湖北省荆州市南闸中学高三数学文下学期摸底试题含解析

湖北省荆州市南闸中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天恰好到达目的地，请问第三天走了（

）A.192里 B.48里 C.24里 D.96里参考答案：B【分析】由题意可知此人每天走的步数构成公比为的等比数列，利用等比数列求和公式可得首项，由此可得第三天走的步数。【详解】由题意可知此人每天走的步数构成公比为的等比数列，由等比数列的求和公式可得：，解得：，，故答案选B。【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，求出数列的首项是解决问题的关键，属于基础题。2.某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为

A.

B.

C.

D.

8参考答案：3.将标号为的个小球放入个不同的盒子中，若每个盒子放个，其中标为的小球放入同一个盒子中，则不同的方法共有（）A．12种

B．16种

C．18种

D．36种参考答案：【知识点】排列组合的应用J2C可先分组再排列，所以有种方法.【思路点拨】对于平均分配问题，可先分组再排列，利用组合数与排列数公式解答即可.4.已知集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则A∪B=（）A．（﹣1，2） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）参考答案：A【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由A与B，求出两集合的并集即可．【解答】解：集合A={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1），B={x|0＜x＜2}=（0，2），则A∪B=（﹣1，2），故选：A．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．5.设集合，则A. B. C. D.参考答案：【知识点】交、并、补集的混合运算．A1B

解析：,∴,又∵,∴.故选B.【思路点拨】利用集合的并集定义，求出；利用补集的定义求出．6.下列命题中是假命题的是

A.上递减B.C.D.都不是偶函数参考答案：D7.设双曲线的右焦点为，是双曲线上任意一点，点的坐标为，则的最小值为A．9

B．

C．

D．参考答案：答案：B8.设向量，，定义一种向量积：．已知向量，，点P在的图象上运动，点Q在的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则在区间上的最大值是A．

B．

C．

D．参考答案：D

9.已知双曲线的顶点恰好是椭圆的两个顶点，且焦距是，则此双曲线的渐近线方程是

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C略10.关于的一元二次方程对任意无实根，求实数的取值范围是（

） A．

B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.任意幂函数都经过定

点，则函数经过定点 ．

参考答案：a≥1

12.(极坐标选做题）极坐标系中，曲线上的点到直线的距离的最大值是

.参考答案：略13.已知命题函数的定义域为R；命题，不等式恒成立，如果命题““为真命题，且“”为假命题，则实数的取值范围是

参考答案：

若命题为真，则或.若命题为真，因为，所以.因为对于，不等式恒成立，只需满足，解得或.命题“”为真命题，且“”为假命题，则一真一假.

①当真假时，可得；

②当时，可得.

综合①②可得的取值范围是.14.若直线y=﹣x与函数y=x2﹣4x+2（x≥m）的图象恰有一个公共点，则实数m的取值范围为．参考答案：（1，2]【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令f（x）=x2﹣4x+2+x=x2﹣3x+2，做出f（x）的函数图象，根据函数图象得出m的范围．【解答】解：令f（x）=x2﹣4x+2+x=x2﹣3x+2令f（x）=0，得：x1=1，x2=2．作出f（x）的函数图象如图所示：∵直线y=﹣x与函数y=x2﹣4x+2（x≥m）的图象恰有一个公共点，∴f（x）在[m，+∞）上只有一个零点，∴1＜m≤2．故答案为（1，2]．15.已知a，b∈R，i是虚数单位．若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2=．参考答案：3﹣4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由已知等式结合复数相等的条件求得a，b的值，则复数a+bi可求，然后利用复数代数形式的乘法运算得答案．【解答】解：由a，b∈R，且a+i=2﹣bi，得，即a=2，b=﹣1．∴a+bi=2﹣i．∴（a+bi）2=（2﹣i）2=3﹣4i．故答案为：3﹣4i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数相等的条件，是基础题．16.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=CD=1，P是AB的中点，则·=．参考答案：﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得△BCD为等腰直角三角形，求得BD的长，运用中点的向量表示和向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．【解答】解：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=CD=1，可得△BCD为等腰直角三角形，则BD=，且P是AB的中点，可得=（+），=（+）?（﹣）=（2﹣2）=[（）2﹣22]=﹣1．故答案为：﹣1．17.若直线:，则该直线的倾斜角是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分)已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在的最大值．参考答案：【解】：（Ⅰ）．………5分（Ⅱ）．………………9分∵，∴，∴当，即时，取得最大值．……12分

略19.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程为，曲线C的极坐标方程为.（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值.参考答案：（1）由得曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为..............................4分(2)直线的参数方程的标准形式为代入，整理得：..........8分设所对应的参数为，则所以=..............................12分20.已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线θ=（ρ∈R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C1的参数方程为（φ为参数），利用平方关系消去φ可得普通方程，展开利用互化公式可得极坐标方程．曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．（II）把直线θ=（ρ∈R）代入ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，整理可得：ρ2﹣2ρ﹣5=0，利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=即可得出．【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（φ为参数），利用平方关系消去φ可得：+（y+1）2=9，展开为：x2+y2﹣2x+2y﹣5=0，可得极坐标方程：ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0．曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．（II）把直线θ=（ρ∈R）代入ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，整理可得：ρ2﹣2ρ﹣5=0，∴ρ1+ρ2=2，ρ1?ρ2=﹣5，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|===2．【点评】本题考查了直角坐标方程化为极坐标方程及其应用、参数方程化为普通方程、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.（本小题满分12分）

设正项等比数列的首项前n项和为，且（1）求的通项；

（2）求的前n项．

参考答案：．解：（1）由

得…２分即可得…………４分因为，所以

解得，

…………５分因而

……６分（2）因为是首项、公比的等比数列，故

……8分则数列的前n项和前两式相减，得

即

……12分22.（本题满分12分）如图，为圆的直径，点、在圆上，矩形所在的平面和圆所在的平面互