(完整版)常微分方程学习活动3-第一章初等积分法的综合练习(文档)

PAGE1PAGE常微分方程学习活动3第一章初等积分法的综合练习本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。一、填空题1．微分方程是二阶微分方程．2．初值问题的解所满足的积分方程是．3．微分方程是一阶线性非齐次微分方程．（就方程可积类型而言）4．微分方程是全微分方程．（就方程可积类型而言）5．微分方程是恰当导数方程．（就方程可积类型而言）6．微分方程的所有常数解是．7．微分方程的常数解是．8．微分方程的通解为．9．微分方程的通解是．.10．一阶微分方程的一个特解的图像是二维空间上的一条曲线．二、计算题1．指出下列方程的阶数，是否是线性方程：（1）（2）（3）答（1）一阶，非线性；（2）四阶，线性；（3)三阶，非线性.2．用分离变量法求解下列方程：（1）（2）（3）（1）解通积分为（2）解当时，分离变量，两端取积分得即通积分为另外，是常数解，注:在方程求解时，求出显式通解或隐式通解（通积分）即可，常数解可以不求。（3）解当时,方程可变为，通积分为或,上式代入初值条件.得.于是初值问题解为.3．解下列齐次线性微分方程（1）（2）（1）解显然是方程的解.当时,原方程可化为.令,则原方程可化为,即易于看出,是上面方程的解,从而是原方程的解.当时,分离变量得,.两端积分得(C)将换成,便得到原方程的解,(C).故原方程的通解为（为任意常数）及.（2）解显然是方程的解.当时,原方程可化为.令,则原方程可化为,即易于看出,是上式的解,从而是原方程的解.当时,分离变量得,.两端积分得(C).将换成,便得到原方程的解(C).故原方程的通解为.4．解下列一阶线性微分方程：（1）（2）（1）解先解齐次方程.其通解为.用常数变易法,令非齐次方程通解为.代入原方程,化简后可得.积分得到.代回后即得原方程通解为.（2）解先解齐次方程.其通解为.用常数变易法,令非齐次方程通解为.代入原方程,化简后可得.积分得到.代回后即得原方程通解为.5．解下列伯努利方程（1）（2）（1）解显然是方程解.当时,两端同除,得.令,代入有它的解为于是原方程的解为，及（2）解显然是方程解.当时,两端同除,得.令,代入有它的解为，于是原方程的解，及6．解下列全微分方程：（1）（2）（1）解因为,所以这方程是全微分方程,及在整个平面都连续可微,不妨选取.故方程的通积分为,即.（2）解因为,所以这方程是全微分方程,及在整个平面都连续可微,不妨选取.故方程的通积分为,即.7．求下列方程的积分因子和积分：（1）（2）（1）解因为,与y无关,故原方程存在只含x的积分因子.由公式（1.58）得积分因子，即于是方程为全微分方程.取.于是方程的通积分为.即.（2）解因为,与y无关,故原方程存在只含x的积分因子.解方程由公式（1.58）得积分因子，即于是方程为全微分方程.取.于是通积分为.即.8．求解下列一阶隐式微分方程（1）（2）（1）解将方程改写为即或解得通积分为：,又是常数解.（2）解显然是方程的解.当时,方程可变为,令,则上面的式子可变为.解出u得,.即.对上式两端积分得到方程的通解为9．求解下列方程（1）（2）（1）解令,则.代入原式得.解出得.这是克莱洛方程，通解为.即.解之得（为任意常数）.（2）解化简得，即求积分得..三、证明题1．设函数，在上连续，且，（a,b为常数）．求证：方程的一切解在上有界．证明设y=y(x)是方程任一解，且满足y(x0)=y0,则由于，所以对任意ε＞0,存在＞x0,使得x＞时有令，则于是得到又在[x0，x1]上y(x)有界设为M2，现取，则2．设在上连续，且，求证：方程的一切解，均有．证明设是方程任一解，满足，该解的表达式为取极限=四、应用题1．按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比,已知空气温度为,而物体在15分钟内由冷却到,求物体冷却到所需的时间.解设物体在时刻t的温度为，由题意满足初值问题其中为常数．解得设物体冷却到40℃所需时间为，于是由得解得52分钟.2．重为100kg的物体，在与水平面成30的斜面上由静止状态下滑，如