．因此，学生经互相讨论，完全可以解决这一问题．3、D如图，工件上有一V形槽，测得它的上口宽20mm，深19.2mm，求V形角（∠ACB）的大小（结果精确到1°）D4、如图6-27，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC的长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD(精确到0.01米)

分析：(1)请学生审题：因为电线杆与地面应是垂直的，那么图6-27中△ACD是直角三角形．其中CD=5m，∠CAD=60°，求AD、AC的长．(2)学生运用已有知识独立解决此题．教师巡视之后讲评．四、课堂小结本节课教学内容仍是解直角三角形的应用的问题，遇到有关等腰梯形的问题，应考虑如何添加辅助线，将其转化为直角三角形和矩形的组合图形，从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直角三角形的问题．在用三角比时，要正确判断边角关系．五、作业布置练习册25.4（4）26.1二次函数的概念一、教学目标设计1.理解二次函数的概念；2.会求一些简单的实际问题中二次函数的解析式和它的定义域；3.在从问题出发到列二次函数解析式的过程中，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义.二、教学重点及难点教学重点：对二次函数概念的理解．教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围.三、教学用具准备教具、学具、多媒体设备.四、教学流程设计反馈小结布置作业师生互动，运用新知确定反馈小结布置作业师生互动，运用新知确定二次函数关系式观察分析进一步理解二次函数的概念创设情景，引出二次函数五、教学过程设计一、复习提问我们学过了哪些函数？什么叫一次函数？(y=kx+b，其中k≠0)表达式中的自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有k≠0的条件？k值对函数性质有什么影响？[说明]复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解．强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较．二、由实际问题引入新课函数是研究两个变量在某变化过程中的相互依赖关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数．看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系.例题1正方形的边长是x(cm)，面积y(cm2)与边长x之间的函数关系如何表示？解：函数关系式是y=x2(x＞0).例题2农机厂第一个月水泵的产量为50(台)第三个月的产量y(台)与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？解：函数关系式是y=50(1＋x)2，即y=50x2+100x+50.[说明]由以上两例，引导启发学生归纳出(1)函数解析式的一边均为整式(表明这种函数与一次函数有共同的特征)．(2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同)．本处设计了两个问题，学生容易分析其中的变量以及变量之间的关系，也不难列出函数解析式.通过归纳解析式特点，自然引出二次函数的定义.三、学习新课1、二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)的函数叫做二次函数．对二次函数概念的理解可从以下几方面入手：（1）强调“形如”，即由形来定义函数名称．二次函数即y是关于x的二次多项式．对定义中的“形如”的理解，与一次函数类似地，仍然要注意二次函数的自变量与函数不仅仅局限于只用x、y来表示.（2）在y=ax2＋bx＋c中自变量是x，它的取值范围是一切实数．但在实际问题中，自变量的取值范围应是使实际问题有意义的值．如例1中，x＞0．（３）为什么二次函数定义中要求a≠0？(若a=0，ax2＋bx+c就不是关于x的二次多项式了)（４）b和c是否可以为零？由例1可知，b和c均可为零．若b=0，则y=ax2＋c；若c=0，则y=ax2＋bx；若b=c=0，则y=ax2．以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式.2、概念巩固（1）下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a、b、c．eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)y=x(x-1)；eq\o\ac(○,4))y=3x(2-x)＋3x2；eq\o\ac(○,5)；eq\o\ac(○,6))y=x4＋2x2＋1；eq\o\ac(○,7)；eq\o\ac(○,8).（2）已知函数，当m为何值时，这个函数是二次函数？当m为何值时，这个函数是一次函数？（3）圆柱的体积V的计算公式是，其中是圆柱底面的半径，是圆柱的高.eq\o\ac(○,1)当是常量时，V是的什么函数？eq\o\ac(○,2)当是常量时，V是的什么函数？[说明]通过练习，巩固加深对二次函数概念的理解.3、例题分析例题3设圆柱的高h(cm)是常量，写出圆柱的体积V(cm3)与底面周长c(cm)之间的函数关系式．.例题4用长为20米的篱笆,一面靠墙(墙长超过20米),围成一个长方形花圃,如图所示.设AB的长为x米,花圃的面积为y平方米,求y关于x的函数解析式及函数定义域..例题5三角形的两条边长的和为9cm，它们的夹角为，设其中一条边长为x(cm)，三角形的面积为y(cm2)，试写出y与x之间的函数解析式及定义域..对二次函数定义域的认识，要明确函数的表达式包括解析式和定义域.在具体问题中，有时只研究函数的解析式.若需要研究函数的定义域时，一般有下列两种可能性：如果未加说明，函数的定义域由解析式确定；如果函数有实际背景，那么写出函数解析式的同时必须给出定义域，这时既要考虑解析式的意义，又要考虑问题的实际意义.[说明]求二次函数定义域是个难点，在第一课时的教学中可不必加深难度.三、巩固练习书P85练习26.1四、课堂小结这节课你学习了什么，有何收获？五、作业布置习题26.126.2（1）特殊二次函数的图像一、教学内容分析正确作出二次函数y=ax2的图像,并从图像上观察出二次函数y=ax2的性质二、教学目标设计1.理解和掌握二次函数y=ax2的图像，并从图像上观察出二次函数y=ax2的性质.2.通过观察、实验、猜想、总结和类比，提高归纳问题的能力.三、教学重点及难点重点：通过二次函数y=ax2的图像总结出有关性质.难点：二次函数y=ax2的图像性质的应用.四、教学用具准备黑板、直尺、多媒体设备五、教学流程设计课堂小结问题拓展学习新课课堂小结问题拓展学习新课情景引入作业布置作业布置六、教学过程设计一、情景引入1．观察函数y=x2的图像的形状，位置有什么特征？2．思考上述函数图像与我们过去所学的函数图像有什么不同？3．讨论想一想：怎样将上述的图像画出？二、学习新课1．概念辨析复习(1)二次函数的定义、一般形式、自变量的取值范围；(2)函数y=x2与一般式的区别.2.例题分析（1）研究二次函数y=x2的图像.先列表，首先要考虑自变量的取值范围，自变量x的取值范围是什么？y的值为什么是非负数？

当x取一对相反数，y的值有什么关系？在坐标系内描出这两个点，这两个点有