高二数学之人教版高中数学选修4-4课件：2.3直线的参数方程-2.4-渐开线与摆线

三、直线的参数方程四、渐开线与摆线高二数学PPT之人教版数学选修4-4课件：2.3直线的参数方程2.4渐开线与摆线2023/5/241【自主预习】1.直线的参数方程已知直线l经过点M0(x0,y0),倾斜角为点M(x,y)为直线l上任意一点,则直线l的普通方程和参数方程分别为2023/5/242普通方程参数方程___________________________(t为参数)y-y0=tanα(x-x0)其中,直线的参数方程中参数t的绝对值|t|=____.2023/5/2432.圆的渐开线及其参数方程(1)定义.把线绕在圆周上,假设线的粗细可以忽略,拉着线头_________,保持线与圆相切,_____的轨迹就叫做圆的渐开线,相应的_____叫做渐开线的基圆.离开圆周线头定圆2023/5/244(2)参数方程.设基圆的半径为r,圆的渐开线的参数方程是__________________________2023/5/2453.摆线及其参数方程(1)定义.当一个圆沿着一条定直线_________滚动时,圆周上的_____________的轨迹叫做平摆线,简称摆线,又叫做_______.无滑动地一个定点运动旋轮线2023/5/246(2)参数方程.设圆的半径为r,圆滚动的角为φ,那么摆线的参数方程是_____________

(φ是参数)2023/5/247【即时小测】1.下列点在直线(t为参数)上的是(

)A.(2,-3) B.(-2,3)C.(3,-2) D.(-3,2)【解析】选D.直线经过点(-3,2),倾斜角为α.2023/5/2482.经过点M(1,-3)且倾斜角为的直线,以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是________________.2023/5/249【解析】经过点M(1,-3)且倾斜角为的直线,以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是(t为参数)即为(t为参数)答案:(t为参数)2023/5/2410【知识探究】探究点直线的参数方程、渐近线与摆线1.直线的参数方程中,参数的几何意义是什么?提示:设e表示直线向上方向上的单位向量,当参数t>0时,与e同向;当参数t<0时,与e反向;2023/5/2411当参数t=0时,点M0,M重合.故总有所以参数t为点M0(x0,y0)到直线上点M(x,y)的有向线段的数量(即长度+方向),这就是参数t的几何意义.2023/5/24122.直线的参数方程形式唯一吗?如果不唯一,同一直线不同形式的参数方程中的参数都具有相同的几何意义吗?2023/5/2413提示:直线的参数方程形式不唯一,同一直线不同形式的参数方程中的参数具有不同的意义,甚至不具有明显的几何意义,如直线x-y=0的参数方程(t为参数)中的参数t就不具有明显的几何意义.2023/5/2414【归纳总结】由直线的参数方程中t的几何意义得出的两个结论(1)设A,B是直线上任意两点,它们对应的参数分别为tA和tB,则(2)线段AB的中点所对应的参数值等于2023/5/2415类型一直线的参数方程的形式【典例】1.化直线l1的普通方程x+y-1=0为参数方程,并说明参数的几何意义,说明|t|的几何意义.2.化直线l2的参数方程(t为参数)为普通方程,并求倾斜角,说明|t|的几何意义.2023/5/2416【解题探究】1.典例1中直线的斜率和倾斜角分别是什么?提示:直线的斜率为

倾斜角为

2.典例2中直线的参数方程是标准形式吗?提示:不是直线的参数方程的标准形式.2023/5/2417【解析】1.令y=0,得x=1,所以直线l1过定点(1,0).

设直线的倾斜角为α,

所以直线l1的参数方程为2023/5/2418t是直线l1上的定点M0(1,0)到t对应的点M(x,y)的有向线段的数量.由①,②两式平方相加,得(x-1)2+y2=t2.|t|是定点M0(1,0)到t对应的点M(x,y)的有向线段的长.2023/5/24192.方程组变形为①代入②消去参数t,得直线的点斜式方程可得倾斜角普通方程为2023/5/2420①②两式平方相加,得(x+3)2+(y-1)2=4t2,所以|t|是定点M0(3,1)到t对应的点M(x,y)的有向线段的长的一半.2023/5/2421【方法技巧】直线参数方程的标准形式应用技巧(1)已知直线l经过点M0(x0,y0),倾斜角为α,点M(x,y)为直线l上任意一点,则直线l的参数方程为(t为参数)①2023/5/2422参数t的几何意义是有向线段的数量,

其中e=(cosα,sinα).我们把①称为直线l的参数方程的标准形式.令a=cosα,b=sinα,则直线参数方程的标准形式可以是(t为参数,b≥0,a2+b2=1)②2023/5/2423(2)如果直线的参数方程的一般形式为③可以通过转换2023/5/2424当d≥0时,令

当d<0时,令

就可以把直线的参数方程化为标准形式②.2023/5/2425【变式训练】1.(2016·成都高二检测)将曲线的参数方程(t为参数)化为普通方程为________.2023/5/2426【解析】由参数方程消去参数t,得

答案:

2023/5/24272.下列参数方程中,哪些是直线的参数方程的标准形式?若是,求出直线经过的起点坐标和倾斜角,若不是参数方程的标准形式,转化为标准形式(其中,t为参数).2023/5/2428【解析】

是直线参数方程的标准形式,其中,起点坐标为(-1,2),倾斜角2023/5/2429(2)不是直线参数方程的标准形式,令t′=-t,得到标准形式的参数方程为(t′为参数)2023/5/24303.已知直线l过点P(3,4),且它的倾斜角θ=120°.(1)写出直线l的参数方程.(2)求直线l与直线x-y+1=0的交点.2023/5/2431【解析】(1)因为直线l过点P(3,4),且它的倾斜角θ=120°,故直线l的参数方程为即2023/5/2432(2)方法一:由(1)得代入x-y+1=0,得解得t=0.故即交点坐标为(3,4).2023/5/2433方法二:由(1)中直线的参数方程化为普通方程为由解得故两直线的交点为(3,4).2023/5/2434类型二直线的参数方程的综合题【典例】(2016·合肥高二检测)已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线.(2)若曲线C1和C2相交于A,B两点,求|AB|.2023/5/2435【解题探究】(1)如何将参数方程化为普通方程?提示:消去参数即得曲线的普通方程.(2)如何求线段的长度?提示:利用直线参数方程的几何意义计算线段长度.2023/5/2436【解析】(1)由曲线C1:消去参数t,得y=x+4,所以曲线C1表示一条直线.由曲线C2:消去参数θ得(x+2)2+(y-1)2=1,所以曲线C2表示以(-2,1)为圆心,1为半径的圆.2023/5/2437(2)方法一:圆心C2(-2,1)到直线x-y+4=0的距离为

所以

2023/5/2438方法二:将直线的参数方程C1:(t为参数)代入曲线C2:(x+2)2+(y-1)2=1,整理得:t2-3t+4=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=3,t1t2=4,所以

2023/5/2439【延伸探究】1.若本例条件不变,P在曲线C2上,如何求△ABP面积的最大值?2023/5/2440【解析】方法一:由上述得,曲线C2上的点P到直线距离的最大值为+1,所以△ABP面积的最大值为S=

2023/5/2441方法二:设曲线C2上的点P的坐标为(-2+cosθ,1+sinθ),点P到直线的距离为

所以△ABP面积的最大值为

2023/5/24422.若本例条件变为直线C1:(t为参数,α∈[0,π))与曲线C2:(θ为参数)交于A,B两点,如何求|AB|的最大值?此时直线C2的普通方程是什么?2023/5/2443【解析】方法一:直线C1:(t为参数,α∈[0,π))的普通方程为y=k(x+1),其中k=tanα,α≠,直线经过定点(-1,0),由直线与圆C2:(x+2)2+(y-1)2=1的位置关系可知,直线经过圆心(-2,1)时,|AB|的最大值为直径,即|AB|max=2,此时直线的斜率k=-1,α=,直线的普通方程为x+y+1=0.2023/5/2444方法二:将直线C1:(t为参数,α∈[0,π))的参数方程代入(x+2)2+(y-1)2=1,整理,得(1+tcosα)2+(tsinα-1)2=1,t2+2(cosα-sinα)t+1=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,2023/5/2445则t1+t2=-2(cosα-sinα),t1t2=1,所以

当α=时,|AB|max=2,此时直线的斜率k=-1,直线的普通方程为x+y+1=0.2023/5/2446【方法技巧】1.利用直线的参数方程判断两直线的位置关系直线l1:直线l2:(1)l1∥l2⇔a1b2-a2b1=0(l1与l2不重合).(2)l1⊥l2⇔a1a2+b1b2=0.2023/5/24472.标准形式的参数方程中参数的应用经过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为

2023/5/2448(1)若P1,P2是直线l上的两个点,对应的参数分别为t1,t2,则向量的数量为t2-t1,所以=|t2-t1|,若P1,P2是直线l与某圆锥曲线的两个交点,则弦长|P1P2|=|t2-t1|.2023/5/2449(2)若P1P2的中点为P3,且P1,P2,P3对应的参数分别为t1,t2,t3,则特别地,若直线l上的两个点P1,P2的中点为M0(x0,y0),则t1+t2=0,t1t2<0.2023/5/2450【变式训练】1.(2016·南昌高二检测)直线l

(t是参数)被圆(x-3)2+(y+1)2=25所截得的弦长为________.2023/5/2451【解析】将直线l的参数方程(t是参数)化为普通方程,得x+y+1=0,圆心(3,-1)到直线的距离直线被圆(x-3)2+(y+1)2=25所截得的弦长为答案:

2023/5/24522.(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的参数方程为(θ为参数),设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.2023/5/2453【解题指南】将参数方程化为普通方程,联立求出点A,B的坐标.2023/5/2454【解析】直线l方程化为普通方程为椭圆C方程化为普通方程为联立得因此|AB|=

2023/5/2455类型三圆的渐开线与摆线【典例3】1.已知圆的渐开线方程为

(φ为参数)则该基圆半径为________.当圆心角φ=π时,曲线上点A的直角坐标为________.2023/5/24562.已知一个圆的参数方程为(θ为参数)那么圆的摆线方程中与参数

对应的点A与点之间的距离为________.2023/5/2457【解题探究】1.题1中怎样求基圆半径及渐开线上一个点的坐标?提示:将渐开线的方程化为

(φ为参数)的形式,通过观察即可得出基圆半径,将参数φ值代入方程求点的坐标.2023/5/24582.题2中怎样求摆线上两个点间的距离?提示:利用已知参数的值求出点的直角坐标,利用两点间的距离公式求距离.2023/5/2459【解析】1.圆的渐开线方程变为(φ为参数)即则基圆的半径为将φ=π代入上式得2023/5/2460

得则点A的坐标为答案:

2023/5/24612.根据圆的参数方程可知,圆的半径为3,那么它的摆线的参数方程为把

代入参数方程中可得即所以答案:

2023/5/2462【方法技巧】1.圆的渐开线的参数方程(1)圆的渐开线的参数方程为(φ为参数)其中r:基圆半径.φ:绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角∠AOB.2023/5/2463(2)圆的渐开线的参数方程不宜化为普通方程,一是普通方程比较复杂不易理解,二是看不出曲线的坐标所满足条件的含义.2023/5/24642.摆线的参数方程摆线的参数方程为(φ为参数)其中r:生成圆的半径,φ:圆在直线上滚动时,点M绕圆心作圆周运动转过的弧度∠ABO.2023/5/24653.将参数φ的值代入渐开线或摆线的参数方程可以确定对应点的坐标,进而可求渐开线或摆线上两点间的距离.2023/5/2466【变式训练】1.已知圆的渐开线的参数方程为则此渐开线对应基圆的面积为________,当φ=时对应的曲线上的点的坐标为________.2023/5/2467【解析】将圆的渐开线的参数方程变为(φ为参数)则基圆的半径为3,故面积为π×32=9π.当

时,得故

时对应点的坐标为答案:

2023/5/24682.当

时,求圆的摆线上对应的点的坐标.2023/5/2469【解析】